所围成的曲边梯形位于x 轴的下方, 定积分⎰ba dx x f )(在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；(3)当f (x )在区间[a,b ]上的值有正有负时，()ba f x dx ⎰等于[a,b ]上x 轴上方各曲边梯形面积总和减去x 轴下方曲边梯形面积总和。

例如，若()f x 如图所示，则123()ba f x dx S S S =-+⎰图1特别的，如果在区间[a b ]上f (x )≡1 ，则a b dx dx ba b a -==⎰⎰1 下面我们利用定积分的几何意义求一些简单的定积分: 例1 用定积分的几何意义求10(1)x dx -⎰.解 函数1y x =-在区间[0, 1]上的定积分是以1y x =-为曲边,以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积（如图2所示）. 因为以1y x =-为曲边,以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以1011(1)1122x dx -=⨯⨯=⎰.1图2例2用定积分的几何意义求22RRR x dx--⎰.解：由定积分的几何意义可知22RRR x dx--⎰表示由曲线22y R x=-与0y=所围成的半圆的面积，因此22212RRR x dx Rπ--=⎰(选择)例3将下列图形的面积用定积分的形式表示出来。

图3 图4解：图形4是由曲线2y x=，0x=及3x=所围成的曲边梯形，故该图形的面积可表示为32A x dx=⎰；图形3是由曲线xy e=，1x=及3414x =所围成的曲边梯形，故该图形的面积可表示为41x A e dx =⎰2、定积分的性质 这里先补充两点约定: (1)当a =b 时,(x)0baf dx =⎰.(2)⎰⎰-=ab ba dx x f dx x f )()(.下列性质中，均假定所讨论的定积分是存在的.性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) ，即⎰⎰⎰±=±ba b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.（选讲） 证明: ⎰±ba dx x g x f )]()([∑=→∆±=ni i i i x g f 10)]()([lim ξξλ∑∑=→=→∆±∆=ni i i n i i i x g x f 1010)(lim )(lim ξξλλ⎰⎰±=ba b a dx x g dx x f )()(. 例如：111220()x x x e dx x dx e dx +=-⎰⎰⎰性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面， 即⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()(.（选讲） 证明：∑⎰=→∆=n i i i ba x kf dx x kf 10)(lim )(ξλ⎰∑=∆==→ba ni i i dx x f k x f k )()(lim 10ξλ.例如：1133(1)3(1)2x dx x dx -=-=⎰⎰ 性质3（积分区间的可加性）设a c b <<，则⎰⎰⎰+=bccabadxxfdxxfdxxf)()()(.例如：当被积函数()0f x≥时(如图5所示)，()baf x dx⎰表示由曲线y=f (x)、两条直x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积A；()caf x dx⎰表示由曲线y=f (x)、两条直线x=a、x=c与x轴所围成的曲边梯形的面积1A;()bcf x dx⎰表示由曲线y=f(x)、两条直线x=b、x=c与x轴所围成的曲边梯形的面积2A;显然12A A A=+，故⎰⎰⎰+=bccabadxxfdxxfdxxf)()()(.同理当被积函数为其它形式时亦是如此.图5说明：这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性．注：不论a,b,c的相对位置如何，总有等式⎰⎰⎰+=bccabadxxfdxxfdxxf)()()(成立.例如,当a<b<c时,由于y=f(x)A1A2⎰⎰⎰+=cbbacadxxfdxxfdxxf)()()(于是有⎰⎰⎰-=cbcabadxxfdxxfdxxf)()()(⎰⎰+=bccadxxfdxxf)()(.例3：计算21,[1,0)()1,[0,1]x xf xx x⎧⎪-∈-=⎨-∈⎪⎩，试计算定积分11()f x dx-⎰解：根据积分区间的可加性101110()()()f x dx f x dx f x dx--=+⎰⎰⎰012101(1)x dx x dx-=-+-⎰⎰由定积分的几何意义知，0211x dx--⎰是由x轴，y轴以及单位圆周位于第二象限的部分围成的四分之一圆的面积（如图6所示），即02114x dxπ--=⎰1(1)x dx-⎰是由x轴，y轴以及直线y=1-x围成的三角形的面积（如图5所示），即11(1)2x dx-=⎰因此111()42f x dxπ-=+⎰图6性质4（保号性）如果在区间[a,b]上f (x)≥0,则⎰≥badxxf0)((a<b).-11y=1-x注：若在区间[a ,b ]上 f (x )≥0, 积分⎰ba dx x f )(表示由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积，而面积一定是非负的.推论1（保序性） 如果在区间[a ,b ]上 f (x )≤ g (x ) ，则⎰⎰≤ba ba dx x g dx x f )()((a <b ).（选讲）证明：这是因为g (x)-f (x)≥0, 从而⎰⎰⎰≥-=-b a ba b a dx x f x g dx x f dx x g 0)]()([)()(所以 ⎰⎰≤b a ba dx x g dx x f )()(.注：推论1表明在同一区间上，被积函数越大相应的积分值也越大。

故该性质可用来比较同一区间上两个积分值的大小例4：不计算积分，比较120x dx ⎰与130x dx ⎰的大小.解：因为[0,1]x ∀∈，有32x x ≤，所以11320x dx x dx ≤⎰⎰推论2 （绝对可积性）若()f x 在区间[a ,b ]上可积，则()f x 在[a ,b ]上也可积，且有⎰⎰≤ba ba dx x f dx x f |)(||)(|(a <b ).（选讲） 证明: 这是因为-|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)|,所以⎰⎰⎰≤≤-ba ba ba dx x f dx x f dx x f |)(|)(|)(|,即 ⎰⎰≤b a ba dx x f dx x f |)(||)(||.注：推论2表明积分的绝对值小于等于绝对值的积分.性质5 （估值定理） 设M 及m 分别是函数f (x )在区间[a ,b ]上的最大值及最小值, 则⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()((a <b ). （选讲） 证明： 因为 m ≤ f (x)≤ M , 所以⎰⎰⎰≤≤b a ba b a Mdx dx x f mdx )(从而 ⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(. 注：（1）此性质可用来估计定积分值的范围.（2）若用此性质来估计定积分值的范围，只须求出被积函数()f x 在区间[a ,b ]上的最大值及最小值，然后代入公式即可.例5：估计定积分221x e dx --⎰值得范围.解：先求2()x f x e -=在[1,2]-上的最大值M 和最小值m 由2()20x f x xe -'=-=，即0x =得14(0)1,(1),(2)f f e f e --=-== 故41,M m e -==，又2(1)3--=，因此224133x e edx ---≤≤⎰性质6 (定积分中值定理) 如果函数f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,则在积分区间[a ,b ]上至少存在一个点ξ, 使下式成立:⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ.这个公式叫做积分中值公式.（选讲）证明由性质6⎰-≤≤-baabMdxxfabm)()()(,各项除以b-a得⎰≤-≤baMdxxfabm)(1再由连续函数的介值定理,在[a,b]上至少存在一点,使⎰-=badxxfabf)(1)(ξ于是两端乘以b-a得中值公式⎰-=baabfdxxf))(()(ξ.注:不论a<b还是a>b,积分中值公式都成立.此性质的几何意义是：由()y f x=、x a=、x b=及x轴围成的曲边梯形的面积等于由()y fξ=、x a=、x b=及x轴围成的矩形的面积(见图7)。

图7三、能力反馈部分1、计算定积分11x dx-⎰.。