2019-2020年上海市七宝中学高一上期中
一. 填空题
1. 已知集合，，且，则实数的取值范围是{|2019}A x x =≤{|}B x x a =>A B =R U a
2. 若集合，，若，则实数
{1,3}M =-2{3,21,2}N a a a =-++{3}M N =-I a =3. 命题“若不为零，则、都不为零”的否命题是
a b ⋅a b 4. 科技节期间，高一年级的某同学发明了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会(,)a b 得到一个新的实数：，如把放入其中，就会得到，现将21a b +-(3,2)-23(2)13⨯+--=实数对放入其中，得到实数，则
(,3)m m -9-m =5. 设函数，若，则
211()211
x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩0()3f x =0x =
6. 已知函数，则 ()
f x =()
g x =()()f x g x ⋅=7. 已知不等式的解集中有且只有5个整数，则实数的取值范围是
|1|x m -<m 8. 若关于的不等式在上的解集为，则实数的取值范围是
x 224x x a -≤-R ∅a 9. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为
()f x (1,1)-()((2)2x g x f f x =+-10. 已知，，且，则的最小值为 0x >0y >1221
x y +=+2x y +11. 已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是
|3|1x a x ->-(0,2)x ∈a 12. 对于集合，定义函数，对于两个集合、，定义集合M 1()1M x M f x x M ∈⎧=⎨-∉⎩
M N ，用表示有限集合所含元素的个数，若{|()()1}M N M N x f x f x *=⋅=-()Card M M ，，则能使取最小值的集合{1,2,4,8}A ={2,4,6,8,10}B =()()Card X A Card X B *+*的个数为
X 二. 选择题
13. 设命题甲“”，命题乙“”，那么甲是乙的（
）1x =21x =A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
14. 已知集合，，则与的关系为（ ）
{,}P a b ={|}Q M M P =⊆P Q A. B. C.
D. P Q ⊆Q P ⊆P Q ∈P Q ∉
15. 若实数、、满足，则下列不等式正确的是（
）a b c a b c >>A. B. C. D. a b c +>11a c b c <--||||a c b c >222211
ab a b c c <++16. 已知、、为实数，，，记a b c 2()()()f x x a x bx c =+++2()(1)(1)g x ax cx bx =+++集合，，则下列命题为真命题的是{|()0,}S x f x x ==∈R {|()0,}T x g x x ==∈R （ ）
A. 若集合的元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2
S T B. 若集合的元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2
T S C. 若集合的元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3
S T D. 若集合的元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3
T S 三. 解答题
17. 已知集合，函数的定义域为集合，2{|0}3x A x x -=<-()f x =B 且，求实数的取值范围.
A B ⊆a 18. 若实数、、满足，则称比接近.
x y m ||||x m y m -<-x y m （1）若比4接近1，求实数的取值集合；
23x +x M （2）若、均属于（1）中集合，求证：比接近0.
a b M a b +1ab +19. 近年来，某铁路支线每年消耗电费24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本铁路支线电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.5，为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式，假设在此模式下，安装后该铁路支线每年消耗的电费C （单位：万元）与按照的这种太阳能电池板的面积（单位：平方米）之间的函数关系式是x （，为常数），记（单位：万元）为按照这种太阳能供电设备()20100
k C x x =+0x ≥k F 的费用与该铁路支线15年共将消耗的电费之和.
（1）试解释的实际意义，并建立关于的函数关系式；
(0)C F x （2）当为何值时，取得最小值？最小值是多少？
x F
20. 已知是满足下述条件的所有函数组成的集合：对于函数定义域内的任意M ()f x ()f x 两个自变量、，均有成立.
1x 2x 1212|()()|2||f x f x x x -≤-（1）已知定义域为的函数，求实数、的取值范围；
R ()f x kx b M =+∈k b （2）设定义域为的函数，且，求正实数的取值范围；
[1,1]-2()g x ax x =+()g x M ∉a
（3）已知函数，求证：.
()h x =R ()h x M ∈21. 对于正整数集合（，），如果去掉其中任意一个元素12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅*n ∈N 3n ≥i a （）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这1,2,,i n =⋅⋅⋅两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.
A （1）判断集合是否为“和谐集”，并说明理由；
{1,2,3,4,5}（2）求证：集合是“和谐集”；
{1,3,5,7,9,11,13}（3）求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数.
A A
参考答案
一. 填空题
1.
2. 3. 若为零，则、至少有一个为零 4. (,2019]-∞2-a b ⋅a b 8
5.
6. 7. 8. 1(0)x >(2,3]5a >9. 10. 3 11.
12. (1,2)(,3)[7,)-∞+∞U 8二. 选择题
13. A
14. C 15. B 16. D 三. 解答题
17. .
(,1][4,)-∞+∞U 18.（1）；（2）证明略.
(1,1)-19.（1）实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，1800()0.55F x x x =++（）；（2）平方米，取得最小值为57.5万元.
0x ≥55x =F 20.（1），；（2）；（3）证明略.
[2,2]k ∈-b ∈R 1(,)2
+∞21.（1）不是；（2）证明略；
（3）设，由题意，为偶数，∴“和谐集”中同为奇数，或同为12n S a a a =++⋅⋅⋅+i S a -偶数. 并且，若为“和谐集”，显然也为“和谐集”，∴只12{,,,}n a a a ⋅⋅⋅12{2,2,,2}n a a a ⋅⋅⋅需证明同为奇数的情况. 若、、、同为奇数，∵为偶数，∴为奇数，此1a 2a ⋅⋅⋅n a i S a -S 时元素个数为奇数；若、、、同为偶数，除以2后组成的集合仍为“和谐集”，1a 2a ⋅⋅⋅n a 情况同上，证毕.。