设小球到达最高点时，轻杆对小球的作用力为F， 方向向下，则 v12 F mg m L 由②③式，得:F 2 N ③ ④
由牛顿第三定律可知，小球对轻杆的作用力大小 为2N，方向竖直向上． (2)解除锁定后，设小球通过最高点时的速度为v2， 此时滑块的速度为 V.在上升过程中，因系统在水平方 向上不受外力作用，水平方向的动量守恒．以水平向 右的方向为正方向，有：mv2+MV=0 ⑤ 在上升过程中，因只有重力做功，系统的机械能 守恒，则
现在引爆塑胶炸药，若炸药爆炸产生的能量有 E=9J转化为A和B沿轨道方向的动能，A和B分开后， A 恰好在 B 、 C 之间的弹簧第一次恢复到原长时追 上B，并且与B发生碰撞后粘在一起．求： (1)在A追上B之前弹簧弹性势能的最大值； (2)A与B相碰以后弹簧弹性势能的最大值．
【解析】(1)塑胶炸药爆炸瞬间取A和B为研究对象， 假设爆炸后瞬间 A 、 B 的速度大小分别为 vA 、 vB，取 向右为正方向 由动量守恒：-mAvA+mBvB=0 爆炸产生的能量有9J转化为A、B的动能
由动量守恒，得mB vB (mB mC )vBC ? 1 1 2 2 由机械能守恒，得 mB vB (mB mC )vBC Ep1 ? 2 2 代入数据得Ep1 3J
2 设B、C之间的弹簧第一次恢复到原长时B、C的速度
大小分别为vB1和vC1，则由动量守恒和能量守恒： 1 1 1 2 2 2 mB vB mB vB1 mC vC1， mB vB mB vB1 mC vC 1 2 2 2 代入数据解得：vB1 1m / s，vC1 2m / s (vB1 3m / s，vC1 0m / s不合题意，舍去． ) A爆炸后先向左匀速运动，与弹性挡板碰撞以后速度 大小不变，反向弹回．当A追上B，发生碰撞瞬间达 到共速vAB
M 已知小车做简谐运动周期公式为T 2 ，弹簧的 k 1 2 弹性势能公式为Ep kx ( x为弹簧的形变量)，则 2 (1)小物块与小车碰撞前瞬间的速度是多大？ (2)小车做简谐运动过程中弹簧最大弹性势能是多少？ 小车的最大速度为多大？ (3)小物块最终停在距O点多远处？当小物块刚停下时 小车左端运动到O点的哪一侧？
1 1 2 2 E mAvA mB vB 2 2 代入数据解得vA vB 3m / s
由于A在炸药爆炸后再次追上B的时候弹簧恰好第 一次恢复到原长，则在A追上B之前弹簧已经有一次被 压缩到最短(即弹性势能最大)，爆炸后取B、C和弹簧 为研究系统，当弹簧第一次被压缩到最短时 B 、 C 达 到共速vBC，此时弹簧的弹性势能最大，设为Ep1.
mv3 MV 0 将⑧式两边同乘以t，得 mv3 t MV t 0
⑦ ⑨
因⑨式对任意时刻附近的微小间隔t都成立， 累计相加后，有 ms1 Ms2 0 又s1 s2 2L 由⑪ 式得 2 s1 L 3 ⑪
⑫
类型三：弹簧问题中的动量、能量守恒 弹簧常常与其他物体直接或间接地联系在一起， 通过弹簧的伸缩形变，使与之相关联的物体发生力、 运动状态、动量和能量等方面的改变．因此，这类问 题具有很强的隐蔽性和综合性特征，也为学生的想象 和推理提供了一个多变的思维空间．解决此类题的关 键在于能对与弹簧相关联的系统进行正确的力和运动 的关系分析、功能关系的分析，并抓住弹簧的基本特 征，正确地运用力学规律加以解决．
【变式题】(2011·安徽 ) 如图 234 所示，质量 M=2kg 的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m=1kg的小球通 过长L=0.5m的轻质细杆与滑块上的光滑轴 O连接，小 球和轻杆可在竖直平面内绕O轴自由转动，开始轻杆 处于水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度 v0=4m/s，g取10m/s2.
设子弹射入第二块钢板并留在其中，后两者的共同 速度为v2，由动量定恒得:2mV2 mv1 1 2 1 损失的动能为:E mv1 2mV22 2 2 联立③⑥⑦⑧式得 ⑦ ⑧
1 3 E E (1 ) ⑨ 2 2 2 因为子弹在钢板中受到的阻力为恒力，由⑨式可得， 1 3 射入第二块钢板的深度x为:x (1 )d ⑩ 2 2
2．确定研究对象，分析受力情况和运动情况．选 择研究对象的两个基本原则：一是要选择已知量充分 且涉及所求量的物体为研究对象；二是要优先选择能 够满足某个守恒定律的物体(或物体系)为研究对象．进 行运动分析时要注意两个方面： ①运动情况变化时，找出运动量(s、a、v、t)的关 系； ②运动可能出现多种可能性． 3．明确解题途径，正确运用规律． 4．分析解题结果，有时需做一定讨论(特别对多解 问题)．
类型二：滑块运动中的动量、能量守恒 解决滑块问题一般要用到动量定理、动量守恒 定律、动能定理、功能原理以及动力学等规律，综 合性强，能力要求高，是高中物理常见的题型之一， 也是高考中经常出现的题型．解决此类问题，关键 要看地面是否光滑，动量是否守恒，若不守恒，往 往要用动量定理和动能定理．同时要注意分析物体 的运动时间关系、位移关系、能量关系等，找出它 们之间的关系，列方程求解．
【解析】设子弹初速度为 v0 ，射入厚度为 2d 的钢板 后，最终钢板和子弹的共同速度为V，由动量守恒得
(2m m)V mv0 1 解得V v0 3 此过程中动能损失为 1 2 1 E mv0 3mV 2 2 2 1 2 解得E mv0 3
①
② ③
分成两块钢板后，设子弹穿过第一块钢板时两者的 速度分别为v1和V1，由动量守恒得 mv1 mV1 mv0 ④ 因为子弹在钢板中受到的阻力为恒力，射穿第一块 E 钢板的动能损失为 ，由能量守恒得 2 1 2 1 1 2 E 2 mv1 mV1 mv0 ⑤ 2 2 2 2 联立③④⑤式，且考虑到v1必须大于V1，得 1 3 v1 ( )v0 2 6 ⑥
类型一：碰撞、爆炸、反冲中的动量、能量 ( 内力 ) 远大于系统受到的外力，用牛顿运 动定律求解非常复杂，甚至根本就无法求解，但 用动量守恒定律求解时，只需要考虑过程的始末 状态，而不需要考虑过程的具体细节，这正是用 动量守恒定律求解问题的优势．
图232
【解析】(1)设碰撞前瞬间，小物块b的速度为v1，小物 块从静止开始运动到刚要与小车发生碰撞的过程中， 1 2 根据动能定理可知Fs mgs mv1 2 解得v1 6m / s
2 由于小车简谐运动的振幅是0.2m，所以弹簧的最大
形变量为x A 0.2m 根据弹性势能的表达式可知最大弹性势能Epm 解得Epm 4J 1 2 kA 2
由能量守恒，得 1 1 1 2 2 2 Ep2 mA mB vAB mC vC1 mA mB mC vABC 2 2 2 代入数据得Ep2 0.5J
【变式题】如图232所示，劲度系数为k=200N/m的 轻弹簧一端固定在墙上，另一端连一质量为 M=8kg 的小车a，开始时小车静止，其左端位于O点，弹簧 没有发生形变，质量为m=1kg的小物块b静止于小车 的左侧，距 O 点 s=3m，小车与水平面间的摩擦不计， 小 物 块 与 水 平 面 间 的 动 摩 擦 因 数 为 μ=0.2 ， 取 g=10m/s2.今对小物块施加大小为F=8N的水平恒力使 之向右运动，并在与小车碰撞前的瞬间撤去该力， 碰撞后小车做振幅为A=0.2m的简谐运动，
根据机械能守恒定律可知小车的最大动能应等于弹簧 的最大弹性势能 1 2 1 2 所以 kA Mvm 2 2 解得小车的最大速度vm 1m / s
3 小物块b与小车a碰撞后，小车a的速度为vm，设此时
律有mv1 mv1 Mvm 解得v1 2m / s 接着小物块向左匀减速运动一直到停止，设位移是s1，
图234
(1) 若锁定滑块，试求小球通过最高点 P 时对轻杆 的作用力大小和方向． (2)若解除对滑块的锁定，试求小球通过最高点时 的速度大小． (3)在满足(2)的条件下，试求小球击中滑块右侧轨 道位置点与小球起始位置点间的距离．
【解析】(1)设小球能通过最高点，且此时的速度为 v1.在上升过程中，因只有重力做功，小球的机械能 守恒，则 1 2 1 2 mv1 mgL mv0 ① 2 2 v1 6m / s ②
专题二 动量和能量 第三讲 动量和能量的综合应用
一、解决力学问题的三大基本观点 1．牛顿运动定律结合运动学公式(称之为力的观 点 ) 是解决力学问题的基本思路和方法．因牛顿第二 定律是瞬时定律，此种方法适用于需求解过程中间状 态(速度、加速度)的问题． 2．动量定理和动量守恒定律．(动量观点) 3 ．动能定理、机械能守恒定律和能量守恒定 律．(能量观点)
由动量守恒，得mAv A mB vB1 mA mB v AB， 解得v AB 1m / s 当A、B、C三者达到共同速度v ABC时，弹簧的 弹性势能最大为Ep2 由动量守恒，得
mA mB vAB mC vC1 mA mB mC vABC
1 2 1 1 2 2 mv2 MV mgL mv0 2 2 2 由⑤⑥式，得:v2 2m / s
⑥ ⑦
(3)设小球击中滑块右侧轨道的位置点与小球起始 点的距离为 s1，滑块向左移动的距离为 s2.任意时刻小 球的水平速度大小为v3，滑块的速度大小为V′.由系统 水平方向的动量守恒，得
动量定理、动能定理研究的只是物体或系统 在某一过程中初、末状态动量、动能的改变量， 而无需对过程的变化细节作深入的研究．如问题 不涉及物体运动过程中的加速度，而涉及运动时 间的问题，优先考虑动量定理；涉及位移的问题， 优先考虑动能定理．
二、力学综合题的基本思路 1．认真审题，弄清题意．审题时要注意： (1)挖掘隐含条件，隐含条件往往隐含在关键 的词语中，题目的附图中，发生的物理现象中和 题目的所求中； (2)重视对物理过程的分析：审题时，要弄清 题目中的物理过程及其得以进行的条件，明确运 动的性质，把握过程中的不变量、变量、关联量 之间的相互关系，并找出与物理过程相适应的物 理规律．