2017-2018学年广东省佛山市南海区初三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）1．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=1，则sinA等于（）A．2 B．C．D．2．（3分）下列四个几何体中，左视图与俯视图相同的是（）A．B．C．D．3．（3分）如果两个相似三角形的相似比是1：4，那么这两个相似三角形的周长比是（）A．2：1 B．1：16 C．1：4 D．1：24．（3分）要使菱形ABCD成为正方形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD5．（3分）已知点A（3，a）与点B（5，b）都在反比例函数y=﹣的图象上，则a与b之间的关系是（）A．a＞b B．a＜b C．a≥b D．a=b6．（3分）某池塘中放养了鲫鱼1000条，鲮鱼若干条，在几次随机捕捞中，共抓到鲫鱼200条，鲮鱼400条，估计池塘中原来放养了鲮鱼（）A．500条B．1000条C．2000条D．3000条7．（3分）对于二次函数y=﹣3（x﹣2）2+9，下列说法正确的是（）A．图象的开口向上 B．当x＜2时，y随x的增大而增大C．当x=2时，取得最小值为y=9 D．图象的对称轴是直线x=﹣28．（3分）关于一元二次方程x2﹣2x+3=0 的根的情况正确的是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．不能确定9．（3分）如图，点P在△ABC的边AC上，添加如下一个条件后，仍不能得到△ABP∽△ACB的是（）A．=B．∠APB=∠ABC C．=D．∠ABP=∠C10．（3分）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一个坐标系中的图象可能是（）A． B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）方程x2=2x的解是．12．（4分）如图，已知DE∥BC，AE=3，AC=5，AB=6，则AD=．13．（4分）如图，过反比例函数y=（x＞0）图象上的一点A，作x轴的垂线，垂足为B点，连接OA，则S=△AOB14．（4分）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高DH=．15．（4分）如图，在A时测得某树的影长为4m，B时又测得该树的影长为16m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为．16．（4分）已知矩形的长是3，宽是2，另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍，那么新矩形的长是．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）计算：2sin30°+4cos30°•tan60°﹣cos245°18．（6分）如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC 的顶点均在小正方形的格点上．（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为1：2；（2）连接（1）中的BB′，CC′，求四边形BB′C′C的周长．（结果保留根号）19．（6分）由于提倡环保节能，自行车已成为市民日常出行的主要工具之一，据某自行车经销店4至6月份统计，某品牌自行车4月份销售200辆，6月份销售338辆，求该品牌自行车销售量的月平均增长率．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）如图，某幢大楼顶部有广告牌CD，小宇目高MA为1.89米，他站在立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°；接着他向大楼前进15米、站在点B处，测得广告牌顶端点C的仰角为45°．（取≈1.732，计算结果保留一位小数）（1）求这幢大楼的高DH；（2）求这块广告牌CD的高度．21．（7分）在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，篮球1个，若从中任意摸出一个球，摸到球是红球的概率为．（1）求袋中黄球的个数；（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合（不考虑红、黄球顺序）的概率．22．（7分）某超市服装专柜在销售中发现：某男装上衣的进价为每件30元，当售价为每件50元时，每周可卖出200件，现需降价处理，经过市场调查，发现每降价1元，每周可多卖出20件．（1）为占有更大的市场份额，当降价为多少元时，每周盈利为4420元？（2）当降价为多少元时，每周盈利额最大？最大盈利多少元？五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）如图，一次函数y=x+b和反比例函数y=（k≠0）交于点A（4，1）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．24．（9分）如图，以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG．（1）求证：△BDE≌△BAC；（2）求证：四边形ADEG是平行四边形．（3）直接回答下面两个问题，不必证明：①当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？②当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？25．（9分）如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，M（m，0）为x轴上一动点，点M在线段OA 上运动且不与O，A重合，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）在运动过程中，若点P为线段MN的中点，求m的值；（3）在运动过程中，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；2017-2018学年广东省佛山市南海区初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）1．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=1，则sinA等于（）A．2 B．C．D．【解答】解：∵AB=2、BC=1，∴sinA==，故选：C．2．（3分）下列四个几何体中，左视图与俯视图相同的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、球左视图、俯视图都是圆，左视图与俯视图相同；B、圆锥左视图、俯视图分别是三角形、有圆心的圆，左视图与俯视图不相同；C、圆柱左视图、俯视图分别是长方形、圆，左视图与俯视图不相同；D、三棱柱左视图是长方形、俯视图是三角形，左视图与俯视图不相同；故选：A．3．（3分）如果两个相似三角形的相似比是1：4，那么这两个相似三角形的周长比是（）A．2：1 B．1：16 C．1：4 D．1：2【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：4，∴这两个相似三角形的周长比是1：4．故选：C．4．（3分）要使菱形ABCD成为正方形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴要使菱形ABCD成为一个正方形，需要添加一个条件，这个条件可以是：∠ABC=90°或AC=BD．故选：D．5．（3分）已知点A（3，a）与点B（5，b）都在反比例函数y=﹣的图象上，则a与b之间的关系是（）A．a＞b B．a＜b C．a≥b D．a=b【解答】解：∵点A（3，a）与点B（5，b）都在反比例函数y=﹣的图象上，∴每个象限内y随x的增大而增大，则a＜b．故选：B．6．（3分）某池塘中放养了鲫鱼1000条，鲮鱼若干条，在几次随机捕捞中，共抓到鲫鱼200条，鲮鱼400条，估计池塘中原来放养了鲮鱼（）A．500条B．1000条C．2000条D．3000条【解答】解：由题意得：鲫鱼与鲮鱼之比为：200：400=1：2，∵鲫鱼1000条，∴鲮鱼条数是：1000×2=2000．故选：C．7．（3分）对于二次函数y=﹣3（x﹣2）2+9，下列说法正确的是（）A．图象的开口向上 B．当x＜2时，y随x的增大而增大C．当x=2时，取得最小值为y=9 D．图象的对称轴是直线x=﹣2【解答】解：∵y=﹣3（x﹣2）2+9，∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，9），∴A、C、D都不正确，∵二次函数的图象为一条抛物线，当x＜2时，y随x的增大而增大∴B正确，故选：B．8．（3分）关于一元二次方程x2﹣2x+3=0 的根的情况正确的是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【解答】解：∵△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，∴方程没有实数根．故选：C．9．（3分）如图，点P在△ABC的边AC上，添加如下一个条件后，仍不能得到△ABP∽△ACB的是（）A．=B．∠APB=∠ABC C．=D．∠ABP=∠C【解答】解：A、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确；B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C、当时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误．故选：A．10．（3分）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一个坐标系中的图象可能是（）A． B．C．D．【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a ＞0，b＞0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；D、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）方程x2=2x的解是x1=0，x2=2．【解答】解：∵x2﹣2x=0，∴x（x﹣2）=0，∴x=0或x﹣2=0，∴x1=0，x2=2．故答案为x1=0，x2=2．12．（4分）如图，已知DE∥BC，AE=3，AC=5，AB=6，则AD= 3.6．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∴=，解得：AD=3.6，故答案为：3.6．13．（4分）如图，过反比例函数y=（x＞0）图象上的一点A，作x轴的垂线，=3垂足为B点，连接OA，则S△AOB=，【解答】解：由题意：S△AOB=3，∴S△AOB故答案为3．14．（4分）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高DH= 4.8．【解答】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∵AC=8，BD=6，∴OA=AC=×8=4，OB=BD=×6=3，在Rt△AOB中，AB==5，∵DH⊥AB，∴菱形ABCD的面积=AC•BD=AB•DH，即×6×8=5•DH，解得DH=4.8，故答案为：4.8．15．（4分）如图，在A时测得某树的影长为4m，B时又测得该树的影长为16m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为8m．【解答】解：如图：过点C作CD⊥EF，由题意得：△EFC是直角三角形，∠ECF=90°，∴∠EDC=∠CDF=90°，∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°，∴∠E=∠DCF，∴Rt△EDC∽Rt△CDF，有=；即DC2=ED•FD，代入数据可得DC2=64，DC=8；故答案为：8m．16．（4分）已知矩形的长是3，宽是2，另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍，那么新矩形的长是5+．【解答】解：设新矩形的长为x，则新矩形的宽为（10﹣x），根据题意得：x（10﹣x）=2×3×2，整理得：x2﹣10x+12=0，解得：x1=5﹣，x2=5+．∵x≥10﹣x，∴x≥5，∴x=5+．故答案为：5+．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）计算：2sin30°+4cos30°•tan60°﹣cos245°【解答】解：2sin30°+4cos30°•tan60°﹣cos245°，=2×+4××﹣（）2，=1+6﹣，=6.5．18．（6分）如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC 的顶点均在小正方形的格点上．（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为1：2；（2）连接（1）中的BB′，CC′，求四边形BB′C′C的周长．（结果保留根号）【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；（2）四边形BB′C′C的周长为：BB′+B′C′+CC′+BC=2+2+2+4=4+6．19．（6分）由于提倡环保节能，自行车已成为市民日常出行的主要工具之一，据某自行车经销店4至6月份统计，某品牌自行车4月份销售200辆，6月份销售338辆，求该品牌自行车销售量的月平均增长率．【解答】解：设该品牌自行车销售量的月平均增长率为x，根据题意得：200（1+x）2=338，解得：x1=0.3=30%，x2=﹣2.3（不合题意，舍去）．答：该品牌自行车销售量的月平均增长率为30%．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）如图，某幢大楼顶部有广告牌CD，小宇目高MA为1.89米，他站在立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°；接着他向大楼前进15米、站在点B处，测得广告牌顶端点C的仰角为45°．（取≈1.732，计算结果保留一位小数）（1）求这幢大楼的高DH；（2）求这块广告牌CD的高度．【解答】解：（1）在Rt△DME中，ME=AH=45米；tan30°=，得DE=45×=15×1.732=25.98米；又因为EH=MA=1.89米，因而大楼DH=DE+EH=25.98+1.89=27.87≈27.9米；（2）又在Rt△CNE中，NE=45﹣15=30米，由tan45°=，得CE=NE=30米；因而广告牌CD=CE﹣DE=30﹣27.87≈2.1米；答：楼高DH为27.6米，广告牌CD的高度为2.1米．21．（7分）在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，篮球1个，若从中任意摸出一个球，摸到球是红球的概率为．（1）求袋中黄球的个数；（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合（不考虑红、黄球顺序）的概率．【解答】解：（1）设袋中的黄球个数为x个，∴=，解得：x=1，经检验，x=1是原方程的解，∴袋中黄球的个数1个；（2）画树状图得：，∴一共有12种情况，两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的有4种，∴两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的概率为：=．22．（7分）某超市服装专柜在销售中发现：某男装上衣的进价为每件30元，当售价为每件50元时，每周可卖出200件，现需降价处理，经过市场调查，发现每降价1元，每周可多卖出20件．（1）为占有更大的市场份额，当降价为多少元时，每周盈利为4420元？（2）当降价为多少元时，每周盈利额最大？最大盈利多少元？【解答】解：（1）设降价为x元，根据题意，可得：（50﹣x﹣30）（200+20x）=4420，整理，得：x2﹣10x+21=0，解得：x1=3，x2=7，因为要占有更大的市场份额，即销量尽可能的大，所以x=7，答：当降价为7元时，每周盈利为4420元；（2）设每周盈利为y，则y=（50﹣x﹣30）（200+20x）=﹣20x2+200x+4000=﹣20（x﹣5）2+4500，所以当x=5时，y取得最大值，最大值为4500，答：当降价为5元时，每周盈利额最大，最大盈利4500元．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）如图，一次函数y=x +b 和反比例函数y=（k ≠0）交于点A （4，1）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．【解答】解：（1）∵反比例函数y=的图象过点A （4，1），∴1=，即k=4，∴反比例函数的解析式为：y=．∵一次函数y=x +b （k ≠0）的图象过点A （4，1），∴1=4+b ，解得b=﹣3，∴一次函数的解析式为：y=x ﹣3；（2）∵令x=0，则y=﹣3，∴D （0，﹣3），即DO=3． 解方程=x ﹣3，得x=﹣1，∴B （﹣1，﹣4），∴S △AOB =S △AOD +S △BOD =×3×4+×3×1=；（3）∵A （4，1），B （﹣1，﹣4），∴一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围为：﹣1＜x ＜0或x ＞4．24．（9分）如图，以△ABC 的各边，在边BC 的同侧分别作三个正方形ABDI ，BCFE ，ACHG．（1）求证：△BDE≌△BAC；（2）求证：四边形ADEG是平行四边形．（3）直接回答下面两个问题，不必证明：①当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？②当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？【解答】（1）证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC=AG，AB=BD，BC=BE，∠GAC=∠EBC=∠DBA=90°．∴∠ABC=∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），（2）∵△BDE≌△BAC，∴DE=AC=AG，∠BAC=∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA=∠BAD=45°．∵∠EDA=∠BDE﹣∠BDA=∠BDE﹣45°，∠DAG=360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD=360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°=225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG=∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC=180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（3）①当四边形ADEG是矩形时，∠DAG=90°．则∠BAC=360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC=360°﹣45°﹣90°﹣90°=135°，即当∠BAC=135°时，平行四边形ADEG是矩形；②当四边形ADEG是正方形时，∠DAG=90°，且AG=AD．由①知，当∠DAG=90°时，∠BAC=135°．∵四边形ABDI是正方形，∴AD=AB．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC=AG，∴AC=AB．∴当∠BAC=135°且AC=AB时，四边形ADEG是正方形．25．（9分）如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，M（m，0）为x轴上一动点，点M在线段OA 上运动且不与O，A重合，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）在运动过程中，若点P为线段MN的中点，求m的值；（3）在运动过程中，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；【解答】解：（1）∵y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，∴0=﹣2+c，解得c=2，∴B（0，2），∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；（2）由（1）可知直线解析式为y=﹣x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∵P为线段MN的中点时，∴有2（﹣m+2）=﹣m2+m+2，解得m=3（三点重合，舍去）或m=．故m的值为．（3）由（1）可知直线解析式为y=﹣x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∴PM=﹣m+2，AM=3﹣m，PN=﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为2，∴﹣m2+m+2=2，解得m=0（舍去）或m=2.5，∴M（2.5，0）；当∠NBP=90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，BC=﹣m2+m+2﹣2=﹣m2+m，∵∠NBP=90°，∴∠NBC+∠ABO=90°，∴∠ABO=∠BNC，∴Rt△NCB∽Rt△BOA，∴=，∴=，解得m=0（舍去）或m=，∴M （，0）；综上可知，当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2.5，0）或（，0）．第21页（共21页）。