教学过程一、复习预习二、知识讲解考点/易错点11. 三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形中的几条重要线段:(1)三角形的角平分线(三条角平分线的交点叫做内心)(2)三角形的中线(三条中线的交点叫重心) (3)三角形的高(三条高线的交点叫垂心) 3. 三角形的主要性质(1)三角形的任何两边之和大于第三边,任何两边之差小于第三边; (2)三角形的内角之和等于180°(3)三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角,等于和它不相邻的两个内角的和; (4)三角形中,等角对等边,等边对等角,大角对大边,大边对大角; (5)三角形具有稳定性。
4.S S ABE ∆⋅ 基础。
考点/易错点2三角形边角关系、性质的应用三、例题精析【例题1】【题干】锐角三角形ABC 中,∠C =2∠B ,则∠B 的范围是( ) A. 1020︒<<︒∠B B. 2030︒<<︒∠B C. 3045︒<<︒∠B D. 4560︒<<︒∠B【答案】C【解析】因为∆ABC 为锐角三角形,所以090︒<<︒∠B又∠C =2∠B ,∴︒<<︒0290∠B ∴︒<<︒045∠B又∵∠A 为锐角,()∴=︒-+∠∠∠A B C 180为锐角 ∴+>︒∠∠B C 90∴>︒390∠B ,即∠B >︒30 ∴︒<<︒3045∠B ,故选择C 。
【例题2】【题干】已知三角形的一个外角等于160°,另两个外角的比为2:3,则这个三角形的形状是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定【答案】C【解析】由于三角形的外角和等于360°,其中一个角已知,另两个角的比也知道,因此三个外角的度数就可以求出,进而可求出三个内角的度数,从而可判断三角形的形状。
解:∵三角形的一个外角等于160° ∴另两个外角的和等于200° 设这两个外角的度数为2x ,3x ∴+=23200x x 解得:x =40 2803120x x ==, 与80°相邻的内角为100° ∴这个三角形为钝角三角形【例题3】【题干】如图,已知:在∆ABC 中,AB AC ≤12,求证:∠∠C B <12。
∴∠F =∠FAB ,∴AB =BF 又∵AB +FB >AF ,即2AB >AF又∵AB AC AC AF ≤∴>12, ∴>∠∠F C ,又∵∠∠F ABC =12∴<∠∠C B 12【解析】欲证∠∠C B <12,可作∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ,只要证∠∠C EBC <即可。
为与题设AB AC ≤12联系,又作AF//BE 交CB 的延长线于F 。
显然∠EBC =∠F ,只要证∠∠C F <即可。
由AF AB AC <≤2可得证。
【例题4】【题干】已知:如图,在∆ABC 中,D 是BC 上任意一点,E 是AD 上任意一点。
求证: (1 (2)【答案】∴>∠∠BED BAE 同理,∠∠DEC CAE >∴+>+∠∠∠∠BED DEC BAE CAE 即∠∠BEC BAC > (2)延长BE 交AC 于F 点AB AF BE EFEF FC ECAB AF EF FC BE EF EC+>++>∴+++>++又即AB AC BE EC +>+【解析】在(1)中,利用三角形内角和定理的推论即可证出在(2)中,添加一条辅助线,转化到另一个三角形中,利用边的关系定理即可证出。
【例题5】【题干】求证:直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45°。
BF ∠ABD =∠CAB +∠C∠ABC +∠C +∠CAB =180°,∠C =90°∴+=+++=︒+︒=︒∠∠∠∠∠∠EAB ABD ABC C CAB C 18090270 ∵AF 、BF 分别平分∠EAB 及∠ABD ()∴+=+=⨯︒=︒∠∠∠∠FAB FBA EAB ABD 1212270135 在∆ABF 中,()∠∠∠AFB FAB FBA =︒-+=︒18045 【解析】欲证∠AFB =︒45,须证∠∠FAB FBA +=︒135 ∵AF 、BF 分别平分∠EAB 及∠ABD ∴要转证∠EAB +∠ABD =270°又∵∠C =90°,三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和 ∴问题得证四、课堂运用【基础】1. 已知:三角形的三边长为3,8,12+x ,求x 的取值范围。
分析:本题是三边关系的应用问题,只需用三边关系确定第三边的取值范围即可。
解:∵三边长分别为3,8,12+x ,由三边关系定理得: 51211<+<x∴<<∴<<421025x x2. 已知:∆ABC 中,AB BC =,D 点在BC 的延长线上,使AD BC =,∠=BCA α,∠=CAD β,求α和β间的关系为?解: AB BC BCA BAC =∴∠=∠=,α又 AD BC AD AB =∴=,∴∠=∠D B ,又∵∠=∠+∠BCA D B ∴∠=-∴∠=-D B αβαβ, 根据三角形内角和,得: 2180ααβ+-=︒ ∴-=︒3180αβ3. 如图,∆ABC 中,∠∠ABC ACB 、的平分线交于P 点,∠=︒BPC 134,则∠=BAC( ) A. 68°答案:C解析: ∠=BPC ∴∠+∠PBC 又∵BP 、CP ()∴=∴+=+∴+=⨯︒=︒∴=︒--=︒∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠PBC PBC PCB ABC ACB ABC ACB BAC ABC ACB 121224692180884. 已知:如图,AD 是∆ABC 的BC 边上高,AE 平分∠BAC 。
求证:()∠=∠-∠EAD C B 12又 ∠∠∠BAC B C =︒--180()()∴=-=︒---︒-=-∠∠∠∠∠∠∠∠EAD BAC CAD B C C C B 1212180901212()∴=-∠∠∠EAD C B 12【巩固】1.()()∴+=+=++∠∠∠∠∠∠∠DAB DBA FAB EBA ABC BAC ACB 1212则()∠∠∠ADB DAB DBA =︒-+180()()()=++-+-=+∠∠∠∠∠∠∠∠ABC ACB BAC ABC BAC ACB ABC BAC 1212又() 1212∠∠∠ACG ABC BAC =+∴=∠∠ADB ACG 12。
2. 在△ABC 中,AC =5,中线AD =7,则AB 边的取值范围是( )A.1<AB <29B.4<AB <24C.5<AB <19D.9<AB <19分析:在解三角形的有关中线问题时,如果不能直接求解,则常将中线延长一倍,借助全等三角形知识求解,这也是一种常见的作辅助线的方法. 答案:D3. 如图,将一副三角板折叠放在一起,使直角的顶点重合于点O ,则∠AOC+∠DOB=度答案:180解析:本题考查了角度的计算问题,因为本题中∠AOC 始终在变化,因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解解:设∠AOD=a ,∠AOC=90°+a ,∠BOD=90°-a ,所以∠AOC+∠BOD=90°+a+90°-a=180°.故答案为180°.4. 如图,在△ABC 中,D 为BC 上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,试求∠DAC,∠ADC的度数.答案: 解:∵∠1=∠2,∴∠3=∠1+∠2=2∠1=∠4,∴2∠3+∠CAD=2∠1+2∠2+∠BAC-∠1=4∠1+63°-∠1=3∠1+63°=180°,∴∠1=39°=∠2,∠3=∠4=78°,∴∠DAC=63°-∠1=63°-39°=24°,∠ADC=∠3=78°.解析: 由三角形的内角和是180°,和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,可求∠1=39°,∠3=78°,所以∠DAC=24°,∠ADC=∠3=78°.【拔高】1.如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,∠ACB=61°,延长BC至E,使CE=AC,延长CB至D,使DB=AB,求∠DAE的度数.分析:用三角形内角和定理和外角定理,等腰三角形性质,求出∠D+∠E的度数,即可求得∠DAE的度数.2.如图,已知P是等边△ABC的BC边上任意一点,过P点分别作AB、A C的垂线PE、PD,垂足为E、D.问:△AED的周长与四边形EBCD的周长之间的关系?分析:(1)DE是△AED与四边形EBCD的公共边,只须证明AD+AE=BE+BC+CD(2)既有等边三角形的条件,就有60。
的角可以利用;又有垂线,可造成含30°角的直角三角形,故本题可借助特殊三角形的边角关系来证明.答案: 过P作PM∥AC,PN∥AB∴∠PMB=∠A=∠B,∠PNC=∠A=∠C∴PM=PB,PN=PC∵PE⊥AB,PD⊥AC∴BE=EM,CD=DN∴四边形AMPN为平行四边形,∴AN=PM,AM=PN∴三角形AED的周长=AE+ED+AD=AM+ME+ED+DN+AN=PC+BE+ED+DC+PB=BE+BC+CD+ED=四边形EBCD的周长3.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律,则第5个大三角形中白色三角形有个答案:121解析: 解决此题关键在观察、分析已知数据,寻找它们之间的以及与第一个图形的相互联系,探寻其规律.解:第1个大三角形中白色三角形有1个;第2个大三角形中白色三角形有(1+3)个;第3个大三角形中白色三角形有(1+3+32)个;那么第5个大三角形中白色三角形有(1+3+32+33+34)=121个.4.如图,有两个长度相同的滑梯(即BC=EF),左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,则∠ABC+∠DFE=______.分析:∠ABC与∠DFE分布在两个直角三角形中,•若说明这两个直角三角形全等则问题便会迎刃而解.解答:在Rt△ABC和Rt△DEF中,BC=EF,AC=DF,∴△ABC≌△DEF,∴∠ABC=∠DEF,∴∠ABC+∠DFE=90°,因此填90°.课程小结知识点1:三角形的边、角关系①三角形任何两边之和大于第三边;②三角形任何两边之差小于第三边;③三角形三个内角的和等于180°;④三角形三个外角的和等于360°;⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。