第一章 1.2.2 函数的表示法
第2课时 分段函数及映射
学习目标
1.会用解析法及图象法表示分段函数； 2.给出分段函数，能研究有关性质； 3.了解映射的概念.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 分段函数 思考 设集合A＝R，B＝[0，＋∞).对于A中任一元素x，规定：若x≥0， 则对应B中的y＝x；若x＜0，则对应B中的y＝－x.按函数定义，这一对 应算不算函数？
解析答案
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达标检测
1.如图中所示的对应：
1 23 45
其中构成映射的个数为( A )
A.3
B.4
C.5 D.6
答案
2.f(x)的图象如图所示，其中0≤x≤1时是一段顶点
在坐标原点的抛物线，则f(x)的解析式是( B )
2x2，0≤x≤1 A.f(x)＝2，1<x<2
3，x>2
2x2，0≤x<1 B.f(x)＝2，1≤x<2
答案 算函数.因为从整体来看，A中任一元素x，在B中都有唯一确定 的y与之对应.
答案
(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范 围，有着不同的 对应关系的函数. (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、 值域的 并集 ；各段函数的定义域的交集是 空.集 (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元； (2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算). 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间 的函数解析式，并画出函数的图象.
解析答案
对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有确唯定一的元素y与之对应，
那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的
一个映.射
函数一定是映射，映射不一定是函数.
答案
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题型探究
重点难点 个个击破
类型一 分段函数模型
例1 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD， 底边BC长为7 cm，腰长为2 2 cm，当垂直于底边BC (垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯 形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式， 并画出大致图象.
类型二 研究分段函数的性质 例2 已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|. (1)求f(x)的值域；
解析答案
(2)解不等式：f(x)>0；
解 f(x)>0，即x≤－1，
①
4>0
或－－12<x＋x≤2>3，0
②
或 x－>43>，0
③
解①得x≤－1，解②得－1<x<1，解③得x∈∅. 所以f(x)>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪∅＝(－∞，1).
解析答案
(3)若直线y＝a与f(x)的图象无交点，求实数a的取值范围. 解 f(x)的图象如下：
由图可知，当a∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y＝a与f(x)的图象无 交点.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 2 已知 f(x)＝x12，，x－>11或≤xx<≤－11，. (1)画出 f(x)的图象；
3，x≥2
2x2，0≤x≤1 C.f(x)＝2，1<x≤2
3，x>2
x2，0≤x≤1 D.f(x)＝2，1<x<2
3，x≥2
1 是( A )
1 23 45
答案
1 23 45
4.已知函数 y＝x－2＋2x1，，xx>≤0 0 ，使函数值为 5 的 x 的值是( C )
答案
知识点二 映射 思考 设A＝{三角形}，B＝R，对应关系f：每个三角形对应它的周长. 这个对应是不是函数？它与函数有何共同点？ 答案 因为A不是非空数集，故该对应不是函数.但满足“A中任一元素， 在B中有唯一确定的元素与之对应”.
答案
映射的概念：
设A，B是两个非空的 集合，如果按某一个确定的 对应关系 f，使
解析答案
(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三 角形都对应它的内切圆； 解 由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f： A→B是从集合A到集合B的一个映射.
解析答案
(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}， 对应关系f：每一个班级都对应班里的学生. 解 新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应 的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到集合B的一个 映射.
解析答案
(2) 集 合 A ＝ {P|P 是 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 点 } ， 集 合 B ＝ {(x ， y)|x∈R ， y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应； 解 按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意 一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从 集合A到集合B的一个映射.
解 利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.
解析答案
(2)若 f(x)≥14，求 x 的取值范围； 解 由于 f(±12)＝14，结合此函数图象可知， 使 f(x)≥14的 x 的取值范围是(－∞，－12]∪[12，＋∞).
(3)求f(x)的值域.
解 由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]， 当x>1或x<－1时，f(x)＝1. 所以f(x)的值域为[0,1].
解析答案
类型三 映射的概念 例3 以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？ (1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点 与它所代表的实数对应； 解 按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实 数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤4}，则下述对应关 系f中，不能构成从A到B的映射的是( D ) A.f：x→y＝x2 B.f：x→y＝3x－2 C.f：x→y＝－x＋4 D.f：x→y＝4－x2
解析 对于D，当x＝2时，由对应关系y＝4－x2得y＝0，在集合B中没 有元素与之对应，所以D选项不能构成从A到B的映射.