解:设容器底面短边长为x m,则另一边长为 (x+0.5)m,高为(14.8-4x-4(x+0.5))/4=(3.2-2x)m 由3.2 – 2x > 0 , x>0 , 得 0<x<1.6.
设容器体积为y m3, 则 y = x (x+0.5) (3.2 – 2x)
= - 2x3+2.2x2+1.6x (0<x<1.6) y' = - 6x2+4.4x+1.6, 令y' = 0 得 x = 1 或 x = - 4/15 (舍去）， ∴当0<x<1时，y'>0 , 当1<x<1.6时，y'<0 , ∴在 x = 1处，y有最大值，此时高为1.2m, 最大容积为1.8m3。
1.4.3生活中的优化问题举例
例3：
饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 ※你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般 比大包装的要贵些？ ※是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。
瓶子的制造成本是0.8 r2 分，其中 r 是瓶
子的半径，单位是厘米。已知每出售1 ml 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能 制作的瓶子的最大半径为 6cm
当r (0,2)时, f '(x) 0 当r (2,6)时, f '(x) 0
当半径r＞２时，f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增， 即半径越大，利润越高；
当半径r＜２时，f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减， 即半径越大，利润越低．
问题１：由上面的运算，你可以的出什么结论？
1.半径为２cm 时，利润最小，这时 f (2) 0
补充练习：某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形. 上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积 8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用
料最省?
答案 : x 4 8 2 , y 2 2
作业：Ｐ４0 习题1．４ Ａ组 ６题
问题（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
解：由于瓶子的半径为Ｒ，所以每瓶饮料的利润是
y f (x) 0.2 4 r3 0.8 r20.8Fra bibliotekr3 (3
r 2 ),
0r6
3
令 f '(x) 0.8(r2 2r) 0
当 r 2时, f '(r) 0
三．小结
解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的统计数据， 建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质， 提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数 往往是一个有利的工具，其基本思路如以下流程图所示
建立数学模型
优化问题
用函数表示数学问题
解决数学模型
优化问题的答案
作答 用导数解决数学问题
上述解决最优化问题的过程，实际上是一个典型的数学建模过程
表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本， 此时利润是负值 2.半径为６cm时，利润最大
问题２：我们不用导数工具，从函数图象来看，你会
有什么发现？
函数图象
练习： 用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框 架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那 么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。