初二数学全等三角形专题（难题）
1、在等边ABC ∆的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M N D ，，为ABC ∆外一点，且60MDN ∠=︒，120BDC ∠=︒，
BD CD =，探究：当点M N ，
分别爱直线AB AC ，上移动时，BM BN MN ，，之间的数量关系．
⑴如图①，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN =时，BM NC MN ，，之间的数量关系式_________； ⑵如图②，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN ≠时，猜想(1)问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
2、如图，ABC ∆的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且AC BC =；EFP ∆的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =．
⑴ 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；
⑵ 将EFP ∆沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
⑶ 将EFP ∆沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为⑵中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
3、已知，在ABC ∆中，ACB ∠为锐角，D 是射线BC 上一动点(D 与C 不重合)，
以AD 为一边向右侧作等边ADE ∆(C 与E 不重合)，连接CE ．
⑴ 若ABC ∆为等边三角形，当点D 在线段BC 上时(如图1所示)，则直线BD 与直线CE 所夹锐角为 度；
⑵ 若ABC ∆为等边三角形，当点D 在线段BC 的延长线上时(如图2所示)，你在⑴中得到的结论是否仍然成立？请说明理由；
⑶ 若ABC ∆不是等边三角形，且BC AC >(如图3所示)．试探究当点D 在线段BC 上时，你在⑴中得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出当ACB ∠满足什么条件时，能使⑴中
的结论成立，并说明理由．
3、(1)如图，在四边形ABCD 中，90AB AD B D =∠=∠=︒，，E F 、分别是边BC CD 、上的点，且12
EAF =BAD ∠∠．求证：EF BE FD =+;
(2) 如图在四边形ABCD 中，180AB AD B+D =∠∠=︒，，E F 、分别是边BC CD 、上的点，且
12
EAF BAD ∠=∠， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．
(3) 如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，E F ，分别是边BC CD ，延长线上的点，且12
EAF BAD ∠=∠， (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
4、如图，已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得△CDE 是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，
求证：△CMN 是等边三角形．
6、如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?
8、如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．
9、 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.
10、点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD =DC ，∠BDC =120°，∠MDN =60°，求证MN =MB +NC ．。