c
f ( x)dx f ( x)dx c f ( x)dx
收敛 收敛 收敛
注： f ( x)dx lim
A
f ( x)dx.
A A
例1、讨论反常积分
1
1 xp
dx
的敛散性
.
注：无穷限积分的N-L公式
a
f
( x)dx
F(x)
a
例2、讨论下列反常积分的敛散性。
(1)
e
1 x(ln x) p
a
b
定义3、设 f ( x) 在 (a,b]的任一闭子区间[a ,b]上
可积 , a 是
f
(
x
)
的瑕点
.
称
b
a
f
(
x
)dx
为
无界函数 f ( x) 在 (a,b] 上的反常积分.
如：
1
0
1 x
dx.
面积=？
a
b
定义4、设 f ( x) 在 (a,b]的任一闭子区间[a ,b] 可
积 , a 是 f (x)的瑕点. 若存在极限
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx;
收敛 收敛 收敛
(3)以a,b 为瑕点的反常积分
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx;
收敛 收敛 收敛
c
a
a
b
c
c
b
例3、求下列反常积分。
1
(1)0
1 dx; 1 x2
1
(2)0 ln xdx.
例4、讨论反常积分
1
0
1 xq
dx
的敛散性(q
0).
例5、讨论反常积分
0
1 xp
dx
的敛散性
.
例6、求反常积分
8
1
3
1 dx x
.
6 3 2
作业 习题11-1：1(1)(5)(6)、2(1)(2)(4)
定义1、设函数 f ( x) 在[a,)的任何闭子区间 [a,b]上可积 , 记
b
a
f
( x)dx
lim
b a
f
( x)dx
,
称 a
f
( x)dx
为
f
( x)
在无穷区间[a,)
上的反常积分。
定义2、设函数 f ( x) 在[a,) 的任何闭子区间
[a,b]上可积 , 若存在极限
b
lim f ( x)dx J
§11.1 反常积分概念
定积分
积分区间
被积函数
反常积分
积分区间 被积函数
有限 有界
无限 无界
一、无穷限的反常积分
引例1(第二宇宙速度）在地球表面垂直发射火箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球,试问初 速度 v0 至少要多大？
(其中重力加速度 g 9.81m / s2 , 地球半径 R 6.371106 m .)
b a
则称反常积分
a
f ( x)dx
收敛，
并称极限
J
为反常积分
a
f
( x)dx
的值
,
记作
J a f ( x)dx.
否则称反常积分
a
f
( x)dx
发散.
x
b
a
f
( x)dx
lim b a
f
( x)dx.
类似地，我们定义：
b
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx
a a
x
类似地，我们定义：
dx;
(2)
2 x 2
1 2x
1
dx;
1
(3) 1 x2 (1 x) dx.
二、无界函数的反常积分
若 lim f ( x) , 则称点a为函数 f ( x)的瑕点. xa
若 lim f ( x) , 则称点b为函数 f ( x)的瑕点. xb 如： f ( x) 1 , x a 0.
b
lim f ( x)dx I ,
Байду номын сангаас 0 a
则称反常积分
b
a
f
(
x
)dx
收敛。
并称
I
为反常积分
b
a
f
(
x
)dx
的值
,
记作
I
b
a
f
( x)dx.
b
b
a
f ( x)dx
lim 0 a
f ( x)dx.
类似地，(1)以b 为瑕点的反常积分
b
b
a
f
( x)dx
lim
0 a
f ( x)dx;
(2)以c 为瑕点的反常积分(其中c (a,b))