ur
r
F dt d mv
uur
ur
2Q2 dt v2 1Q1 dt v1
Fdt d mv
Q体积流量 Q质量流量
1 1'
Q 动量流量
v 1dt
A1
2
A2
2'
v2dt
ur
uur ur ur
uur
ur
F 2

2Q2

v2
1
F1 v1
动量方程为：
1 O
2
F2
v2 2 FR'x
FR'y
x
Q(2v2 cos450 1v1) p1A1 p2 A2 cos450 FRx
Q(2v2 sin 450 0) 0 p2 A2 sin 450 FRy

于是可得
FRx p1A1 p2 A2 cos450 Q(2v2 cos450 1v1)
恒定流动量方程
恒定流动量方程主要作用是解决作用力问题，特别是流体 与固体之间的总作用力。
动量定律：作用于物体的冲量，等于物体的动量增量。
Fdt d mv
d
m
dt



F
质点系动量的变化率，等于作用于质点系上各外力的矢量和。
1
1. 动量方程的推导
现以恒定总流的一段为例，取1和2两个渐变流断面间的流 体为研究对象，两断面间流段1-2在dt时间后移动到1’-2’。
p1 1v12 2v22 g 2g 2g
3
1 d1=0.15m
d 3=0.075m
30 o
v3
3 y
(整令因理：忽得略：1阻力1p,1而不2 计v122水2头v12损失由)题意知1 vv12=v3=1d20=0m.51om/s，2则2v2 0
x
p1


v22
v12 2
y
解 ① 欲求水流对弯管的作用力，
可先求得弯管对水流的反作用力。
取渐变流过水断面 1-1 和 2-2 以及管内壁所围封闭曲面内的液
1
F1 v1
2
F2
v2 2 FR'x
体作为研究对象。
1 O
FR'y
x
Q(2v2 cos450 1v1) p1A1 p2 A2 cos450 FRx
V1

Q A

Q

4
D12

1.8 3.14 1.52
1.02m/s
4
V2

Q A2

1.8 3.14 12

2.29m/s
4
求1-1断面和2-2断面上动水总压力以管轴中心线为基准 面取1、2断面的能量方程：
（取 a1=a2 =1)
解题步骤
z1
p1

a1v12 2g

z2
p2


0.0785m3/s
Q3

v3


d32 4
10 1 3.14 0.0752 4
0.0442m3/s
由有分流情况恒定总流的连续性方程知：
Q1=Q2+Q3=0.0785+0.0442=0.1227m3/s
所以
v1

Q1
1 4

d12
0.1227 4 3.14 0.152
于计算断面平均流速和断面上的压力； ③ ∑F是作用在被截取的液流上的全部外力之和，外力应包
括质量力（通常为重力），以及作用在断 面 上 的压力和 固体边界对液流的压力及摩擦力； ④ 在初步计算中，可取动量修正系数β=1.0；
⑤ 当液流有分流或汇流的情况，可由与推导有分、汇流 时的连续性方程类似的方法，写出其动量方程。
6.947m/s
3
1 d1=0.15m
d 3=0.075m
30 o
v3
3 y
v1
5o
x
1
d2=0.1m
20
2 v2
因管路水平放置，故可以以管轴线所在的平面为基准面；
并取渐变流断面1-1断面、2-2断面以及3-3断面，射流出口
断面上近似为大气压强，故有P2＝P3=0，写1-1断面到2-2断面
间水流的伯诺里方程为
P2 p2A2 398 0.785 312KN
解题步骤
取1-1与2-2断面水体作为控制体，坐标方向如图示。 沿x轴方向取动量方程
（设 1=2 =1)
Fx Q(2v2 1v1)
P1-P2 -R x

9.8 9.8
1.8(2.29
1.02)
R x P1-P2 -1.81.27 705312 2.285 391.715KN

1Q1

v1
F dt 2Q2 v2 dt 1Q1 v1 dt
ur F

2Q2
uur v2

1Q1
ur v1

m
dt
2.公式说明：
将物质系统的动量定理应用于流体时，动量定理的表 述形式是：对于恒定流动，所取流体段（简称流段，它 是由流体构成的）的动量在单位时间内的变化，等于单 位时间内流出该流段所占空间的流体动量与流进的流体 动量之差；该变化率等于流段受到的表面力与质量力之 和，即外力之和。
分布的，以动量修正系数a0修正。 a0定义为实际动量和按照平均流速计算的动量的比值。即：
u2dA u2dA
a0 A Qv

A
Av2
（3-13-1）
a0取决于断面流速分布的不均匀性。不均匀性越大， a0越大，一般取a0 =1.05
工程计算中取a0=1。动量方程式改写为：
F d mv a022Q2 v2 a011Q1 v1
即轴向推力为 391.715KN，方向与 R x相反。
例 管路中一段水平放置的等截面弯管，直径d =200mm，弯
角为 450（如图）。管中1-1断面的平均流速 v1＝4m/s，其形 心处的相对压强 p1= 98KN/m2。若不计管流的水头损失，求 水流对弯管的作用力FRx和FRy。（坐标轴x与y如图所示）。
FRy 3077
2 1000 0.126 4 2
2 2532N 2
水流对弯管的作用力FRx与FRy分别与F’Rx与F’Ry，大小 相等，方向相反。
例 主管水流经过一非对称分岔管，由两短支管射出，管路
布置如图3.37所示，出流流速v2与v3均为10m/s，主管和两支管 在同一水平面内，忽略阻力。
这就是恒定流动量方程式。
5
ur
uur
ur
F a022Q2 v2 a011Q1 v1 （3-13-2）
3.适用条件：恒定流
过水断面为均匀流或渐变流过水断面
无支流的汇入与分出。
如图所示的一分叉管路，
ρQ1
1
动量方程式应为：
1
v1
2
ur
uur
ur
ur
F 022Q2v2 033Q3v3 011Q1v1
1000 102
6.947 2

25869.6N/m2
F1

p1 A1

p1

1 4

d12

25869.6
1 3.14 0.152 4

456.92N
B. 计算作用力：
取1-1，2-2，3-3断面间的水体作为研究对象。该水体所受 的表面力为1-1断面的压力F1，(2-2断面及 3-3 断面均为大气压 强P2=P3=0 )，以及管壁对水流的反作用力 F’Rx及F’Ry 如图示， 质量力为该水体的重力，垂直于管路平面。
a2v22 2g
hw
0 400 1.022 0 p2 2.292 0
9.8 2 9.8
2 9.8
p2 40.8 0.053 0.268 40.585m

p2 40.585 9.8 398KN / m2
总压力 P1 p1A1 4001.765 705KN
Q(2v2 sin 450 0) 0 p2 A2 sin 450 FRy

②作用于该段液流表面的表面力 y 有断面1-1和2-2上的压力，可以
用断面形心处的压强作为断面
1
平均压强，因而断面上的总压力 为：
F1 v1
F1 p1A1
1
O
F2 p2 A2
2
F2
v2 2 FR'x
FRy p2 A2 sin 450 Q2v2 sin 450

式中：
Q

1 4

d
2v1
y
2
F2
1 3.14 0.22 4 4
1
F1 v1
v2 2 FR'x
0.126m3/s
1 O
FR'y
x
由于上两式中p2和v2还未知，
因而还需配合应用连续性方程和伯诺里方程求解。
1
v1
1 (a)
（a）有分流的情况
2 v2
2
3
3
v
3

(Q2 (Q2
2v2 2v2
x y

Q33v3x Q33v3 y
Q11v1x ) Q11v1y )

Fx Fy
(Q22v2z Q33v3z Q11v1z ) Fz
1
例题1
图示有一水电站压力水管的渐变段，直径 D1为1.5米， D2为1米，渐变段起点压强 p1 为 400KN / m2 （相对压强）， 流量Q为 1.8m3/s ，若不计水头损失，求渐变段镇墩上 所受的轴向推力为多少（不计摩擦力）？