题目：关于曲面积分对称性的研究专业：数学与应用数学系班：数学与信息科学系毕业年份：姓名：学号：指导教师：职称：关摘 要：在直角坐标系中定义了曲面关于坐标平面的概念，研究了在积分曲面是对称的情况下，曲面积分的若干性质。

利用这些性质，可以简化曲面积分的计算，给出相应的计算公式，并利用对称性计算曲面积分，这种积分方法使曲面积分更为简捷。

关键词：曲面积分；对称性；奇函数；偶函数1 预备知识大学课本上，我们学习了第一型曲面积分和第二型曲面积分，并且学习了他们的一些性质，但是这些性质在一些问题中应用麻烦， 比如一些关于曲面积分计算的问题，我们常会因符号处理不当而导致的积分错误。

在这里，我们研究了曲面积分的另外一些性质及定理，为我们在以后的计算提供了方便以下所讨论的各种情况均假设被积函数在积分区域上连续，积分曲面是分片光滑的]2[。

定义]5[1：设函数),,(),,(z y x f z y x f -=，则称),,(z y x f 关于x 为偶函数；若定义),,(),,(z y x f z y x f --=，则称),,(z y x f 关于x 为奇函数；类似可以定义函数),,(z y x f 关于z y ,变量的奇函数，偶函数。

定义]7[2：设空间曲面11:(,)z z x y ∑=与22:(,)z z x y ∑=，若1∑与2∑在xoy 面具有相同的投影区域D ，且D y x ∈∀),(有),(),(21y x z y x z -=，1∑与2∑异侧，则称曲面1∑与2∑关于xoy 面对称。

类似可以定义曲面1∑与2∑关于yoz 面对称；曲面1∑与2∑关于zox 面对称。

命题]6][4[1： 若曲面1∑与2∑关于xoy 面对称，则：12(,,)(,,)f x y z ds f x y z ds ∑∑=-⎰⎰⎰⎰ （1）12(,,)(,,)f x y z dxdy f x y z dxdy ∑∑=--⎰⎰⎰⎰ （2）12(,,)(,,)f x y z dydz f x y z dydz ∑∑=-⎰⎰⎰⎰ （3）12(,,)(,,)f x y z dzdx f x y z dzdx ∑∑=-⎰⎰⎰⎰ （4）证明：因曲面1∑与2∑关于xoy 面对称，所以1∑与2∑在xoy 面具有相同的投影区域D ，设11:(,)z z x y ∑=与22:(,)z z x y ∑=，则),(1y x z =),(2y x z -； 所以12z z x x ∂∂=-∂∂ 12z z y y∂∂=-∂∂ 先证明（1）式22(,,)(,,(,Df x y z ds f x y z x y ∑-=-⎰⎰⎰⎰ =⎰⎰∂∂+∂∂+Ddxdy yzx z y x z y x f 21211)()(1)),(,,( =1(,,)f x y z ds ∑⎰⎰在证明（2）式：因为1∑与2∑异侧，不妨令1∑取上侧，2∑取下侧，则1(,,)f x y z d x d y ∑⎰⎰=⎰⎰Ddxdy y x z y x f )),(,,(1221(,,)(,,(,))(,,(,))DDf x y z dxdy f x y z x y dxdy f x y z x y dxdy ∑-=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以12(,,)(,,)f x y z dxdy f x y z dxdy ∑∑=--⎰⎰⎰⎰下面证明（3）式：11111(,,)(,,)()(,,)()z zf x y z dydz f x y z dxdy f x y z dxdy x x ∑∑∑∂∂=--=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 22221(,,)(,,)()(,,)()z zf x y z dydz f x y z dxdy f x y z dxdy x x ∑∑∑∂∂-=---=--∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 根据（2）式1211(,,)()(,,)()z zf x y z dxdy f x y z dxdy x x ∑∑∂∂-=--∂∂⎰⎰⎰⎰ 故12(,,)(,,)f x y z dydz f x y z dydz ∑∑=-⎰⎰⎰⎰同理可证明（4）式。

仿照命题1，可得下列命题。

命题2：若曲面1∑与2∑关于yoz 面对称，则：12(,,)(,,)f x y z ds f x y z ds ∑∑=-⎰⎰⎰⎰ 12(,,)(,,)f x y z dxdy f x y z dxdy ∑∑=-⎰⎰⎰⎰12(,,)(,,)f x y z dydz f x y z dydz ∑∑=--⎰⎰⎰⎰ 12(,,)(,,)f x y z dzdx f x y z dzdx ∑∑=-⎰⎰⎰⎰命题3：若曲面1∑与2∑关于zox 面对称，则：12(,,) (,,)f x y z ds f x y z ds ∑∑=-⎰⎰⎰⎰ 12(,,) (,,)f x y z dxdy f x y z dxdy ∑∑=-⎰⎰⎰⎰12(,,)(,,)f x y z dydz f x y z dydz ∑∑=-⎰⎰⎰⎰ 12(,,) (,,)f x y z dzdx f x y z dzdx ∑∑=--⎰⎰⎰⎰以上命题的证明可仿命题1 。

2 重要结论考虑到函数),,(z y x f 的奇偶性，可得下列结论：推论1：设空间曲面12 ∑=∑+∑，12∑∑与关于xoy 面对称，若函数),,(z y x f 关于z 为奇函数，则(,,)f x y z ds ∑⎰⎰=0 ； (,,)0f x y z dxdy ∑=⎰⎰1(,,) 2(,,)f x y z dydz f x y z dydz ∑∑=⎰⎰⎰⎰；1(,,) 2 (,,)f x y z dzdx f x y z dzdx ∑∑=⎰⎰⎰⎰；证明： 先证明函数),,(z y x f 关于z 为奇函数的情形，此时有：),,(z y x f =),,(z y x f --，(,,)f x y z ds ∑⎰⎰=ds z y x f ds z y x f ⎰⎰⎰⎰∑∑+21),,(),,(=ds z y x f ds z y x f ⎰⎰⎰⎰∑∑-+21)],,([),,(=12(,,)(,,)f x y z ds f x y z ds ∑∑--=⎰⎰⎰⎰012(,,)(,,)(,,)f x y z dxdy f x y z dxdy f x y z dxdy ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰= dxdy z y x f dxdy z y x f ]),,([),,(21⎰⎰⎰⎰∑∑-+= 12(,,)f x y z dxdy ∑⎰⎰dydz z y x f dydz z y x f dydz z y x f ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=21),,(),,(),,(=12(,,)[(,,)]0f x y z dydz f x y z dydz ∑∑+--=⎰⎰⎰⎰12(,,)(,,)(,,)f x y z dzdx f x y z dzdx f x y z dzdx ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰=12(,,)[(,,)]0f x y z dzdx f x y z dzdx ∑∑+--=⎰⎰⎰⎰接下来证明函数关于),,(z y x f 关于z 为偶函数的情形，此时有：),,(z y x f =),,(z y x f -，ds z y x f ds z y x f ds z y x f ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=21),,(),,(),,(=ds z y x f ds z y x f ds z y x f ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=12),,(),,(),,(=dxdy z y x f dxdy z y x f dxdy z y x f ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=21),,(),,(),,(=12(,,)(,,)0f x y z dxdy f x y z dxdy ∑∑+-=⎰⎰⎰⎰12(,,)(,,)(,,)f x y z dydz f x y z dydz f x y z dydz ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12(,,)(,,)f x y z dydz f x y z dydz ∑∑+-⎰⎰⎰⎰=12(,,)f x y z dydz ∑⎰⎰dzdx z y x f dzdx z y x f dzdx z y x f ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=21),,(),,(),,(=123(,,)(,,)2(,,)f x y z dzdx f x y z dzdx f x y z dzdx ∑∑∑+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰同理可得下面推论2，推论3.推论2：设空间曲面12 ∑=∑+∑，12∑∑与关于yoz 面对称，若函数),,(z y x f 关于x 为奇函数，则(,,)f x y z ds ∑⎰⎰=0 ； (,,)0f x y z dxdy ∑=⎰⎰；1(,,)2(,,)f x y z dydz f x y z dydz ∑∑=⎰⎰⎰⎰；(,,)0f x y z dzdx ∑=⎰⎰；若函数),,(z y x f 关于x 为偶函数，则1(,,)2(,,);f x y z ds f x y z ds ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 1(,,)2(,,)f x y z dxdy f x y z dxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰(,,)0f x y z dxdy ∑=⎰⎰； 1(,,)2(,,)f x y z dzdx f x y z dzdx ∑∑=⎰⎰⎰⎰；推论3：设空间曲面12 ∑=∑+∑，12∑∑与关于zox 面对称，若函数),,(z y x f 关于y 为奇函数，则(,,)0f x y z ds ∑=⎰⎰；(,,)0f x y z dxdy ∑=⎰⎰(,,)0f x y z dydz ∑=⎰⎰ 1(,,)2(,,)f x y z dzdx f x y z dzdx ∑∑=⎰⎰⎰⎰若空间),,(z y x f 关于y 为偶函数，则1(,,)2(,,)f x y z ds f x y z ds ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 1(,,)2(,,)f x y z dxdy f x y z dxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰1(,,)2(,,)f x y z dydz f x y z dydz ∑∑=⎰⎰⎰⎰；(,,)0f x y z dzdx ∑=⎰⎰3 应用利用上面推论可以简化一些曲面积分的计算。

例1：计算222yds x y z∑++⎰⎰其中∑；曲面0,z z H ==之间的圆柱面222x y R +=， 解：因为积分曲面对称于zox 坐标面，且被积函数222(,,)yf x y z x y z=++是关于y 的奇函数，所以2220yds x y z ∑=++⎰⎰例2 计算()f xy yz zx ds ∑++⎰⎰，其中∑为锥面22y x z +=被圆柱面ax yx 222=+所截下的部分]1[。