3. 其他方法：对于具有特殊形式的行列式， 有一些特殊的方法：递推、归纳、加边等.
.
1
例1 证明范得蒙(Vandermonde)行列式
1 11
a1
Vn
a2 1
a2 an
a 2 2
a2 n
(ai aj )
1 jin
a a a n1 1
n1
2
n1
n
证明 用数学归纳法
1 D2 a1
1
a2
a2 a1 (ai aj),
n
n
(xi ai)(1
i1
i1
ai ) xi ai
.
a3 a3 x3
0
0
1
0
an
an xn
0
0
0
1
(n
12
例4
计算n阶行列式
x a aa
a x a a
Dn a a x a
a a a x
.
13
解
将左上角的x改写为(xa)＋a，第一列的(a)均 改写为0＋( a)，于是第一列各元素均为两项 之和，于是
(-1)
(-1)
(-1)
.
22
1 a aa
1 x a 0 0
1 0 x a 0
1
把行列式的第2、 3、···、n+1列分 别提出公因子xa，得
0
1 1
0 a xa 1
xa
a
xa 0
1 0 1
.
23
1 na a
a
a
xa xa xa
xa
0
1
0
0
(x a)n 0
0
1 1 11
a x a a
Dn [x (n1)a] a a x a
a a ax
(-a)
(-a)
(-a)
.
17
1 0 [x(n1)a] 0
1 1
xa 0
0 xa
[x(n 1 )a]x (a)n 1
.
18
解法2 化为两边加一对角线行列式
x a aa
a x aa
Dn a a x a
a a ax
xa a a a a a a
0 x a a a x a
Dn 0 a x a a a a
0 a a x a a x
即
D n (x a )D n 1 a (x a )n 1
（1）
.
14
利用类似的方法，可得
xa a
0x
Dn
0 a
a a a a
a a x a
x a a x
少有两元素相等.
.
4
利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德 蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列 式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。
例2 计算
1 1 1
2 22 2n
V
n
3
32
3n .
n n2 nn
.
5
解 Dn中各行元素分别数 是的 一不 个同方 ,方幂 幂
次数自左至右按序 递排 升列 次，但不0变 是到 从 n1,而是1由 递升至 n.若提取各行的公则 因方 子， 幂次数便0增 从至n1，于是得到
.
7
例3
计算n阶行列式
x1 a2 a3 an
a1 x2 a3 an
D n
a1
a2
x3
an
a1 a2 a3 xn
加边法：行列式的每行或每列除对角线上元素 外分别是某个数的倍数.
.
8
x1 a2 a3 an
a1 x2 a3 an
D n
a1
a2
x3 an
a1 a2 a3 xn (n)
1 0 0 0 0
(-1)
(-1)
(-1)
.
19
x a aa
ax xa 0 0
ax 0 xa 0
ax 0 0 xa
.
20
x(n1)a a
a
0
xa
0
0
0
xa
0
0
0
a
0
0
xa
[x(n 1 )a]x (a)n 1
.
21
解法3
加边法
将Dn添加一行、一列，构成n+1阶行列式。
1 a aa 0 x aa Dn Dn1 0 a x a 0 a ax
(x a )D n 1 a (x a )n 1
故从式（1）与（2）中可以消去Dn-1
Dn1 2[(xa)n(xa)n]
.
（2）
15
例5
计算n阶行列式
x a aa
a x aa
Dn a a x a
a a ax
.
16
解法1 化为三角行列式
此题的特点与§2例6相同. 把各行都加 到第一行上，然后提出公因式x+(n 1)a， 得
a1 a2 a3 x1 a2 a3 a1 x2 a3 a1 a2 x3 a1 a2 a3
.
an
an
an
an
xn (n 1)
9
1 1 1 1 1
a1 x1 a1
0 0 0
a2 0
x2 a2 0 0
a3 0 0
x3 a3 0
an
0
0
0
xn an (n1)
这种形式的行列式简称“两边加一对角线” 行列式，它必可利用行列式性质化为三角形行 列式而求得其值，所以
1ji2
当n2时1（ ）式成立．
.
(1)
2
假设设 1） 对对 n1阶范德蒙行列式Fra bibliotekVn
1
1
0 a2 a1
0 a2(a2 a1)
0 a2n2(a2 a1)
1
a3 a1 a3(a3 a1)
a3n2(a3 a1)
1
an a1 an(an a1)
ann2(an a1)
按第 1列展开，并把因 每子 (a列 i a的 1)提 公出， 就有
1 1 1 1
1
2
2 2 2
n1
Vn n! 1
3
32
3
n1 .
1
n
n n 2
n1
.
6
上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知
V n n! (ai a j) 1 j i n n!(2 1)(3 1)(n 1)
• (3 2)(4 2)(n 2)[n (n 1)] n!(n 1)!(n 2)! 2!1!.
.
3
1 1 1
(a2a1)(a3a1)(ana1)
a2
a3 an
a2n2 a3n2 ann2
n-1阶范德蒙行列式
V n ( a 2 a 1 )a 3 ( a 1 ) ( a n a 1 ) ( a i a j) 2 j i n
(ai aj).
1jin
注意：范德蒙行列式是等于零a1, a2, …, an中至
.
10
1
1
1 Dn
1
1
a1
a2
a3
an
a1 x1 a2 x2 a3 x3
an xn
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
(n 1)
.
11
n
1
ai
i1 ai xi
0
n
0
(ai xi)
i1
0
0
a1 a1 x1
1
0
0
0
a2 a2 x2
0
1
0
0
in 1(aixi)(1)n(1in 1ai aixi)
第五节 典型例题
n阶行列式的计算是学习线性代数的基础， 在以后的各章中都要用到它。这里主要应该掌 握的基本方法是：
1. 用n阶行列式的性质把一般行列式化成 特殊行列式（如上三角行列式等）来计算。
2. 用n阶行列式的展开定理，把行列式按 某一行（列）展开，即化高阶行列式为低 阶行列式来计算。(Laplace定理)