自主招生数学专题一：不等式
不等式是初等代数研究的问题之一，常见的考点包括未必局限于均值不等式（AM-GM不等式）、Cauchy不等式、排序不等式、Jensen不等式、三角不等式…某些求导才能求得函数最值的题也可以用卡尔松不等式、赫尔德不等式.还有一些常用的技巧还包括构造局部不等式、裂项、换元、线性规划、调整法等等.在不等式的凑配过程中我们还会用到因式分解、待定系数法、主元法等方法，还需要时刻注意不等式的取等条件.
近年来，有些同学跟我反映夏令营、自主招生的不等式题不会做，为了部分缓解(看来受生物实验毒害不浅)大家对不等式的恐惧,提升大家的能力,我整理了这个专题.在选题的过程中参考了《自招宝典》《自主招生直通车》《数学奥林匹克小丛书》以及一些竞赛或学科营中的题目，和之前在“高思教育”“北京数学学校”的课堂笔记，在此对他们表示感谢.
面对一道不等式,为什么有人能想到换元?为什么有人会这么凑系数?为什么会想到如此放缩?巧夺天工的证明往往蕴含了自然而优美的逻辑.希望通过对以下例题的探讨等够带大家初步领略不等式的妙处，提升大家对不等式的感觉.
【知识梳理】
1证明均值不等式
2用不包括向量法在内的三种方法证明Cauchy不等式
3证明排序不等式
【重要例题】
1(2015北大体验营)1=++c b a 求)
1)(1)(1(c b a abc
---的最大值
21=++c b a 求证:1)9111≥++c b a 2)3
1
222≥++c b a 3)127≤abc 4)3≤++c b a 5)3311
1
≥+
+
c
b
a
6)63115≤+∑a 7)(2011江西预赛)最大值求32c ab
3(2016清华自主招生)12
==∑∑x
x 求xyz 最值(原题为不定项选择题)
4设0,,>c b a ,求证2≥+++c
b c b a a c
5(2008南开)5262
+=+++a bc ac ab ,0,,>c b a 求c b a 23++的最小值
6(2009清华自招)设0,,>z y x ,a,b,c 是x,y,z 的一个排列，求证3
≥++z c
y b x a
7求2
211x y y x -+-的最大值
8(2010浙大),,11
+=∈=∑R x x i n
i i 求证41
3
>-∑
i i x x
9(2014北方数学奥林匹克)1432=+++w z y x ,求22
)(∑∑+x x
的最小值
10设0,,>c b a ,求c
b a c
c b a b c b a c a 382423++-++++++的最小值
11(2000国际数学奥林匹克)设0,,>z y x ,1=xyz ,求证)
1)(1)(1(1
11x z y z y x +-+-+-
【思考提升】这几年联赛重新开始考不等式，是最简单的一道难题，大家可以尝试从不等式开始，或许还能拿个奖，当然也要防备多项式之类的，下面是一些可以选用的题 12(2014巴尔干地区数学奥林匹克)xyz yz xz xy 3=++,求证:32
2
2
2
-≥++∑x x z z y y x
13求证Shapiro 和Nesbitt 不等式的三元形式: 设0,,>c b a ,求证:2
3
≥+++++b a c a c b c b a 14(2013北大数学金秋营)3=++z y x ,求证:12323
23≤+
+++++++y
x z z
z
z y y z
y x x
151)设R y i +∈,11=∏=n i y i ,求证:11111-<<∑=+n y n
i i
2),,),1,0(120151
a a A a i
n
i i a a i i ==
∈∏=证明:∑∑
==<<+2014
1
log 12014
1
log 11
1i A i a a i
A i i i a
16(2015北大数学夏令营)43214321,,,b b b b a a a a ≤≤≤≤,求证
)
)1())(1()()1())(1(()1())(1(4232124232124423322112b p b b p p b p a p a a p p a p b a p b a b a p p b a p -++-+-++-+≥-++-+17(2015北大数学夏令营)111=∑=n i i
a ,求证1
221},...,max{-≤n n a a a n
18(2015北大体验营)求证:3
5222...21<+++---n 19∑≥≥≥≥125,7,6,52
x z y x ,求x+y+z 的最小值
20设0,,,>k c b a ,当)
)(())()((c a
b c a b a c c b b a a c c b b a k k k ++++≤+++时,求k 的最大值 21n a a a ,...,21是互不相等的正整数,证明:
∑∑==≥+n
i n
i i
i
a a a
1
21
375
)()(
220122
3
4
=++++bx x ax x 有实根，求证82
2
≥+b a 233
2
4
3
,0,y x y x y x +≤+>，求证23
3
≤+y x
241,,,=++∈+c b a R c b a ，求证：)1)(1)(1(8)1)(1)(1(c b a c b a ---≥+++
25(景山初二贯通班期末考试复习题)122
2
=+-y xy x ，求2
2
2y x +最大值与最小值的和。