次方程的通解，而且初始条件能自动包含在变换式中，对
于换路起始时有突变现象的问题处理更方便； （2）对于常用的阶跃函数、冲激函数、指数函数及一些 超越函数等经变换以后，可转换成为简单的初等函数。
7.2 拉普拉斯变换的基本性质
拉普拉斯变换有许多重要性质。利用这些基本性质可以方便 地求出一些较为复杂函数的象函数，同时通过这些基本性质 可以将电路在时域内的线性常微分方程变换为复频域内的线 性代数方程。从而得到复频域中的等效电路。


s Lcos t t 2 s 2
4、衰减正弦函数 e
- t
sin
t
e - t sin t
1 - - j t - j t e -e 2j
故有
L[e
- at
1 1 1 sin t ] [ ] 2 j ( s a) - j ( s a) j
fc (t) t
T
b
+
0
f (t ) T
+
0
T t
-E
f t f a t fb t f c t
E f a t t t T
fb t - E t - T
E fc t - t - T t - T T
E L f a t 2 Ts E - sT L f b t - e s E - sT L f c t - 2 e Ts
由线性性质
L f t L f a t L f b t L f c t E E - sT E - sT 2- e - 2e Ts s Ts E 2 1 - Ts 1 e - st Ts

( s a)2 2
L[e
- at
sin t ]
- t

( s a) 2 2
5、衰减余弦函数 e 与衰减正 弦函数相 类似可得
L e
cos
t
s
- t
cos t t
s 2
2
6、双曲线正弦函数 sh bt t
L d t 1
书中表7 -1给出了一些常见函数的拉普拉斯变换
拉氏变换法的实质就是将微分方程经数学变换转变成代数 方程，然后进行代数运算，再将所得的结果变换回去。它 和应用对数计算数的乘除相类似。不同的只是在对数运算 中变换的对象是数，而在拉氏变换中变换的对象是函数。 拉氏变换法的优点： （1）求解过程得以简化，又同时给出微分方程的特解及齐
由于是周期函数，因此 f，2(t)可看成是 f 1(t)延时一个周期 构成的， f 3(t)可看成是 f 1(t)延时二个周期构成的，依此 类推则有
f t f1 t f1 t - T f1 t - 2T
根据平移特性，若 则
L f1 t F1 s
sT 2 1 e
半波正弦周期函数的拉普拉斯变换为
L f t
E 1 e E 2 s 2 2 1 - e - sT s 2
-
sT 2
1 1- e
f (t) E
0
T 2
T
2T 3
2T
5T t 2
解
先求第一个半波f 1(t)的拉普拉斯变换
f 1(t)
E
f1 t f1 a t f1 b t
0 || f 1a(t)
t
T T E sin t t E sin t - t - 2 2
L[t (t )] 1 s2
当n=1时，有
7.1.3 冲激函数 A d（t）
冲激函数的定义

可得

-
d t f t d t f 0
0
L Ad t Ad t e- st d t Ae0 A
对于单位冲激函数来说，可令上式 A=1，即得：
时间平移特性还可以用来求取有始周期函数(t≥0时呈现 周期性的函数 ,在t＜0范围函数值为零)的拉普拉斯变换 f (t)为有始周期函数，其周期为T， f 1(t)、 f 2(t) …分别表 示函数的第一周期，第二周期，…的函数
f t f1 t f 2 t f 3 t
2、正弦函数 sin t t
1 j t - j t sin t e - e 2j
故有
1 j t - j t Lsin t t L e - e t 2j


1 1 1 2 2 j s - j s j s 2
a为大于零的实数
证明 令x=at
L[ f (at)] f (at)e dt f (at)e
- st 0 0 s


s - at a
dat a
- x 1 1 s a L[ f (at)] f ( x)e dx F ( ) a 0 a a
7.2.3 时间变换
若 f (t)
f (t ) e at (t )
解 根据拉氏变换的定义
F ( s ) 0 f (t )e -st dt
-

e -( s - a ) t 0 e at e -st dt 0 e -( s-a ) t dt 0 - ( s - a) 1 [1 - lim e -( s-a ) t ] 因为s j t s-a - ( - a ) t - j t
7.2.1 线性特性
若 f1(t) 则
L
F1(s)
L
f2(t)
L
F2(s)
a1 f1 (t ) a2 f2 (t )
a1 F1 ( s) a 2 F2 ( s)
a1，a2为任意常数
证明
0 a1 f1 (t ) a2 f2 (t ) e
-

- st
dt a1 f1 (t )e dt a2 f 2 (t )e- st dt
F1 s 1 - e - sT
L f t F1 s F1 s e - sT F1 s e - 2 sT F1 s 1 e
- sT
e
- 2 sT
f (t)为有始周期函数，其周期为T，拉普拉斯变换等 于第一周期单个函数的拉普拉斯变换乘以周期因子 1 1 - e - sT 例 求图中半波正弦函数的拉普拉斯变换
t <0 t0 f (t ) 0


0
f (t )e - st dt 为有限值

拉氏正 变换
F ( s) f (t )e - st dt
0-
S j
0
积分下线 0- 后面讨论中写成0
f(t)：原函数；F(S)：f(t)的象函数。
例
用定义求f(t)象函数。其中a为实数，且a>0。
t 7.1.1 指数函数 e t (为常数)
由定义可得
e t t
的拉普拉斯变换为
1 F ( s) s -
由此可导出一些常用函数的变换 ： 1、单位阶跃函数 t
1 F ( s) s -
1 t 0 (t ) 0 t < 0
0
1 L t s
- st 0 t0


令 x t - t0 则
t x t0

dt dx
t0 为常数
L{ f (t - t 0 )} f ( x)e - sx e - st0 dx F ( s )e - st0
例
0
求图中所示的锯齿波的拉普拉斯变换
fa (t)
解
0
f ( t) E
=
t t 0
拉氏变换对
F ( s) L[ f (t )] f (t ) L-1 [ F ( s )]
拉氏正变换 拉氏反变换
工程中常见的函数(除少数例外)有下列两类:(1) t的指数函 数；(2) t的正整幂函数。许多常用的函数如阶跃函数、正 弦函数、衰减正弦函数等，都可由这两类函数导出。 下面来讨论一些常见函数的拉普拉斯变换
- st 00-


a1 F1 (s) a2 F2 (s)
例 解
求函数的象函数
f (t ) e a1t bea2t
L[ f (t )] L[e
a1t
1 b be ] s - a1 s - a 2
a2 t
7.2.2 尺度变换
若 f (t) 则 f1(at)
L L
F (s) 1 s F( ) a a
1 b t -b t sh b t e - e 2
故有
L shb t t
b
s2 - b 2
7、双曲线余弦函数 ch bt t 与双曲线正弦函数相类似可得
s L ch b t t 2 s - b2
7.1.2 t的正幂函数 t n t (n为正整数
Lsin t t 2 2 s
3、余弦函数 cos t t
cos t 1 j t - j t e e 2
故有
1 j t Lcos t t L e e - j t t 2 1 1 1 s 2 2 s - j s j s 2
f (t - t 0 ) f (t - t 0 )
f(t) L L
F (s)
F ( s)e - st0
f(t-t0)
f (t - t 0 ) (t - t 0 )