高中数学拓展知识 戴德金分割
无理数引发的数学危机一直延续到19世纪。

直到1872年，德国数学家戴德金（Dedekind ）从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。

事实上，实数系的逻辑结构问题在19世纪后叶才引起数学家的重视。

欧几里得（Euclid ）关于比的理论的发展，两个无公度比的相等，只是在几何上可以适用。

尽管如此，他的理论已经具备定义无理数的基本思想了。

实际上，戴德金（Dedekind ）定义无理数的方法确实借鉴了这种思想。

戴德金（Dedekind ）是在直线划分的启发下来定义无理数的。

他注意到把直线上的点划分为两类，使一类中的每一个点位于另一类中每一个点的左边，就必有一个且只有一个点产生这个划分。

这一事实使得直线是连续的。

他把这个思想运用到数系上来，就得到戴德金（Dedekind ）划分。

将一切有理数的集合划分为两个非空不相交的子集1A 和2A ，使得1A 中的每一个元素小于2A 中的每一个元素，这时戴德金把这个划分定义为有理数的一个分割。

即（1A ，2A ）表示这个分割。

用数学语言表述戴德金分割:设1A 和2A 是满足以下三个条件的Q 的两个子集：
（1）1A 和2A 都不是空集；
（2）1A ∪2A Q =；
（3）若1α∈1A ，2α∈2A ，则21αα<（从而1A ∩2A =φ）。

我们称序对（1A ，2A ）为一个分割，并分别称1A 和2A 为该分割的下类和上类。

在一些分割中，或者1A 有最大数，或者2A 有最小数，这样的分割由一个有理数确定。

例如，对任一Q α∈，令A 1={x ∈Q|x<α}，2A x Q |x α={∈≥}，则（1A ，2A ）显然是一个分割。

又令1B x Q |x α={∈≤}，2B x Q |x α={∈>}，显然（1B ，2B ）也是一个分割。

其中，（1A ，2A ）的上类A 2有最小数α，（1B ，2B ）的下类有最大数α，我们把这种分割称为有端分割。

有端分割对应所有的有理数。

下类无最大数且上类无最小数的分割称为无端分割。

无端分割是存在的。

例如213C x Q |x ={∈<}，223C x Q |x ={∈>}。

显然（C 1，C 2）的下类C 1无最大数，上类C 2无最小数。

对每一个可能的Q 的无端分割，都定义一个新数来填补Q 中的空隙；反之，每一个新数()Q α∉也可对应Q 的一个无端分割：
{}A x Q x α=∈<， {}A x Q x α'=∈>。

正是因为无端分割与新数一一对应的，所以不妨把无端分割本身用来充当新数。

我们称Q 的全体分割为分割集，用R 表示。

其中R 中任意两个元素(,)A A α'=与(,)B B β'=之间的序关系可定义如下： 在下类A 与B 都无最大元的约定下，若A B ≠
⊂，则说αβ<；若A B =，则说αβ=；若A B ≠
⊃，则说αβ>。

容易证明，R 上的顺序“>”具有下述性质：
（1）传递性：若βα>，γβ>，则γα>；
（2）全序性：对于R 中任何两元α与β，βα<，βα=，βα>三个关系中有且仅有一个关系成立；
（3）稠密性：对于R 中任何两元α与β，若βα<，必存在Q ∈γ，使得
βγα>>。

戴德金还定义实数的运算。

给定R 中两个元素(,)A A α'=，(,)B B β'=，任取c ∈Q ，如果有a ∈A ，b ∈B ，使得c b a ≥+，则把c 放在集合C 中，把其他的有理数都放在C'中，这样，C 和C'构成分割γ，即=(,)C C γ'，γ称为()，A A α'=和()，B B β'=的和。

其他运算可以类似地定义。

在定义了加法“+”和乘法“”运算后，可以证明（R ，+，）是一个域。

实数集具有连续性是戴德金分割理论中最标志性的成果之一。

戴德金定理：对于实数集的任一分割（S ，T ），或者S 有最大实数，或者T 有最小实数，二者必居其一。

从戴德金定理可以看出，对新获得的实数集R 施行像对有理数集Q 进行的那种分割，将不会产生新的数。