培优训练三：平面直角坐标系（压轴题）一、坐标与面积：【例1】如图，在平面直角坐标中，A(0，1)，B(2，0)，C （2，1.5）．（1）求△ABC 的面积；（2）如果在第二象限内有一点P （a ，0.5），试用a 的式子表示四边形ABOP 的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．yxPOCBA 【例2】在平面直角坐标系中，已知A （-3，0），B （-2，-2），将线段AB 平移至线段CD.图1y xDO CB A 图2yxDO CB A图3yxOBA图4yxOBA（1）如图1，直接写出图中相等的线段，平行的线段；（2）如图2，若线段AB 移动到CD ，C 、D 两点恰好都在坐标轴上，求C 、D 的坐标；（3）若点C 在y 轴的正半轴上，点D 在第一象限内，且S △ACD =5，求C 、D 的坐标；（4）在y 轴上是否存在一点P ，使线段AB 平移至线段PQ 时，由A 、B 、P 、Q 构成的四边形是平行四边形面积为10，若存在，求出P 、Q 的坐标，若不存在，说明理由；【例3】如图，△ABC的三个顶点位置分别是A（1，0），B（－2，3），C（－3，0）．（1）求△ABC的面积；（2）若把△ABC向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到△A B C，请你在图中画出△A B C；S S；（3）若点A、C的位置不变，当点P在y轴上什么位置时，使2ACP ABC（4）若点B、C的位置不变，当点Q在x轴上什么位置时，使2S S．BCQ ABC【例4】如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足2a b，(2)20过C作CB⊥x轴于B．（1）求三角形ABC的面积；（2）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，求∠AED 的度数；（3）在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【例5】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 各顶点的坐标分别是A （0，0），B （7，0），C （9，5），D （2，7）（1）在坐标系中，画出此四边形；（2）求此四边形的面积；（3）在坐标轴上，你能否找一个点P ，使S △PBC=50，若能，求出P 点坐标，若不能，说明理由．【例6】如图，A 点坐标为（－2，0），B 点坐标为（0，－3）. (1)作图，将△ABO 沿x 轴正方向平移4个单位，得到△DEF ，延长ED 交y 轴于C 点，过O 点作OG ⊥CE ，垂足为G ；(2) 在(1)的条件下，求证: ∠COG ＝∠EDF ；（3）求运动过程中线段AB 扫过的图形的面积．【例7】在平面直角坐标系中，点B （0，4），C （-5，4），点A 是x 轴负半轴上一点，S 四边形AOBC =24.A(-2,0)B(0,-3)y图1yxHOFEDACB（1）线段BC 的长为，点A 的坐标为；（2）如图1，EA 平分∠CAO ，DA 平分∠CAH ，CF ⊥AE 点F ，试给出∠ECF 与∠DAH 之间满足的数量关系式，并说明理由；（3）若点P 是在直线CB 与直线AO 之间的一点，连接BP 、OP ，BN 平分CBP ，ON 平分AOP ，BN 交ON 于N ，请依题意画出图形，给出BPO 与BNO 之间满足的数量关系式，并说明理由.【例8】在平面直角坐标系中，OA ＝4，OC ＝8，四边形ABCO 是平行四边形．xy OCBAPQxyOCBA（1）求点B 的坐标及的面积ABCOS 四边形；（2）若点P 从点C 以2单位长度/秒的速度沿CO 方向移动，同时点Q 从点O 以1单位长度/秒的速度沿OA 方向移动，设移动的时间为t 秒，△AQB 与△BPC 的面积分别记为AQB S，BPC S ，是否存在某个时间，使AQB S＝3OQBPS 四边形，若存在，求出t 的值，若不存在，试说明理由；（3）在（2）的条件下，四边形QBPO 的面积是否发生变化，若不变，求出并证明你的结论，若变化，求出变化的范围．【例9】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D 连结AC，BD．(1)求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC；（2）在y轴上是否存在一点P，连结PA，PB，使S△P AB＝S△PDB，若存在这样一点，求出点P点坐标，若不存在，试说明理由；（3）若点Q自O点以0.5个单位/s的速度在线段AB上移动，运动到B点就停止，设移动的时间为t秒，（1）是否是否存在一个时刻，使得梯形CDQB的面积是四边形ABCD面积的三分之一？Q DC3 -1BAoxy（4）是否是否存在一个时刻，使得梯形CDQB的面积等于△ACO面积的二分之一？【例10】在直角坐标系中，△ABC的顶点A（—2，0），B（2，4），C（5，0）．（1）求△ABC的面积A yO CBC3-1BAo yD C3 -1BAo xy（2）点D 为y 负半轴上一动点，连BD 交x 轴于E ，是否存在点D 使得ADEBCESS？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点F （5，n ）是第一象限内一点，，连BF ，CF ，G 是x 轴上一点，若△ABG 的面积等于四边形ABDC 的面积，则点G 的坐标为（用含n 的式子表示）二、坐标与几何：【例1】如图，已知A(0，a)，B （0，b ），C （m ，b ）且（a －4）2＋|b ＋3|＝0，S △ABC ＝14. （1）求C 点坐标（2）作DE ⊥DC ，交y 轴于E 点，EF 为∠AED 的平分线，且∠DFE ＝900.求证：FD 平分∠ADO ；（3）E 在y 轴负半轴上运动时，连EC ，点P 为AC 延长线上一点，EM 平分∠AEC ，且PM ⊥EM ，PN ⊥x 轴于N 点，PQ 平分∠APN ，交x 轴于Q 点，则E 在运动过程中，∠MPQ ∠ECA 的大小是否发生变化，若不变，求出其值.FA O C Byxxy F DCBAoE xy QN MDCAoPE【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知点A （-5,0），B （5.0），D （2，7），（1）求C 点的坐标；（2）动点P 从B 点出发以每秒1个单位的速度沿BA 方向运动，同时动点Q 从C 点出发也以每秒1位的速度沿y 轴正半轴方向运动（当P 点运动到A 点时，两点都停止运动）。

设从出发起运动了x 秒。

①请用含x 的代数式分别表示P,Q 两点的坐标；②当x=2时，y 轴上是否存在一点E ，使得△AQE 的面积与△APQ 的面积相等？若存在，求E 的坐标，若不存在，说明理由？【例3】如图，在平面直角坐标系中，∠ABO=2∠BAO ，P 为x 轴正半轴上一动点，BC 平分∠ABP ，PC 平分∠APF ，OD 平分∠POE 。

（1）求∠BAO 的度数；（2）求证：∠C=15°+12∠OAP（3）P 在运动中，∠C+∠D 的值是否变化，若发生变化，说明理由，若不变求其值。

xyCDA oxy BCAoQP xy GD CoAPBEF【例4】如图，A 为x 轴负半轴上一点，C （0,-2），D （-3，-2）。

（1）求△BCD 的面积；（2）若AC ⊥BC ，作∠CBA 的平分线交CO 于P ，交CA 于Q ，判断∠CPQ 与∠CQP 的大小关系，并说明你的结论。

（3）若∠ADC=∠DAC ，点B 在x 轴正半轴上任意运动，∠ACB 的平分线CE 交DA 的延长线于点E ，在B 点的运动过程中，∠E∠ABC的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由。

【例5】如图，已知点A （-3,2），B （2,0），点C 在x 轴上，将△ABC 沿x 轴折叠，使点A落在点D 处。

（1）写出D 点的坐标并求AD 的长；（2）EF 平分∠AED ，若∠ACF-∠AEF=15o ，求∠EFB 的度数。

xy CoDBAxyPQCo BAxyEACoBDxy FGEDBAoC【例6】如图，在直角坐标系中，已知B （b ，0），C （0，a ），且| 6 – 2b | +（2c-8）2 =0. B D⊥x 轴于 B.（1）求B 、C 的坐标；（2）如图，AB //CD ，Q 是CD 上一动点，CP 平分∠DCB ，BQ 与CP 交于点P ，求∠DQB+∠QBC+∠QPC 的值。

【例7】如图，A 、B 两点同时从原点O 出发，点A 以每秒m 个单位长度沿x 轴的负方向运动，点B 以每秒n 个单位长度沿y 轴的正方向运动。

（1）若|m+2n-5|+|2m-n|=0，试分别求出1秒钟后A 、B 两点的坐标。

（2）如图，设∠BAO 的邻补角和∠ABO 的邻补角平分线相交于点P ，问：点A 、B在运动的过程中，∠P 的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由。

（3）如图，延长BA 至E ，在∠ABO 的内部作射线BF 交x 轴于点C ，若∠EAC 、∠FCA 、∠ABC 的平分线相交于点G ，过点G 作BE 的垂线，垂足为H ，试问∠AGH 和∠BGC 的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由。

xyPC BoDAQxyH oABxyoABxyPoAB【例8】如图，在平面直角坐标系中，A （a ，0），C （b ，2），且满足（a+b ）2+|a-b+4|=0，过C 作CB ⊥x 轴于B 。

（1）求三角形ABC 的面积。

（2）若过B 作BD //AC 交y 轴于D ，且AE 、DE 分别平分∠CAB ，∠ODB ，如图，求∠AED 的度数。

（3）在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。

【例9】如图，在平面直角坐标系中，△AOB 是直角三角形，∠AOB=90°，斜边AB 与y 轴交于点C.(1)若∠A=∠AOC ，求证：∠B=∠BOC ；xyCBAoxyEDCBAo xyCBAo y CBA(2)延长AB 交x 轴于点E ，过O 作OD ⊥AB ，且∠DOB=∠EOB ，∠OAE=∠OEA ，求∠A 度数；(3)如图，OF 平分∠AOM ，∠BCO 的平分线交FO 的延长线于点P.当△ABO 绕O 点旋转时（斜边AB 与y 轴正半轴始终相交于点C ），在(2)的条件下，试问∠P 的度数是否发生改变？若不变，请求其度数；若改变，请说明理由．【例10】如图，y 轴的负半轴平分∠AOB ， P 为y 轴负半轴上的一动点，过点P 作x 轴的平行线分别交OA 、OB 于点M 、N.（1）如图1， MN ⊥y 轴吗？为什么？（2）如图2，当点P 在y 轴的负半轴上运动到AB 与y 轴的交点处，其他条件都不变时,等式∠APM=21（∠OBA －∠A ）是否成立？为什么？（3）当点P 在y 轴的负半轴上运动到图3处（Q 为BA 、NM 的延长线的交点），其他条件都不变时，试问∠Q 、∠OAB 、∠OBA 之间是否存在某种数量关系？若存在，y OEDCBAPMF y OCBA请写出其关系式，并加以证明；若不存在，请说明理由.【例11】在平面直角坐标系中，点)0,(a A ，)0,(b B ，),0(c C ，且满足342c b a ，过点C 作x MN //轴，D 是MN 上一动点.（1）求ABC 的面积；（2）如图1，若点D 的横坐标为-3，AD 交OC 于E ，求点E 的坐标；（3）如图2，若B 35AD ，P 是AD 上的点，Q 是射线DM 上的点，射线QG 平分PQM ，射线PH 平分APQ ，//PF QG ，请你补全图形，并求HPF ADN的值.【例12】如图，直角坐标系中，C 点是第二象限一点，CB ⊥y 轴于B ，且B （0，b ）是y 轴正半轴上一点，A （a ，0）是x 轴负半轴上一点，且2230a b ，S 四边形AOBC =9。