注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变量的取值范围.
( 是)
(4)y x22x3
( 否)
( 5 ) y ( x 2 )x (2 ) ( x 1 ) 2 ( 否 )
知识运用
３、下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1
(2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2
(4)y=2x2-2x+1
(5)y=x-2+x
(6)y=x2-x(1+x)
例1: 关于x的函数 y(m1)xm2m是二次函
又例：y=x²+ 2x – 3
做一做:
（1）正方形边长为x（cm），它的面积y（cm2） 是多少？
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长 增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘 米，试写出y与x的关系式． 解：1） （ yx2 ( 2 ) y ( 4 x )3 ( 2 x ) 2 x 2 1 x 1 1
解: （1）由题意得 S6a2(a0)其中S是a的二次函数；
x2
（2）由题意得 y4(x0) 其中y是x的二次函数；
（3）由题意得 S 1 x ( 2 x 6 ) 1 x 2 1 x ( 0 3 x 2 ) 其6 中S是x的
2
2
二次函数
例3:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为
10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这
（1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。
（2）二次项系数为-5，一次项系数为 常数项的3倍。
展示才智
3、若函数 y(m 21)m2xm为二次函数，求 m的值。
解：因为该函数为二次函数，
则
m2 m2(1) m2 10(2)
解（1）得：m=2或-1
解（2）得： m 1且 m 1
所以m=2
数, 求m的值.
解: 由题意可得
m2 m2 m1 0
解得，m 2 当m 2时，函数为二次函数。
注意:二次函数的二次项系数不能为零
知识运用
练习m取何值时，函数是
m22m1
y= (m+1)x
+(m-3)x+m 是二次函数？
驶向胜利 的彼岸
练一练:
练习2、请举1个符合以下条件的y关于x的 二次函数的例子
当m为何值时，函数 y＝(m－2)xm2－2＋4x－5是
x的二次函数
练习：y＝(m＋3)xm2＋m－4＋ (m＋2)x＋3， 当m为何值时，y是x的二 次函数？
例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数 （1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm） 之间的函数关系； （2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函 数关系； （3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（ cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
知识回顾
1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2。一次函数、正比例函数的定义是 什么？
喷泉(1)
创设情境，导入新课
问题：Biblioteka （1）你们喜欢打篮球吗？ （2）你们知道：投篮时，篮球运动的 路线是什么曲线？怎样计算篮球达到 最高点时的高度？
二次函数
合作学习，探索新知 :
请用适当的函数解析式表示下列问题情 境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：
判断：下列函数是否为二次函数，如果是，
指出其中常数a.b.c的值.
(1) y＝1— 3 x 2
(2)y＝x(x－5)
(3)y＝ 1 x2－ 3 x＋1
2
2
(4) y＝3x(2－x)＋ 32x2
1
(5)y＝ 3x22x1 (6) y＝ x25x6
(7)y＝ x4＋2x2－1 (8)y＝ax2＋bx＋c
解 ： 把 x = 1 , y = 4 和 x = 2 , y = - 5 分 别 代 入
函 数 y x 2 p x q ,得 ：
｛1 pq4 42pq5
解 得 ， p 1 2 ,q 1 5 .
所 求 的 二 次 函 数 是 y x 2 1 2 x 1 5
牛刀小试
例5.已知二次函数 y2(x1)24
(1)圆的面积 y ( cm2 )与圆的半径 x ( cm ) y =πx2
(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月 份利润逐月增长，这两个月利润的月平 均增长率为x，3月份的利润为y
y = 2(1+x)2
合作学习，探索新知 :
(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果
温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室
（1）你能说出此函数的最小值吗？ 当x=1时,函数y有最小值为4
（2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？ x取任意实数
开动脑筋
问题：是否任何情况下二次函数中的自变量 的取值范围都是任意实数呢？
例如：圆的面积 y ( cm)与2 圆的半径 x（cm)
的函数关系是
y =πx2
其中自变量x能取哪些值呢？ x0
个二次函数的解析试.
解：设所求的为 二 y次 ax2函 bx数 c,由题意得：
｛abc 10 abc 4
4a2bc 7
待定系数法
解得 a2 ,b ， 3 ,c5
所求的二次函 y数 2x2是 3x5
例4. 已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函 数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二 次函数的解析式.
内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (m),
种植面积为 y (m2)。
1
1
1
y = (60-x-4)(x-2)
x
3
合作学习，探索新知 :
1.y =πx2 2.y = 2(1+x)2 3.y= (60-x-4)(x-2) =2x2+4x+2 =-x2+58x-112
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的 特征?
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式. (a,b,c是常数, a≠0 )
（1）关系式都是整式，（2）自变量的最高次数是 二次，（3）二次项系数不等于零
❖ 我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c
是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
称：ax2叫做二次项，a为二次项系数 bx叫做一次项， b为一次项系数 c为常数项,
抓住机遇 展示自我
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x 2
是
(2)
y
1 x2
(3) y x(1 x)
不是 是
(4) y ( x 1) 2 x 2
不是
先化简后判断
２、下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y3x22
(是 )
(2)yx2 1 x
( 否)
(3 )y (x 2 )x ( 3 )