第二类stirling 数S(n ，n-7)的一个公式
数学与应用数学（师范）2班 李霞 200902114078
一、定义与符号
定义1 从n 个不同事物中取出m 个的组合数,记作m n C .
定义2 把含有n 个元素的一个集合分成恰好有k 个非空子集合的分拆数目就叫
做第二类stirling 数,并记作(,)S n k ,对于0n k ==时,定义(0,0)S =0;当(,)0n k S n k <=时,.
对于集合A,我们用|A|表示A 的基数.关于第二类stirling 数的性质与计算方法,我们给出以下几个引理. 引理 []11
1
1
1
2
11(,1)1,(,2)21,(,3)(3
1)2
,
2
,n n n n n S n S n S n S n S n n S n n ---≥==-=
+-当时，（,0)=0,（,-1)=C （,)=1.
引理 []
12
1(,)(1,1)(1,).k n S n k S n k kS n k ≤≤=--+-当时,
为了方便下面定理1的证明，根据引理1和引理2，我们可以算出以下几个第二类stirling 数：
8
99
1(9,2)21255;(10,3)(31)29330;(11,4)145750;
2
S S S =-==
+-==(12,5)1379400.S =
定理 [][][][]
2345A
344,(,2)3n
n
n S n n C C ≥-=+当时4566(,3)1015;n
n
n
S n n C C C ≥-=++;当n 时,
5
6
7
8
8(,4)25105105;
n n n n n S n n C C C C ≥-=+++当时,
6
7
8
9
10
10(,5)564901260945;
n n n n n n S n n C C C C C ≥-=++++当时,
7
8
9
10
11
12
12(,6)119191894501732510395.n n n n n n n S n n C C C C C C ≥-=+++++当时,
二、 主要结果及其证明
定理 1 当14n ≥时，
8
9
10
11
12
13
14
(,7)246682556980190575270270135135.n n n n n n n S n n C C C C C C C -=++++++
证明: 设X 是含有n 个元素的集合, 当14n ≥时, 按照(,7)n n -S 的定义,我们有下面7种不同情况的分拆方法. 情况1
7
1
1287(17)(,1,7)
(2)...18.
n i
i
i
j i n n X A A i n A A i j i j n A A A A -=--=
≤≤-⋂=∅≠≤≤-===== 设,这里满足（1）
且
我们从X 的n 个元素中取出8个元素放在7n A -中的方法共有8n C 种, 因此, 在情况1中,我们有8n C 种分拆方法. 情况2
7
1
1298787(17)(,1,7)
(2)...12,2,9.
n i
i
i
j i n n n n n X B B i n B B i j i j n B B B B B B B -=-----=
≤≤-⋂=∅≠≤≤-====≥≥⋃= 设,这里满足（1）
且并且
我们从X 中取出9个元素的方法有9n C 种, 而9个元素分成两个非空集合的分拆数为(9,2)S .若将9个元素分成两部分, 一部分有1个元素而另一部分有8个元素, 共有19C 种方法, 因此, 将9个元素分成两部分, 使每部分至少有2个
元素的方法共有1918
9
(9,2)(21)9210246S C --=--=-=种.因此在情况2中,我们共有2469n C 种分拆方法. 情况3
7
1
1210987987(17)(,1,7)
(2)...12,2,2,10.
n i
i
i
j i n n n n n n n X C C i n C C i j i j n C C C C C C C C C -=-------=
≤≤-⋂=∅≠≤≤-====≥≥≥⋃⋃= 设,这里满足（1）
且并且 我们从X 中取出10个元素的方法有10
n C 种,将10个元素分成3个非空子集
987,,n n n C C C ---的方法共有(10,3)S 种.而其中有一个子集含一个元素,而另外两
个子集至少含有2个的元素的分拆方法有1
10
2462460C ⨯=种;其中有两个子集各含有1个元素,即有一个子集含有8个元素的方法有28
10
1045C C ==种.所以把10
个元素分为3个非空子集且每个子集至少包含2个元素的方法共有
(10,3)(246045)933025056825S -+=-=种.因此,在情况
3中,我们有10
6825n C 种
分拆的方法.
情况4
7
1
12111098710987(17)(,1,7)
(2)...12,22,2,11.
n i
i
i
j i n n n n n n n n n X D D i n D D i j i j n D D D D D D D D D D D -=---------=
≤≤-⋂=∅≠≤≤-====≥≥≥≥⋃⋃⋃= 设,这里满足（1）
且，并且
我们从X 中取出11个元素的方法有11
n C 种, 将11个元素分成4个非空子集
10n D -,9n D -,8n D -,7n D -的方法共有(11,4)S 种. 若有一个子集中含1个元素,
而另外三个子集中至少含有2个元素的分拆方法有1
11
682575075C ⨯=种; 若有两个子集各含有1个元素, 其它两个子集至少含有2个元素的分拆方法有
2
1124613530C ⨯=种; 若有三个子集各含有
1个元素,即有一个子集含有8个元素
的方法有38
11
11165C C ==种. 所以把11个元素分为4个非空子集且每个子集至少包含2个元素的方法共有(11,4)(7507513530165)1457508877056980
S -++=-=种. 因此,在情况4中, 我们有11
56980n C 种分拆的方法.
情况5
7
1
121211109871110987(17)(,1,7)
(2)...12,2,22,2,12.
n i
i
i j i n n n n n n n n n n n X E E
i n E E i j i j n E E E E E E E E E E E E E -=-----------=
≤≤-⋂=∅≠≤≤-====≥≥≥≥≥⋃⋃⋃⋃= 设,这里满足（1）且，并且 我们从X 中取出12个元素方法有12n C 种, 将12个元素分成5个非空子集
1110987,,,,n n n n n E E E E E -----的方法共有(12,5)
S 种. 若有一个子集含一个元素, 而
另外四个子集都至少含有2个元素的分拆方法有1
12
56980683760C ⨯=种; 若有两个子集各含有1个元素, 其它三个子集都至少含有2个元素的分拆方法有
2
126825450450C ⨯=种; 若有三个子集各含有
1个元素, 其它二个子集都至少含
有2个元素的分拆方法有3
12
24654120C ⨯=种; 若有四个子集各含有1个元素,即有一个子集含有8个元素的方法有48
12
12495C C ==种. 所以把12个元素分为5个
非空子集且每个子集都至少包含2个元素的方法共有(12,5)(683760450450
S-+
=-=种. 因此,在情况5中, 我们有++13794001188330190575
54120495)
12
C种分拆的方法.
190575
n
三、参考文献
[1]陈景润.组合数学简介[M].天津:天津科学技术出版社, 1988.
[2]曹汝成.组合数学[M].广州:华南理工大学出版社,2002.
[3]杜春雨.第二类stirling数的一个恒等式[J].江西师范大学学报(自然科学版),
2004(5): 240-241.
[4]吴跃生.第二类stirling数的又一个恒等式[J].华东交通大学学
报,2007(2):146-147.
[5] 吴跃生.第二类stirling数(,6)
n n-
S的一个公式[J].华东交通大学学
2
报,2008(3):97-99.。