三角函数的最值
一、知识归纳
1． 基础知识
（1） 配方法求最值
主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为二次函数在闭区间上的最值问题，如求函数2
sin sin 1y x x =++的最值，可转化为求函数
[]21,1,1y t t t =++∈-上的最值问题。
（2） 化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值：
sin )a x bcox x ϕ+=+
如函数1
2sin y x cox
=
++的最大值是（ ）
A ．
12- B.12+ C.12- D.12
-- 应选B （3） 数形结合
常用到直线斜率的几何意义，例如求函数sin 2
x
y cox =
+的最大值和最小值。
函数
sin 2
x
y cox =
+的几何意义为两点(2,0),(cos ,sin )P Q x x -连线的斜率k ，而Q 点的
轨迹为单位圆，由图可知max min y y == （4） 换元法求最值
①利用换元法将三角函数问题转化为代数函数，此时常用万能公式和判别式求最值。
②利用三角代换将代数问题转化为三角函数，然而利用三角函数的有界性等求最值。
例如：设实数y x ,满足,12
2
=+y x 则y x 43+的最大值为______. 解：由,12
2
=+y x 可设θθsin ,cos ==y x
则)sin(5sin 4cos 343ϕθθθ+=+=+y x ，则其最大值为5。
2． 重点难点: 通过三角变换结合代数变换求三角函数的最值。
3． 思维方式
（1） 认真观察函数式，分析其结构特征，确定类型。
（2） 根据类型，适当地进行三角恒等变形或转化，这是关键的步骤。
（3） 在有关几何图形的最值中，应侧重于将其化为三角函数问题来解决。
4． 特别说明
注意变换前后函数的等价性，正弦、余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响，含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。
二、题型剖析
1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值。
例1：函数Y=acosx+b (a.b 为常数),若71y -≤
≤,求bsinx +acosx 的最大值.
练习: 求函数2
sin cos 1y x x x =+-的最值，并求取得最值时的x 值。
解：cos 2)21y x x =
-+-
1112cos 2sin(2)2262
x x x π--=-- ∴当22,6
2
x k π
π
π-=+
即()3
x k k Z π
π=+
∈时，y 取得最大值，max 1
2y =
当22,6
2
x k π
π
π-
=-
即()6
x k k Z π
π=-
∈时，y 取得最小值，m x
32
i y =-。
思维点拨：三角函数的定义域对三角函数有界性的影响。
2、转化为闭区间上二次函数的最值问题。
例2、.2sin cot sin 2
cot 的最值求函数x x x x y ⋅+⋅= 解:8741cos 2cos sin 2sin cos sin sin cos 12
+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=⋅+⋅+=x x x x x x x x y
时当41cos 1cos 0sin -=∴±≠∴≠x x x ,y 有最小值8
7
,无最大值.
练习:是否存在实数a ，使得函数2385cos sin 2
-+
+=a x a x y 在闭区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,0π上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值？若不存在，试说明理由。
解：2185421cos 22
-++⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--=a a a x y
当2
0π≤
≤x 时，1cos 0≤≤x ，令x t cos =则10≤≤t ，
,218542122
-++⎪⎭
⎫
⎝⎛--=a a a t y 10≤≤t
)
(42
3
1
21854,2cos 2,20,12012max 舍或时即则当时即-==⇒=-+===≤≤≤≤a a a a y a x a t a a
)(512
12185,0cos 0,0,022max 舍时即则当时即=⇒=-===<<a a y x t a a
)(13
2012385,1cos 1,2,123max 舍时即则当时即=⇒=-+===>>a a a y x t a a 综上知，存在23
=a 符合题意。
思维点拨：闭区间上的二次函数的最值问题字母分类讨论思路。
3、换元法解决x x x x cos sin ,cos sin ±同时出现的题型。
例3：求函数()()x x y cos 34sin 34--=的最小值。
解：()x x x x y cos sin 9cos sin 1216++-=
令[]
2.2,4sin 2cos sin -∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=+=t x x x t π，则21cos sin 2-=t x x
2
7
342921912162
2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅+-=∴t t t y ，[]
2.2-∈t
所以当34=
t 时，2
7
min =y [思维点拨]：遇到x x cos sin +与x x cos sin 相关的问题，常采用换元法，但要注意的取值
范围是]2,2[-，以保证函数间的等价转化。
4、图象法，解决形如d
x b c
x a y ++=cos sin 型的函数。
例4、求函数
2sin 2cos x y x
-=
-的最大值和最小值.。
思维点拨：此题为基本题型解决的方法很多，可用三角函数的有界性或万能公式，判别式法。
这里以图象法的主求解。
例5、设]2,
0[π
∈x ，若方程
3π
有两解，求a 的取值范围。
解：
设a y x y =+
=),3
2sin(3π
，
要使两函数图象有交点（如图）， 则
32
3
3<≤a 。
[思维点拨]：在用数形结合法解题时，作图一定要准确。
本题若改为方程有一解，则a 的范围又该怎样呢？
5、利用不等式单调性求最值。
思维点拨：利用基本不等式求最值时，等号不能取得时，可利用单调性。
三、课堂小结
（1） 求三角函数最值的方法有：①配方法，②化为一个角的三角函数，③数形结合
法④换元法，⑤基本不等式法。
（2） 三角函数最值都是在给定区间上取得的，因而要特别注意题设所给出的区间。
（3） 求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，须注意函数有
意义的条件和弦函数的有界性。
（4） 含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。
x。