2.1 Banach 空间和 Hilbert 空间
数学家们观察各种不同领域的问题时，往往采用抽象的方法，把握事物的最本质的核心部分。因此， 抽象的方法是处理数学体系的最简单、最经济的手段。在这种抽象的研究方法中，数学家们是以一个满足 某些公理的集合出发，而集合元素的特征不需指出，由公理导出的一些逻辑结果作为定理而被反复使用。 即，我们以公理体系出发而得到一个数学结构，这个数学结构的理论又以抽象的方法展开讨论。而后，可 把得到的通用定理应用到满足公理体系的各种特殊的集合上去。 在本节，我们将用这种方法来研究抽象空间。这些空间在以后的研究中，都是最基本的。我们不但能 在本学科，也能在其他学科上看到， “空间”这个概念是一个广泛到具有惊人程度的术语，尤其是我们将 会多次提到的 Banach 空间和 Hilbert 空间。 2.1.1 度量空间 度量空间在泛函分析中是最基本的，其在泛函分析中的作用有如实直线 R 在微积分中的作用。 定义 2.1.1 (度量空间，度量) 所谓度量空间，就是指对偶（X，d） ，其中 X 是一个集合，d 是 X 上的 一个度量，即 d 是定义在 X×X 上且对所有 x，y，z∈X 满足以下四条公理的函数： （1）d 是实值、有限和非负的； （2）当且仅当 x=y 时，d(x，y)=0； （3）d(x，y)=d(y，x) （对称性） ； （三角不等式） 。 ■ (2.1.1)
x r = β 1 x1 + β 2 x 2 + L + β r −1 x r −1 ,
β i = −α i / α r
(2.1.10)
我们可以用线性相关和线性无关的概念来定义线性空间的维数。 定义 2.1.4 (有限维和无穷维的线性空间) 对于线性空间 X 来说，如果存在一个正整数 n，使得 X 包含 n 个线性无关的矢量，而且 X 中任意 n+1 个或多于 n+1 个的矢量都是线性相关的，则称 X 是有限维的，n 记做 n=dim X 。 由定义知 X ＝{0}是有限维的， 且 dim X ＝0。 若 dim X 不是有限维的， 就叫做 X 的维数， 便叫做无穷维的。 基，则每一个 x ∈ X 作为 e1 , e2 , L , en 的线性组合，其表达式是唯一的，即 ■ 若 dim X = n ，则 X 的任意 n 个线性无关的矢量都叫做 X 的一个基。若 {e1 , e2 , L, en } 是 X 的一个
在给出 Banach 空间前， 我们首先给出空间的完备性概念。 设 ( x, d ) 是度量空间，{x n } 为 X 中的序列。
d ( xi , xR ) < ε
[定义 2.1.6] 完备的线性赋范空间称为 Banach 空间，简记为（B）空间。
n
(2.1.14)
则称｛ xn ｝为 x 中的 Cauchy 序列。如果空间 x 中的每个 Cauchy 序列都是收敛的，则称 x 是完备的。 ■
例 2.1.6 n 维欧几里德空间 E 是（B）空间。 例 2.1.7 令 C[ a, b] 表示在区间 [ a , b] 上的有连续函数全体，定义
来确定的，其中系数 α 1 ,α 2 ,L,α r 是标量。显然，方程(2.1.9)在 α 1 = α 2 = L = α r = 0 是成立的。若(2.1.9) 仅仅对 α 1 = α 2 = L = α r = 0 成立，则便说 M 是线性无关的。反之，若 M 不是线性无关，即对不全为零 的一组标量 α 1 ,α 2 ,L,α r ，方程(2.1.9)也成立，则称 M 是线性相关的。 ■
X 的一个特殊子空间是非真子空间 Y = X ，X ( ≠ {0}) 的其余子空间都叫做真子空间。 线性空间 X 的 另一个特殊的子空间是 Y = {0} 。
线性空间 X 的一组矢量 x1 , x 2 , L , x m 的线性组合是指如下形式的表示
α 1 x1 + α 2 x2 + L + α m xm
第二章 泛函空间与逼近理论
第二章 泛函空间与系统范数
不确定性系统的研究，其理论性强，分析严谨，许多问题都归结为一个函数空间的优化问题。因此泛 函分析和泛函空间在这里扮演着重要的角色。由于不确定性系统理论的研究涉及到的数学内容很广，本章 的目的也只能向读者提供在本书所研究问题中主要涉及到的有关数学基础知识。本章假设读者已经具备基 本的线性代数、线性系统的知识。本章给出的大多数结果的证明，在许多参考文献中均可查到，但读者在 首次阅读时可以跳过证明。因为作者和读者都倾向于工程领域，因此本章致力于给出有关数学背景知识的 简短但精练的说明，在数学知识中掺杂工程实际问题，以尽量求得其完美的结合。
d ( x, y ) = max x(t ) − y (t )
t∈J
(2.1.3)
在 X 上定义度量。这样得到的一个度量空间记做为 C[a，b]。因为 C[a，b]的每个点都是一个函数，所以它 是一个函数空间。 与我们熟悉的实数空间相同，在距离空间中，同样有收敛点列的唯一性，距离对于单个变元 x，y 的 连续性。
例 2.1.4 元素数域数域 K 的 m × n 矩阵， 按照矩阵的加法和矩阵与数的乘法， 组成域 K 上的线性空间。 例 2.1.5 按照通常的加法和乘法，实数全体是实数域 R 上的线性空间。复数全体是复数域 C 上的线性 空间。任一域是用自己当作数量域的线性空间。 线性空间有以下性质： 1） 零矢量是唯一的。 2） 负矢量是唯一的。 3） 0 x = 0, x ∈ X ;
n
(2.1.12)
还要指出，对于给定的线性空间 X (有限维或无限维)，它的所有基都有相同的基数，这个基数又叫做
X 的维数。下述子空间维数定理可以在许多泛函分析的书籍中找到。
定理 2.1.1 (子空间的维数) 设 X 是一个 n 维线性空间，则 X 的任一真子空间 Y 的维数都小于 n。 2.1.3 赋范空间， Banach 空间 为使度量空间中的度量与向量空间中的代数运算结合起来，我们在向量空间上建立向量的范数，它是 向量模概念在空间的推广。并由范数定义向量空间的度量，从而产生了赋范空间。我们还将学到若在这种 度量下赋范空间是完备的，则称为 Banach 空间。 赋范空间是泛函分析中最重要的一类空间，这里给出其定义如下： 定义 2.1.5 设 X 是复数域 C 上的线性空间，若在 X 上定义实值函数 d ( x ) : x → R 满足下列条件：
现在我们引进两个重要的相互关联的概念，它们在后面要反复用到的。 定义 2.1.3 (线性无关，线性相关) 在线性空间 X 中给定一组矢量 M = {x1 , x 2 ,L, x r } (r ≥ 1) ，是线 性无关还是线性相关由方程
α 1 x1 + α 2 x2 + L + α r xr = 0
(2.1.9)
x = α 1e1 + α 2 e2 + L + α n en
是唯一的。例如， R 的一个基是
n
(2.1.11)
e1 = (1, 0, 0, L , 0) e2 = (0, 1, 0, L , 0) M en = (0, 0, 0, L, 1)
有时又把这组矢量叫做 R 的标准基。每一个线性空间 X ≠ {0} 都有一个基。
d ( x, y ) =
∑ (x
i =1
n
i
− yi ) 2
(2.1.2)
可以证明，这样定义的 d(x，y)满足定义 2.1.1，即空间为一度量空间。而 d(x，y)称为欧几里德度量。 例 2.1.2 我们取定义在闭区间 J=[a，b]上的所有连续实值函数 x(t)，y(t),… 等的集合作为基集 X，用
x+ y = y+x x + ( y + z) = ( x + y) + z 此外，存在零矢量 0 ∈ X ，并对每个矢量 x，存在有 − x ，使得对一切矢量有
x+0= x x + (− x) = 0
(2.1.4)
(2.1.5)
在这个定义中矢量与标量的乘法是，对于 X 中的每一矢量 x 和 K 中的每个标量 α ，与其相联系的一 个矢量 αx ，叫做 α 与 x 之积。按这种方式对一切 x, y 和标量 α , β ，具有
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学的许多分支及其应用中， 线性空间都起着重要的作用。 事实上， 在各种实际的或理论的问题中， 要研究的集合 X ，其元素可以是通常三维空间中的矢量，或者是数列和函数，并且这些元素能以自然的方 式相加和与数相乘，其运算结果仍是 X 的元素。这些具体的事实便是线性空间的概念。线性空间的定义涉 及到一般的域 K ，即 K 可以是实数域 R 或复数域 C 。 定义 2.1.2 (线性空间 ) 所谓域 K 上的一个线性空间 ( 或线性空间 ) 是指一个非空集合 X ，且其元素 这两种运算分别叫做矢量的加法和矢量与标量(即 K x, y , L (称为矢量)关于 X 和 K 定义了两种代数运算。 中的元素)的乘法。 ■ 在这个定义中矢量的加法是，对于 X 中的每一对矢量( x, y )，与其相联系的一个矢量 x + y ，叫做 x 与 y 之和。按这种方式它还具有下述性质：矢量加法是可交换的和可结合的，即对所有矢量都有：
对 X 的任一子集 M 来说，如果 M 的每一个非空有限子集都是线性无关的，则称 M 是线性无关的。 的，则 M 至少有一个矢量能写成其余矢量的线性组合。例如，若式(2.1.9)成立且 α r ≠ 0 ，则 M 是线性相 关的，并且可以从式(2.1.9)关于 xr 解出 反之，若 M 不是线性无关，便称为是线性相关的。很明显可以看出，若 M = {x1 , x 2 ,L, x r } 是线性相关
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第二章 泛函空间与逼近理论
（1） d ( x) ≥ 0 , (2) d (αx) =
∀x ∈ X (正性)
(2.1.13)
α d ( x) , ∀x ∈ X , ∀α ∈ R (齐次性)