的，且无极点在虚轴上； Gˆ 的∞-范数是有限的，当且仅当 Gˆ 是正则的，
且无极点在虚轴上。
2021/4/9
证明：
假定 Gˆ 是严格正则的，无极点在虚轴上，那么其Bode幅频 特性图在高频下降。不难看出，对于充分大的正数K和充分 小的正数T，K Ts 1 的Bode图必定高于 Gˆ 的Bode图，即
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定理：设 Gˆ 稳定，且严格正则，则对于所有2-范数存在 的u，有
(1) y 2
证明：
Gˆ u 2 表2.2的（1，1）项
(2) y
Gˆ u 22 表2.2的（1，2）项
(1) 由 y s
Gˆ s uˆ s
，且
y 2
yˆ 2
(Parseval定理)，有
y2 y2 1
2
22
2
yj d
, 2
或
0
0
0,
其它
则
y2 1 22
Gˆ j
2 u* j
2
d
1
0
2
1
Gj
d
2
0
2
2
1 22
G
2
Gˆ 2
2
2
0 Gˆ j 2 d
0
2
当 0, y Gˆ u*
2
2
u* 2
0 0
u* 1 2
充分小的正数，使得
Gj
Gˆ j 0
0 ,0
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y Gˆ u 22
证明： (2) 由 y t G u t
范数之间的关系
问题：一种范数有限是否意味着其他范数也有限？
*如果 u 2 ，那么 u是一功率信号，且
powu 0
证明：假定u的2-范数有限，则
1 T u t 2 dt 1 u 2
2T T
2T 2
当 T ，上面的不等式右边趋于0
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*如果 u是一功率信号且 u ，那么
1、 u 0
考察从（-∞，∞）映射到R 的信号。
假定它们是连续分段的，当 然在t<0可以是0（即该信号 从t=0时刻开始）。
2、 u 0 u t 0，t
3、 au a u ,a R
4、 u v 定义
1-范数
定义
u : u t dt
数有限），有
2
G
1
22
2
Gˆ j d
1
j
G
s Gˆ s ds
2j j
1 G s Gˆ s ds 2j
最后的积分是沿虚轴向上，然后沿包围左半平面的无穷大半
圆的回路积分。因为 Gˆ 是严格正则的，故沿无穷大半圆的积 分等于0。根据留数定理，Gˆ 2等于G s Gˆ s 在它的左
2
半平面极点上的留数的和。
t<0，G(t)=0
有限维：Gˆ是实有理函数 稳定性 正则性
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Gˆ s
bm s m an s n
bm 1sm 1 an 1sn 1
b1s b0 a1s a0
稳定的
ai ,bj ,i 0,1, , n j 0,1, m
如果 Gˆ 在闭右半平面（Re s>0）解析，或在Re s>0无极点
被控系统是稳定的，因而传递函数 Gˆ 是稳定的。通常情况
下它也是严格正则的（或至少是正则的）。这两个表告诉我 们在各种意义下u对y的影响有多大。例如，如果u是一个固 定频率的正弦信号（可能来自于60Hz的功率源），那么表 2.1的第二列给出了三种意义下y的相对大小。更一般的情况 是干扰信号预先未知，因此表2.2更有意义。
max Gˆ
1k N
j
k
另一方法是通过解方程
d Gˆ 2 j0
d
找到 Gˆ j 的最大值的位置。因为 Gˆ 是有理的，这个导数
可以用公式算出，然后就只需计算导出的多项式的根。
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例5
考察
Gˆ s as 1 a,b 0 bs 1
观察其Bode幅频特性图：
当 a b ，它是递增的（高通），
ω
若取 Hˆ s
K, Ts 1
T,K 0
Hˆ j
K
lim Hˆ j
0 sup Hˆ j
1 T2 2
令K充分大，T充分小（曲线充分平坦），则必有 Hˆ j
K Gˆ j ,
Hˆ Gˆ
2
2
Hˆ
1
22
1
K2 T2
2d
1/ 2
1 K 2 tg 1 T 2T
1/ 2
K 2T
Gˆ
充分性得证。
2
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必要性：（反证法）
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集合包含关系(Venn图)
pow 2
∞
1
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例1
0, t 0
u1(t)
u1
t
1
t ,0t 1
1
0,
t 1
1
t
它的1-范数有限：
u1
1
1 1 dt 2 0t
它的2-范数无限，因为 1/t 的积分在区间 [0,1] 是发 散的
同理，也不是功率信号
又因 u1 是无界的， 因此||u1||∞ 是无限的
反之，它是递减的（低通）。
于是
Gˆ
a b, a b
1, a b
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2.3 输入-输出关系
问题：如果我们知道输入信号的大小，那么输 出会是多大？
考察一个线性系统，输入为 u ，输出为 y ，
传递函数为 Gˆ ，假定它是稳定的和严格正则 的。 结果概括在表2.1和表2.2中
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若 Gˆ 存在虚轴上的极点，则在极点处 Gˆ j 则 Gˆ
2
若 Gˆ 不是严格正则，则 若 Gˆ 是双正则的， Gˆ j
若 Gˆ 不是正则的，Gˆ j 必要性得证。
bn 0
an
Gˆ
2
关于∞-范数，类似可得证。
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如何计算2-范数
按定义
假设 Gˆ 是严格正则的，且无极点在虚轴上（因而它的2-范
yt
Cauchy-Schwarz不等式
Gt u d
G2 t
1/ 2
d
G2 t
1/ 2
d
1/ 2
u2 d
1/ 2
u2 d
或
y
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G u Gˆ u , t
22
22
Gˆ u 22
y
Gˆ
u
2
2
Parseval定理
下面证明 Gˆ 是最小上界 2
选择
ut
Gt ,
G 2
u1 2
则有 y t
Gt u d
表2.1 对两种输入的输出范数和pow
ut t
u t sin t
y 2
y
pow y
Gˆ 2
G
Gˆ j
0
1 Gˆ j 2
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表2.2 系统增益
u 2
y
Gˆ
2
y
Gˆ
2
pow y
0
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u
pow u
G 1
Gˆ
Gˆ
两表的典型应用及意义
假定在控制系统的分析或设计中除了其他因素外，要求干扰 的影响减弱。设被控系统有一干扰输入u，它对对象输出y的 影响是相当小的。令G是从u到y的脉冲响应。我们总是要求
鲁棒控制理论
第二章 信号和系统的范数
2021/4/9
描述一个控制系统性能的方法之一是用某些我 们感兴趣的信号的大小来表示。
本章
考察几种定义信号大小的方法（即信号的几种范数） 介绍系统传递函数的范数 给出两个非常有用的表，概括了输入-输出范数关
系。
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2.1 信号的范数
范数的4条性质
2
∞
1
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例2
0, t 0
u2(t)
u2
t
1
4
t ,0t
1
1
0,
t 1
1
t
它的1-范数存在
它的2-范数存在
u2 1
1 1 dt 4
0 4t
3
u2
2 2
11 dt 2
0t
2
u2 2 2
∞
它的∞-范数不存在 1
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例3
u3
t
0 1
t0 t 0
1
0
G
Gt
d
G
2
y0
则G 2
G2 d
G 2
Gˆ y 2
y
Gˆ
u
2
1
G2
G
2
y
所以 u
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dG 2
Gˆ 2
K Tj 1 Gˆ j ,
但K Ts 1 的2-范数有限，且其2-范数等于K 2T ，因此 Gˆ
有有限的2-范数。
其余的证明与此类似。
看看更详细证明
下一部分内容
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引理1的更详细证明
Hˆ
关于2-范数
Gˆ
充分性：若 Gˆ 严格正则，且无极点在虚轴上，则
lim Gˆ j 0
sup Gˆ j
它的1-范数不存在
1
u3 1
1dt
0
它的2-范数不存在
u3
2 2
1
1dt
0
它的∞-范数存在
u3 1
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t
2
∞
1
2.2 系统的范数