5.7 频域性能指标和时域性能指标的关系频率响应法是通过系统的开环频率特性和闭环频率特性的一些特征量间接地表征系统的瞬(暂)态响应的性能，因而这些特征量又被称为频域性能指标。

常用的频域性能指标有幅值裕度、相位裕度、谐振峰值、谐振频率和频带宽度等。

虽然这些指标没有时域性能指标那样直观，但在二阶系统中，它们与时域性能指标有着确定的对应关系，对于高阶系统，也有近似的关系。

5.7.1频域指标和二阶系统的过渡过程指标设二阶单位反馈系统的方框图如图5-80所示。

图 5-80 二阶单位反馈系统的方框图此系统的闭环传递函数为2222)()(nn n s s s X s Y ωξωω++= 其中ξ为阻尼比，n ω为无阻尼自然振荡频率。

令s j =ω代入上式，可得系统的闭环频率响应为:ja n nM j j X j Y e 2)1(1)()(22=+-=ωωξωωωω式中 M nn =-+1122222()()ωωξωω2212a r c t a n nn ωωωωξα--= 根据式(5-67)可知，当00707≤≤ξ.时，在谐振频率ωr 处，M 出现峰值ωωξr n =-122M r =-1212ξξ二阶系统的闭环频率特性如图5-81所示。

图 5-81 图5-80所示系统的闭环频率特性对于二阶系统，在012≤<ξ时，频率特性的谐振峰值M r 可以反映系统的阻尼系数ξ，而其谐振频率ωr 可以反映给定ξ对应的自然频率ωn ,从而也能反映响应速度。

这样就可把二阶系统闭环频率特性的M r 和ωr 当作性能指标用。

系统的频带宽度(带宽)由图5-81可见，当ωω>r 时，闭环频率特性的幅值M 单调下降。

当闭环频率特性的幅值下降到707.021==M 时，或者说，当闭环频率特性的分贝值下降到零频率时分贝值以下3分贝时，对应的频率ωb 称为截止频率，又称带宽频率。

此时有b j M j M ωωω>-<3)0(lg 20)(lg 20对于0)0(lg 20=j M ，有b j M ωωω>-<3)(lg 20系统对频率高于ωb 的输入衰减很大，只允许频率低于ωb 的输入通过。

闭环频率特性的分贝值不低于3-分贝时，对应的频率范围b ωω≤≤0称为系统的带宽。

带宽是一个重要的频域性能指标。

带宽反映了系统在一定频带范围内比较满意地复现输入信号的能力。

带宽大，表明系统能通过较高频的输入;带宽小，表明系统只能通过较低频的输入。

因此，带宽大的系统，一方面重现输入信号的能力强; 另一方面，抑制输入端高频噪声的能力弱。

为了使系统准确地跟踪任意的输入，带宽大好; 而从抑制噪声考虑，带宽又不能太大。

因此，对带宽要求是有矛盾的，设计中应根据具体情况折衷考虑。

对于一阶系统和二阶，带宽和系统参数具有解析关系。

设一阶系统的闭环传递函数为11)()()(+==Ts s X s Y s φ 因为1)0(=j φ，根据带宽的定义21lg2011lg20)(lg 2022=+=bb T j ωωφ (5-141)根据式(5-141)可求得带宽频率Tb 1=ω 在第三章中，我们研究一阶系统的暂态响应时，有这样的结论:取%5的误差带时，T t s 3=，上升时间T t r 2.2=。

因此bs T t ω33== (5-142) br T t ω2.22.2== (5-143)从式(5-142)和(5-143)可以看出，系统的带宽频率和上升时间r t 成反比，也和调节时间st 成反比。

设二阶欠阻尼系统的闭环传递函数为2222)(nn ns s s ωξωωφ++= 则系统的幅频特性为222211)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=n nj ωωξωωωφ因为1)0(=j φ，根据带宽的定义，21lg 20211lg20)(lg 20222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=n bnbj ωωξωωωφ所以有241222222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n b n b ωωξωω因而有2/1222]1)21()21[(+-+-=ξξωωn b (5-144)由式(5-144)可知，二阶系统的带宽频率ωb 和无阻尼自然振荡频率n ω成正比。

设2)/(n b A ωω=，则有)10(0)]21(1)21([1)21(4d d 22222<<<-++-+--=ξξξξξξA (5-145)由(5-145)可知，A 为阻尼比ξ的减函数，即带宽频率ωb 和阻尼比ξ成反比。

根据第三章中二阶系统的上升时间r t 和调节时间s t 和无阻尼自然振荡频率n ω、阻尼比ξ的关系式(3-42)、式(3-52)及式(3-53)可知，？？？系统的带宽频率ωb 和上升时间r t 和过渡过程时间s t 成反比。

这一结论也适用于高阶系统。

？？？？ ？？？？？在第三章中曾指出，在01≤≤ξ时系统的阻尼振荡频率为ωωξd n =-12阶跃响应的最大超调量M p 为21/e ξπξ--=p MM M r p 、和ξ的关系曲线如图5-82所示。

由图可见，当ξ愈小时，M M r p 、的值愈大。

在00707<<ξ.的情况下，M M r p 和的值是逐一对应的。

而当ξ>0707.时，谐振峰值M r 不在存在。

图5-82 二阶系统p r 和的关系曲线谐振频率ωr 和阻尼振荡频率ωd 之间存在一定的关系：ωωξξr d =--12122其关系如图5-83所示。

？？？？？？r Mr d下面研究二阶系统的相位裕度γ和阻尼比ξ的关系。

图5-80所示的二阶系统的开环频率特性为:G j j j nn ()()ωωωωξω=+22 在幅值穿越频率ωω=c 处，G j c ()ω=1,即1)4(2222=+ncc nωξωωω或()()ωξωωωc n c n 22222440+-=所以有ωωξξc n ⎛⎝ ⎫⎭⎪=+-242412二阶系统的相位裕度为cnn c ωξωξωωγ2arctan 180)2arctan(9000=+--= 2124)2141(2arctan ξξξ-+=二阶欠阻尼系统的γ和ξ在间的关系曲线如图5-84所示。

由图5-81可知,相位裕度γ为阻尼比ξ的增函数。

在ξ≤07.的范围内，它们的关系可近似地表示为ξγ≈001. (5-146)通常，为使控制系统具有良好的动态性能，一般希望相位裕度为070~30，此时，对应二阶系统的阻尼比为7.03.0≤≤ξ。

5.7.2高阶系统系统的时域响应和频率响应之间存在一定的数学关系，用复立叶积分式表示为⎰∞+∞-=ωωπωd e )(21)(t j j Y t y对于高阶系统，进行上述的变换十分困难。

实际上经常应用一些近似估计方法。

高阶系统的典型闭环幅频特性如图5-85所示。

实际中常用以下的频域指标表征系统性能。

图5-85 高阶系统的典型闭环幅频特性曲线1 谐振峰值M r 闭环幅频特性M ()ω的最大值M r 称为谐振峰值。

它反映了系统的相对稳定性。

一般而言，M r 的值愈大，则系统阶跃响应的最大超调量也愈大，因而系统的稳定程度较差。

通常希望系统的谐振峰值在1.1至1.4之间，相当于0407..<<ξ。

2 谐振频率ωr 谐振峰值出现时的频率称为谐振频率，它在一定程度上反映了系统暂态响应的速度。

ωr 值愈大，则暂态响应愈快。

3 截止频率(带宽频率)ωb 当系统闭环幅频特性的幅值M ()ω降到零频率幅值的0.707(或零频率分贝值以下3dB)时，对应的频率ωb 称为截止频率。

0至ωb 的频率范围称为系统的带宽。

它反映了系统对噪声的滤波特性，同时也反映了系统的响应速度。

带宽愈大，暂态响应速度愈快。

4 剪切率 在剪切频率ωc 附近开环对数幅频特性的斜率称为剪切率，它即能反映系统的相位裕度，又能表征系统从噪声中辨别信号的能力。

而这两方面的要求是互相矛盾的。

当希望系统有较大相位裕度时，要求对数幅频特性的剪切率比较平缓，然而这对于抑制系统的噪声却不利。

这时，就需要根据具体情况折衷考虑。

上述几个频域指标是评价系统性能时比较常用的。

当高阶系统具有一对共轭复数的主导闭环极点时，可以近似地化为二阶系统来分析。

这时可以应用前面对于二阶系统所得到的基本结论。

5.7.3 Bode 图形状对系统性能指标的影响系统开环Bode 图可以表征系统的性能。

工程上，通常将系统的开环对数幅频特性曲线划分为三个频段。

下面讨论单位反馈系统开环对数幅频特性曲线在三个频段上对闭环系统性能指标的影响。

1 低频段 低频段一般指开环对数幅频渐近线在第一个交接频率以前的频率区段。

低频段的开环频率特性可表示为vj K G )()(ωω=(5-147)式(5-146)表明，低频段的开环对数幅频特性曲线的形状完全由开环增益K 和系统的型号υ决定。

因此，开环对数幅频特性曲线低频段的形状表征了闭环系统的稳态性能。

如果低频段曲线较陡且位置较高，说明系统的型号υ和开环增益K 都较大，则系统的稳态误差ss e 较小;如果低频段曲线较平直且位置较低，说明系统的型号υ和开环增益K 都较小，则系统的稳态误差ss e 较大。

2 中频段中频段是指开环对数幅频渐近线在0dB 线附近的频率区段，即剪切频率c ω附近的频率区段。

中频段集中地反映了控制系统的动态性能。

为了使系统具有良好的相对稳定性，使相位裕度γ在030到070之间，一般要求最小相位系统的开环对数频率特性在c ω附近的斜率为dB/dec 20-，且该段的区域较宽。

如果在c ω附近的斜率为dB/dec 40-，则对应的系统可能不稳定，或者系统即使能稳定，但因为相位裕度较小，系统的稳定性也较差。

如果在c ω附近的斜率为dB /dec 60-，则对应的系统总是不稳定的。

下面通过例子给予说明。

设最小相位系统的开环对数幅频特性如图5-86所示。

图5-86 最小相位系统的开环对数幅频特性设1ωω<部分的斜率为d B/d e c 20-，3ωω>部分的斜率为dB/dec 40-，且设3//32==c c ωωωω，则(1)当32ωωω<<，斜率为dB/dec 20-; 21ωωω<<, 斜率为dB/dec 40-, 则对应的系统开环频率特性为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=312111)(ωωωωωωωωj j j j K j G系统在c ω处的相角为()3102arctan arctan 90arctanωωωωωωωϕc c c c ---= (5-148) 式(5-148)中1ω虽然未确定，但角度)/arctan(1ωωc 的变化范围是072到090之间，则()0000000126~10818)90~72(9072--=---=c ωϕ所以相位裕度γ在054~72之间。