数学分析中求极限的方法总结Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】数学分析中求极限的方法总结1 利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如下： 定理：如果0x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（）（1）[]0lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B（2）[]0x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→⋅⋅=A⋅B （）（）（（3）若B ≠0（4）0x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→⋅=⋅=A（5）[]0lim ()lim ()nnn x x x x f x f x →→⎡⎤==A ⎢⎥⎣⎦（n 为自然数）上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。

例1. 求225lim3x x x →+-的极限解：由定理中的第三式可以知道例2.求32lim3x x →-的极限式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例3. 已知()11112231n x n n=+++⨯⨯-⨯，求lim n n x →∞解： 观察 11=1122-⨯ 111=2323-⨯因此得到()11112231n x n n=+++⨯⨯-⨯ 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2 利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ∀∆，则 如果 存在，则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为()0'f x 。

即在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。

然后把所求极限都表示成f(x)在定点0x 的导数。

例4.3 利用两个重要极限公式求极限 两个极限公式：（1（2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭但我们经常使用的是它们的变形：（1，（2例5：xx x x 10)1()21(lim +-→解：为了利用极限ex xx =+→10)1(lim 故把原式括号内式子拆成两项，使得第一项为1，第二项和括号外的指数互为倒数进行配平。

xx x x 10)1()21(lim +-→=xx x x 10)131(lim +-+→ =313310])131[(lim -+--+→=+-+e x x x x xx例6：20cos 1limx xx -→解：将分母变形 后再化成“0/0”型 所以=222sin 2limx xx →=21)2(2sin 21lim 220=→x xx 例7: 求xx x 10)21(lim +→的极限解：原式=221210)21()21(lim e x x xx x =⎥⎦⎤+⋅⎢⎣⎡+→利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。

一般常用的方法是换元法和配指数法。

4 利用函数的连续性因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的,所以如果)(x f 是初等函数,且x 是)(x f 的定义区间内的点, 则)()(lim 00x f x f xx =→。

例8：612arcsinlim 1+→x x解 :因为复合函数arcsin是初等函数,而x 1→是其定义区间内的点,所以极限值就等于该点处的函数值.因此 例8：求x x sin ln lim 2π→解： 复合函数xsin ln 在2π=x 处是连续的，所以在这点的极限值就等于该点处的函数值即有2sin ln sin ln lim 2ππ=→x x=1ln 2sinlim =π=0 5 利用两个准则求极限。

（1） 函数极限的迫敛性：若一正整数 N,当n>N 时，有n n nx y z ≤≤且lim lim ,n n x x x z a →∞→∞==则有lim n x y a→∞=。

利用夹逼准则求极限关键在于从nx 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{}n y 和{}n z ，使得n n ny x z ≤≤。

例9 ： 求nx 的极限解：因为nx 单调递减，所以存在最大项和最小项n x ≤≤又因为lim1x x ==（2 ） 单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。

例12：设)1110,1,2,n x x n n +===。

试证数列{}n x 的极限存在, 并求此极限。

解: 由110x =及24x =知12x x ≥。

设对某个正整数k 有1k k x x +≥， 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x从而由数学归纳法可知, 对一切自然数n , 都有1+>n n x x ， 即数列}{n x 单调下降, 由已知易见...)2,1(0=>n x n 即有下界,根据“单调有界的数列必有极限”这一定理可知存在。

令A x n n =∞→lim 对n n x x +=+61两边取极限，有A =260A -A -=解得A=3,或2A =-。

因为...)2,1(0=>n x n ，所以0A ≥，舍去2A =-,故lim 3n n x →∞=6 利用洛必达法则求未定式的极限 定义：若当x a→（或x →∞）时，函数()f x 和()F x 都趋于零(或无穷大)，则极限)()(lim )(x F x f x ax ∞→→可能存在、也可能不存在，通常称为00型和∞∞型未定式。

例如：xx x tan lim 0→, (型);bx ax x sin ln sin ln lim→, (∞∞型).定理：设 （1）当x →∞时, 函数()f x 和()F x 都趋于零; （2）在a 点的某去心邻域内,()'f x 和()'F x 都存在且()'0F x ≠;（3）)()(lim)(x F x f x ax ∞→→存在(或无穷大), 则定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.例10：x x x x x x 222220sin cos sin lim-→在利用洛比达法则求极限时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可用适当的代换，并注意观察所求极限的类型如下例， 例11：求lim+→x xex -1解： lim0+→x xex -1=111lim lim0-=-=-++→→tt t t e e t 洛必达法则通常适用于以下类型：0⨯∞型：例12 求lim (arctan )2x x x π→+∞-.解 原式2221arctan 112lim lim lim 11111x x x x x xx xπ→+∞→+∞→+∞-+====+.∞-∞型：例13 求 ()2lim sec tan x x x π→-.解1sin 1sin sec tan cos cos cos x x x x x x x --=-=，故原式221sin cos limlim 0cos sin x x x xx xππ→→--===-.00型：例14 求0lim x x x +→.解 原式ln 0lim ln ln 00lim lim 1x xxx e x x xx x ee e +→++→→====.1∞型：例15 求lim 1xx e x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解 原式lim 1x e ee x e e x→∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.0∞型：例16 求tan 01lim ()xx x +→.解 原式tan ln tan 01lim ln()tan ln 00lim lim x xxx e x xxx x ee e -+→++-→→===，而tan ~00lim(tan ln )lim(ln )0x xx x x x x x ++→→-−−−→-=，因此：原式=1. 7. 用泰勒展式来求极限用此法必须熟记基本初等函数的展开式,它将原来函数求极限的问题转化为求多项式或有理分式的极限问题。

对于和或差中的项不能用其等价无穷小代替的情形, 有时可用项的泰勒展开式来代替该项, 使运算十分简便。

例17：422cos limx ex x x -→-解：因为所以例18：)]11ln([lim 2x x x x +-+∞→解：因为当x →+∞从而 于是注意：如果该题利用其他方法就不容易做了。

8. 利用定积分求极限由于定积分是一个有特殊结构和式的极限，这样又可利用定积分的值求出某一和数的极限.若要利用定积分求极限，其关键在于将和数化成某一特殊结构的和式。

凡每一项可提1/n,而余下的项可用通式写成n 项之和的形式的表达式,一般可用定积分的定义去求 。

利用定积分可求如下二种形式的极限:n n n f n f n f x )(...)2()1(lim+++∞→型定理：设()f x 在[0，1]上可积，则有例19：求极限n n nn nx +++∞→...21lim解：令()f x x =，()f x 在[0,1]上可积。

n x nnf n f n f )(...)2()1(lim +++∞→型 定理：若)(x f 在[0,1]上可积，则例20：求n n nx !lim∞→解：令()f x x=,则有：例21：求)212111(lim n n n n +++++∞→解：把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算计算定积分，为此作如下变形：不难看出，其中的和式是函数发x x f +=11)(在区间[]1,0上的一个积分和。

（这里所取的是等分分割，,1n x i =∆ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=n i n i n i i ,1ε（..2.1n i ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=）， 所以当然，也可把J 看作x x f 1)(=在[]2,1上的定积分，同样有9. 利用无穷小的性质求极限i我们知道在某一过程中为无穷大量的倒数是无穷小量;有界函数与无穷小量的乘积, 仍是无穷小量。

利用这两个定理可以求出某些函数的极限。

例22：2374lim21+--→x x x x解：当1x →时分母的极限为0，而分子的极限不为0，可先求出所给函数的倒数是无穷大量：2374lim21+--→x x x x = 74231-+- = 0利用无穷小量的倒数是无穷大量 故2374lim 21+--→x x x x =∞例23：极限xxx x sin 1sin lim20→解：xxx x sin 1sinlim20→因为1sin lim=→x xx ；当0x →时，x 为无穷小量，1sin x为有界量，故01sinlim 0=*→x x x ；所以原式=0。