浅谈数学分析中求极限的常用方法Preliminary analysis on the common method of limit problem inmathematical analysis摘要求极限问题是数学分析学习的基础，也是其极为重要的内容之一。

极限问题分为函数极限和数列极限两类，其他很多重要的数学概念的学习都建立在极限基础上，比如导数，积分，级数等等。

因此要学好数学分析，就要学好极限。

解决极限问题看似简单，但却很抽象，往往很难求出。

我们不能仅仅局限于用极限的概念求极限，我们应该掌握多种方法，并且运用各种方法结合，快速而准确的求出极限。

因为极限贯穿于数学分析学习的始终，许多数学概念是从极限出发而得出的。

所以反过来，我们也可以通过有关于极限的数学概念而求出极限。

但是这并不是非常容易的事情，因为极限问题过于抽象，所以我们应该单独的学习各种方法针对性的求极限，最后再进行整合，把多种方法相结合来求极限。

由此可以看出求极限问题是十分繁琐的，针对这种情况，本文中介绍了多种基本的求极限方法和注意事项，并且通过例题的运算过程清晰明了的展现了极限问题的解决过程，使极限问题变得相对简单易懂，为数学分析的学习打下基础。

关键词：数列极限；函数极限；方法Preliminary analysis on the common method of limit problem inmathematical analysisAbstractLimit problem is the base of mathematical analysis. It can be divided into function limit and sequence limit, both of them are very important. Mary other important mathematical ideas are based on limit, such as derivative integral and progression. If one wants to learn mathematical analysis well, he must learn limit well. It is usually very hard to solve limit problem, it seems to be simple, but rather abstract in fact we can not be restricted to solve limit problem by using the concept of limit. We should master multiple methods and use them together to solve the limit problem quickly and accurately. Limit exists in the whole process of mathematical analysis many mathematical concepts start from limit. On the contrary, we can use these concepts to solve limit problem. All these are no easy things. Because of the abstract of limit problem, we should learn multiple of methods in a target way and eventually combine them to solve limit problem. We can see that solving limit problem is very complicated. Aiming at this circumstances, this article introduce multiple basic ways to solve the problem and master needing attention, The calculation of example shows the solving process of limit problem. It make limit problem easier to understand and provide a foothold for the study of mathematical analysis.目录摘要 (I)Abstract (III)引言 (1)1 极限相关的概念 (2)1.1 数列极限 (2)1.2 函数极限 (2)1.3 函数极限和数列极限的关系 (3)2 求极限的常用方法 (4)2.1 极限的四则运算法则 (4)2.2 两个重要极限 (5)2.3 用函数的连续性求极限 (7)2.4 等价无穷小代换 (8)2.5 洛必达法则 (9)2.6 根据定积分的定义求极限 (11)2.7 利用泰勒公式求极限 (12)2.8 利用极限存在准则求极限 (13)2.9 拉格朗日中值定理求极限 (15)3 求极限的小技巧 (15)3.1 有界函数与一个无穷小量的积仍为无穷小量 (16)3.2 换元法 (16)3.3 数列极限转化成函数极限 (17)结论 (18)参考文献 (19)引言求数列极限和函数极限是数学分析中的基础，求极限问题贯穿在数学分析学习的始终。

例如求导数、积分、级数都是建立在极限概念之上的，所以我们要培养极限思想，首先，我们应该学会计算极限问题。

我国古代，数学家刘徽首创割圆术，便是首次在解决问题中运用了极限思想。

所谓割圆术就是不断地增加圆内接多边形的边数来求得圆周率。

即“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割”。

极限思想从产生、发展到完善经历了很长时间的历史过程。

到了19世纪时，法国数学家柯西通过总结前人的成果的基础上，才比较完整的阐述了极限的概念与理论。

他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小有多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小”。

极限的概念与理论为后人研究极限提供了更好的基础。

本文，笔者将对常用的求极限的方法进行总结，并以例题形式加深了解。

通过此种方式，使读者掌握求极限的方法和技巧。

1 极限相关的概念[1]极限的概念对于求极限问题是基础，我们要从基本概念出发，要清晰的明确极限问题，才可以更深入的解决极限问题，所以，首先我们要了解掌握相关的概念。

1.1 数列极限定义1.1设{}n x 是一给定数列，a 是一个实常数。

如果对于任意给定的0>ε，可以找到正整数N ，使得当N n >时，成立ε<-a x n ，则称数列{}n x 收敛于a （或a 是数列{}n x 的极限），记为a x n n =∞→lim ，有时也记为a x n →（∞→n ）。

如果不存在实数a ，使{}n x 收敛于a ，则称数列{}n x 发散。

性质：（1）极限的唯一性：收敛数列的极限必唯一。

（2）数列的有界性：一个数列{}n x ，若既有上界又有下界，则称之为有界数列。

（3）数列极限运算法则：设a x n n =∞→lim ，b x n n =∞→lim ，则①()b a y x y x n n n n n n n ±=±=±∞→∞→∞→lim lim lim ；②()b a y x y x n n n n n n n ⋅=⋅=⋅∞→∞→∞→lim lim lim ；③ca x c cx n n n n ==∞→∞→lim lim （c 为常数）；④b a y x y x nn n n n n n ==∞→∞→∞→lim lim lim （0≠b ）。

（4）保序性：若a x n n =∞→lim ，b y n n =∞→lim ，且b a <，则+∈∃N N ，N n >∀，有n n y x <。

（5）夹逼定理：设有三个数列{}n x ，{}n y ，{}n z ，若n n n z y x ≤≤（+∈N n ），且a z x n n n n ==∞→∞→lim lim ，则a y n n =∞→lim 。

（6）单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必有极限。

1.2 函数极限定义1.2设函数()x f y =在点0x 的某个去心邻域中有定义，即存在0>ρ，使(){}f D x x O ⊂00\,ρ。

如果实数A ，对于任意给定的0>ε，可以找到0>δ，使得当δ<-<00x x 时，成立ε<-A x f )(，则称A 是函数()x f 在点0x 的极限，记为A x f ox n =→)(lim ，或如果不存在具有上述性质的实数A ，则称函数()x f 在点0x 的极限不存在。

性质：（1） 极限的唯一性：设A 与B 都是函数()x f 在点0x 的极限，则A=B 。

（2） 局部保序性：若A x f ox n =→)(lim ，B x g ox n =→)(lim ，且A>B ，则存在0>δ，当δ<-<00x x 时，成立)()(x g x f >。

（3） 夹逼性：若存在0>r ，使得当r x x <-<00时，成立)()()(x h x f x g ≤≤,且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0，则A x f x x =→)(lim 0。

（4） 函数极限的四则运算：设A x f ox n =→)(lim ，B x g ox n =→)(lim ，则①()B A x g x f x x βαβα+=+→)()(lim 0（α，β是常数）；②()AB x g x f x x =→)()(lim 0；③BAx g x f x x =→)()(lim（0≠B ）.1.3 函数极限和数列极限的关系Heine 定理：A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是：对于任意满足条件0lim x x n n =∞→，且0x x n ≠（ 3,2,1=n ）的数列{}n x ，相应的函数值数列{})(n x f 成立A x f n n =∞→)(lim 。

2 求极限的常用方法2.1 极限的四则运算法则运用极限的四则运算法则求极限是在数学分析中一种常见且简单的运算方法。