2019年河北省邢台市临城县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共16小题，共42分）1．计算： =（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．92．下列说法中不正确的是（）A．﹣1的绝对值是1 B．﹣1的倒数是﹣1C．﹣1的相反数是1 D．﹣1是无理数3．在平面直角坐标系内，点P（﹣3，2）关于原点的对称点Q的坐标为（）A．（2，﹣3）B．（3，2） C．（3，﹣2）D．（﹣3，﹣2）4．下列运算正确的是（）A． +=B．3x2y﹣x2y=3C． =a+b D．（a2b）3=a6b35．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．6．如图，扇形OMN的半径为3，弧=6，则扇形的面积是（）A．6 B．7 C．8 D．97．如图，在数轴上，点A表示，点B表示5.1，则A，B之间表示整数的点共有（）A．6个B．5个C．4个D．3个8．如图，若△ABC的周长为20，则AB的长可能为（）A．8 B．10 C．12 D．149．如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（）A．80° B．100°C．110°D．130°10．现有一水塔，内装水20m3，若匀速放水x m3/h，则需要y h才能把水放完，那么表示y 与x之间函数关系的图象是（）A． B．C．D．11．（2分）m是常数，若不等式组恰有两个整数解，则m满足（）A．m＜﹣2 B．m=﹣2 C．m＜﹣1 D．m=﹣112．（2分）用配方法解方程3x2﹣6x+1=0，则方程可变形为（）A．（x﹣3）2=B．3（x﹣1）2=C．（x﹣1）2=D．（3x﹣1）2=113．（2分）在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）A．众数 B．方差 C．平均数D．中位数14．（2分）已知直线y=kx+b，其中k+b=﹣5，kb=6，那么直线经过象限为（）A．第二、四 B．第二、三、四 C．第一、三 D．第一、二、三15．（2分）在二次函数y=x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（）A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．0，016．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（）A．2﹣2 B．6 C．2﹣2 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）17．计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为．18．已知≠0，则的值为．19．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是．20．如图，已知点A（1，）、点B（1，0），把△ABO绕点O顺时针旋转120°，得到△A1B1O，则点A1的坐标为．三、解答题（本大题共6小题，共66分）21．（10分）求值：2（a+1）2+（a+1）（1﹣2a），其中a=．22．（10分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，点O为对称中心，过点O的直线l交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当∠AOE=30°时，求线段EF的长度．23．（10分）如图所示，墙MN长为12m，要利用这面墙围一个矩形小院，面积为60m2，现有建材能建围墙总厂至多26m，设AB=x m，BC=y m．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）要求x和y都取整数，且小院的长宽比尽可能的小，x应取何值？24．（10分）某中学矩形“我的中国梦”演讲比赛，参赛同学的成绩划分为A、B、C、D四个等级，统计数据如图所示．请解答下列问题：（1）参赛的学生共有，图中m= ，n= ，并把条形统计图补充完整；（2）已知A等级中有2名男生和2名女生，若从中随机抽取两人参加下一轮比赛，求抽得一男一女的概率．25．（12分）如图，正方形OABC的边长为2，点A在x轴上，点C在y轴上，函数y=﹣x2+bx+c 的图象经过点B和点C，直线CA交抛物线于点P，PQ⊥x轴于点Q．（1）求该二次函数的解析式；（2）x取何值时y＞0？（3）求．26．（14分）如图，⊙O的直径AB=5，弦AC=3，△PEF的顶点在△ABC的边上，EF∥CB，PB=2EC，设EC=t，△PEF的面积为S．（1）当t=1时，求EF；（2）若EP=PF，求t的值；（3）写出S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；（4）当t为何值时，EP⊥PF？2019年河北省邢台市临城县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共16小题，共42分）1．计算： =（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．9【考点】22：算术平方根．【分析】表示9的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求解．【解答】解：∵32=9∴=3故选A．【点评】本题主要考查了算术平方根的定义，是一个基础题目．2．下列说法中不正确的是（）A．﹣1的绝对值是1 B．﹣1的倒数是﹣1C．﹣1的相反数是1 D．﹣1是无理数【考点】26：无理数；14：相反数；15：绝对值；17：倒数．【分析】根据绝对值的性质，倒数的定义，相反数的意义，无理数的意义，可得答案．【解答】解：A、﹣1的绝对值是1，故A不符合题意；B、﹣1得到数是﹣1，故B不符合题意；C、﹣1的相反数是1，故C不符合题意；D、﹣1是有理数，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了无理数，实数的性质，熟记性质定理是解题关键．3．在平面直角坐标系内，点P（﹣3，2）关于原点的对称点Q的坐标为（）A．（2，﹣3）B．（3，2） C．（3，﹣2）D．（﹣3，﹣2）【考点】R6：关于原点对称的点的坐标．【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），然后直接作答即可．【解答】解：根据中心对称的性质，可知：点P（﹣3，2）关于原点O中心对称的点的坐标为（3，﹣2）．故选：C．【点评】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．4．下列运算正确的是（）A． +=B．3x2y﹣x2y=3C． =a+b D．（a2b）3=a6b3【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；66：约分；78：二次根式的加减法．【分析】A：根据二次根式的加减法的运算方法判断即可．B：根据合并同类项的方法判断即可．C：根据约分的方法判断即可．D：根据积的乘方的运算方法判断即可．【解答】解：∵，∴选项A不正确；∵3x2y﹣x2y=2x2y，∴选项B不正确；∵，∴选项C不正确；∵（a2b）3=a6b3，∴选项D正确．故选：D．【点评】（1）此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（a m）n=a mn（m，n是正整数）；②（ab）n=a n b n（n是正整数）．（2）此题还考查了二次根式的加减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确二次根式的加减法的步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．（3）此题还考查了合并同类项，以及约分的方法的应用，要熟练掌握．5．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上往下看，该几何体的俯视图与选项D所示视图一致．故选D．【点评】本题考查了简单组合体三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．6．如图，扇形OMN的半径为3，弧=6，则扇形的面积是（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】MO：扇形面积的计算．【分析】利用扇形的面积公式S扇形=lR（其中l为扇形的弧长，R为扇形所在圆的半径）求解即可．【解答】解：∵扇形的弧长是6，半径为3，∴扇形的面积是：S=lr=×6×3=9．故选D．【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．7．如图，在数轴上，点A表示，点B表示5.1，则A，B之间表示整数的点共有（）A．6个B．5个C．4个D．3个【考点】29：实数与数轴．【分析】根据比1大比2小，5.1比5大比6小，即可得出A、B两点之间表示整数的点的个数．【解答】解：∵1＜＜2，5＜5.1＜6，∴A、B两点之间表示整数的点有2，3，4，5，共有4个；故选C．【点评】本题考查了实数与数轴以及无理数的估算，根据数轴的特点，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．8．如图，若△ABC的周长为20，则AB的长可能为（）A．8 B．10 C．12 D．14【考点】K6：三角形三边关系．【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边解答．【解答】解：∵△ABC的周长为20，∴AB的长小于10，故选：A．【点评】本题考查了三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．9．如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（）A．80° B．100°C．110°D．130°【考点】M5：圆周角定理．【分析】连接OC，然后根据等边对等角可得：∠OCB=∠OBC=40°，然后根据三角形内角和定理可得∠BOC=100°，然后根据周角的定义可求：∠1=260°，然后根据圆周角定理即可求出∠A的度数．【解答】解：连接OC，如图所示，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=40°，∴∠BOC=100°，∵∠1+∠BOC=360°，∴∠1=260°，∵∠A=∠1，∴∠A=130°．故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关键是：熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10．现有一水塔，内装水20m3，若匀速放水x m3/h，则需要y h才能把水放完，那么表示y 与x之间函数关系的图象是（）A． B．C．D．【考点】E6：函数的图象．【分析】根据xy=20，x＞0，即可得出y=（x＞0），此题得解．【解答】解：根据题意可知：xy=20，x＞0，∴y=（x＞0）．故选C．【点评】本题考查了函数的图象，根据x、y之间的关系找出y=（x＞0）是解题的关键．11．m是常数，若不等式组恰有两个整数解，则m满足（）A．m＜﹣2 B．m=﹣2 C．m＜﹣1 D．m=﹣1【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．【分析】根据不等式组的整数解个数，列出关于m的不等式组，解之得出m的范围，从而得出答案．【解答】解：∵不等式组恰有两个整数解，∴该不等式组的整数解为0，﹣1，则﹣2≤m﹣1＜﹣1，解得：﹣1≤m＜0，则常数m=﹣1，故选：D．【点评】本题考查的是不等式组的整数解和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．12．用配方法解方程3x2﹣6x+1=0，则方程可变形为（）A．（x﹣3）2=B．3（x﹣1）2=C．（x﹣1）2=D．（3x﹣1）2=1【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．【分析】方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，变形即可得到结果．【解答】解：方程变形得：x2﹣2x=﹣，配方得：x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，故选C．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．13．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）A．众数 B．方差 C．平均数D．中位数【考点】WA：统计量的选择．【分析】9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【解答】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．故选：D．【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．14．已知直线y=kx+b，其中k+b=﹣5，kb=6，那么直线经过象限为（）A．第二、四 B．第二、三、四 C．第一、三 D．第一、二、三【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．【分析】首先根据k+b=﹣5、kb=6得到k、b的符号，再根据图象与系数的关系确定直线经过的象限，进而求解即可．【解答】解：∵k+b=﹣5，kb=6，∴k＜0，b＜0，∴直线y=kx+b经过二、三、四象限，故选：B．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据k、b之间的关系确定其符号．15．在二次函数y=x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（）A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．0，0【考点】H7：二次函数的最值．【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最大值．【解答】解：抛物线的对称轴是x=1，则当x=1时，y=1﹣2﹣3=﹣4，是最小值；当x=3时，y=9﹣6﹣3=0是最大值．故选A．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键．16．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF 沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（）A．2﹣2 B．6 C．2﹣2 D．4【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．【分析】当∠BFE=∠B'FE，点B′在DE上时，此时B′D的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E=BE=2，DE﹣B′E即为所求．【解答】解：如图，当∠BFE=∠B'FE，点B′在DE上时，此时B′D的值最小，根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，∴EB′⊥B′F，∴EB′=EB，∵E是AB边的中点，AB=4，∴AE=E B′=2，∵AD=6，∴DE==2，∴DB′=2﹣2．故选：A．【点评】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点B′在何位置时，B′D的值最小，是解决问题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）17．计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为1×106．【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】先根据乘法分配律计算，再根据科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：3.8×107﹣3.7×107=（3.8﹣3.7）×107﹣3.7=0.1×107=1×106．故答案为：1×106．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．注意灵活运用运算定律进行计算．18．已知≠0，则的值为．【考点】S1：比例的性质．【分析】根据比例的性质，可用a表示b、c，根据分式的性质，可得答案．【解答】解：由比例的性质，得c=a，b=a．===．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出a表示b、c是解题关键，又利用了分式的性质．19．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是 4 ．【考点】K3：三角形的面积．【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．【解答】方法1解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，∴S△CGE=S△AGE=S△ACF，S△BGF=S△BGD=S△BCF，∵S△ACF=S△BCF=S△ABC=×12=6，∴S△CGE=S△ACF=×6=2，S△BGF=S△BCF=×6=2，∴S阴影=S△CGE+S△BGF=4．故答案为4．方法2设△AFG，△BFG，△BDG，△CDG，△CEG，△AEG的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，S6，根据中线平分三角形面积可得：S1=S2，S3=S4，S5=S6，S1+S2+S3=S4+S5+S6①，S2+S3+S4=S1+S5+S6②由①﹣②可得S1=S4，所以S1=S2=S3=S4=S5=S6=2，故阴影部分的面积为4．【点评】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，该图中，△BGF的面积=△BGD的面积=△CGD的面积，△AGF的面积=△AGE的面积=△CGE的面积．20．如图，已知点A（1，）、点B（1，0），把△ABO绕点O顺时针旋转120°，得到△A1B1O，则点A1的坐标为（1，﹣）．【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转．【分析】在Rt△OAB中利用勾股定理计算出OA=2，则利用含30度的直角三角形三边的关系得∠A=30°，所以∠AOB=60°，当△ABO绕点O顺时针旋转120°后，点A的对应点A1落在第四象限，如图，则OA1=OA=2，∠AOA1=120°，∠BOA1=30°，利用三角函数可求出A1的纵坐标和横坐标．【解答】解：在Rt△OAB中，∵AB=，OB=1，∴OA==2，∴∠A=30°，∴∠AOB=60°，当△ABO绕点O顺时针旋转120°后，点A的对应点A1落在第四象限，如图，则OA1=OA=2，∠AOA1=120°，∵∠AOB=60°，∴∠BOA1=60°，∴点A1的横坐标为OA1•cos60°=2×=1，纵坐标为OA1•sin60°=2×=，∴A1的坐标为（1，﹣）．故答案为（1，﹣）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．三、解答题（本大题共6小题，共66分）21．（10分）（2019•临城县一模）求值：2（a+1）2+（a+1）（1﹣2a），其中a=．【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．【分析】先将原式进行化简，然后将a的值代入即可求出答案．【解答】解：当a=时，原式=（a+1）（2a+2+1﹣2a）=3（a+1）=3a+3=+3【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．22．（10分）（2019•临城县一模）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，点O为对称中心，过点O的直线l交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当∠AOE=30°时，求线段EF的长度．【考点】L8：菱形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据ASA即可判断．（2）在Rt在Rt△OFC中，∠COF=30°，OF=OCsin60°=，再根据EF=2OF即可解决问题．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，O为对称中心，∴AD∥BC，AO=OC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA）．（2）∵四边形ABCD是菱形，O是对称中心，∴AB=BC=2，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=2，∠ACB=60°，∴OC=1，当∠AOE=30°时，OF⊥BC，在Rt△OFC中，∠COF=30°，OF=OCsin60°=，由（1）可知，OE=OF，∴EF=2OF=．【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．23．（10分）（2019•临城县一模）如图所示，墙MN长为12m，要利用这面墙围一个矩形小院，面积为60m2，现有建材能建围墙总厂至多26m，设AB=x m，BC=y m．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）要求x和y都取整数，且小院的长宽比尽可能的小，x应取何值？【考点】GA：反比例函数的应用．【分析】（1）利用矩形的面积公式即可写出函数解析式；（2）根据AB+BC+CD≤26，且x和y都是正整数即可求得x的值．【解答】解：（1）y=；（2）∵y=，x，y都是整数，且2x+y≤26，且0＜y≤12．∴+y≤26，且0＜y≤12，∴y的值只能取6，10，12．则对应的x的值依次是10，6，4．则符合条件的建设方案只有BC=6cm，AB=10cm；BC=10cm，AB=6cm；BC=12cm，DC=5cm．∵＜＜，∴x=10．【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确根据条件确定y的值是关键．24．（10分）（2019•临城县一模）某中学矩形“我的中国梦”演讲比赛，参赛同学的成绩划分为A、B、C、D四个等级，统计数据如图所示．请解答下列问题：（1）参赛的学生共有40 ，图中m= 8 ，n= 30 ，并把条形统计图补充完整；（2）已知A等级中有2名男生和2名女生，若从中随机抽取两人参加下一轮比赛，求抽得一男一女的概率．【考点】X6：列表法与树状图法；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．【分析】（1）由A等级人数及百分比可得总人数，用C等级的人数除以总人数，求出n的值，再用总人数减去A、C、D等级的人数即可求出m的值，从而补全统计图；（2）根据题意画出树状图，列出所有结果，再利用概率公式可得答案．【解答】解：（1）参赛的学生数是： =40（人）；×100%=30%，则n=30；m=40﹣4﹣12﹣16=8（人），补图如下：故答案为：40，8，30；（2）根据题意画树状图如下：共有12种情况，其中甲一男一女的情况有8种，则P（一男一女）==．【点评】本题主要考查条形统计图与扇形统计图及概率的计算，根据统计图表得出所需信息及画树状图列出所有等可能结果是解题的关键．25．（12分）（2019•临城县一模）如图，正方形OABC的边长为2，点A在x轴上，点C在y轴上，函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点B和点C，直线CA交抛物线于点P，PQ⊥x轴于点Q．（1）求该二次函数的解析式；（2）x取何值时y＞0？（3）求．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由正方形的性质可求得B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可求得抛物线与x轴的交点，结合抛物线可求得x的取值范围；（3）由A、C坐标可求得直线AC的解析式，联立直线AC与抛物线的解析式可求得P点坐标，从而可求得PQ的长，又由△AOC∽△AQP，利用相似三角形的性质可求得答案．【解答】解：（1）∵正方形OABC的边长为2，∴B（2，2），C（0，2），把B、C的坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；（2）在y=﹣x2+x+2中，令y=0可得0=﹣x2+x+2，解得x=﹣1或x=3，∵抛物线开口向下，∴当﹣1＜x＜3时，y＞0；（3）∵A（2，0），C（0，2），∴直线AC的解析式为y=﹣x+2，联立直线AC与抛物线解析式可得，解得或，∴P点坐标为（，﹣），∴AQ=PQ=，∴△APQ是等腰直角三角形，△AOC为等腰直角三角形，∴CA=OA=2，AP=AQ=，∴=．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、正方形的性质、一元二次方程、函数图象的交点、勾股定理、方程思想及数形结合思想等知识．在（1）中求得B、C的坐标是解题的关键，在（2）中求得抛物线与x轴的交点坐标是解题的关键，在（3）中求得P点坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．26．（14分）（2019•临城县一模）如图，⊙O的直径AB=5，弦AC=3，△PEF的顶点在△ABC 的边上，EF∥CB，PB=2EC，设EC=t，△PEF的面积为S．（1）当t=1时，求EF；（2）若EP=PF，求t的值；（3）写出S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；（4）当t为何值时，EP⊥PF？【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）由圆周角定理得到∠ACB=90°，则利用勾股定理得到AC=3，再证明△AEF∽△ACB，利用相似比得到EF=4﹣t，任何把t=1代入计算即可；（2）作PH⊥EF于H，如图，利用等腰三角形的性质得EH=FH=EF=（4﹣），再由四边形PHEC为矩形得到EH=PC=4﹣2t，则4﹣2t=（4﹣t），然后解方程即可；（3）利用三角形面积公式得到S=•t•（4﹣t），然后根据二次函数的性质解决问题；（4）利用相似三角形的判定方法，当=时，△PCE∽△EPF，则EP2=（4﹣2t）（4﹣t），加上EP2=EC2+PC2=t2+（4﹣2t）2，于是得到（4﹣2t）（4﹣t）=t2+（4﹣2t）2，然后解方程即可．【解答】解：（1）∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴AC===3，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ACB，∴AE：AC=EF：CB，即（3﹣t）：3=EF：4，解得EF=4﹣t，当t=1时，EF=4﹣=；（2）作PH⊥EF于H，如图，∵PE=PF，∴EH=FH=EF=（4﹣），易得四边形PHEC为矩形，∴EH=PC=BC﹣BP=4﹣2t，∴4﹣2t=（4﹣t），解得t=；（3）S=PH•EF=•t•（4﹣t）=﹣（t﹣）2+，当t=时，S的最大值为；（4）∵EF∥BC，∴∠CPE=∠PEF，∴当=时，△PCE∽△EPF，即EP2=（4﹣2t）（4﹣t），而EP2=EC2+PC2=t2+（4﹣2t）2，（4﹣2t）（4﹣t）=t2+（4﹣2t）2，整理得7t2﹣8t=0，解得t1=0（舍去），t2=，即当t为时，EP⊥PF．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质；能利用勾股定理和相似比计算线段的长；会运用二次函数的性质解决最值问题．。