圆锥曲线的几大大题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程
令狐采学
/*另外，针对“计算不好”的同学，本人提供“硬解定理”供大家无脑使用。

具体的请参考本目录下的【硬解定理的推导和使用】文章。

*/
圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。

本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。

从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。

【基础知识1：切线方程、极线方程】
【1-0】公式小结：x2换成xx0，y2换成yy0，x 换成(x+x0)/2,y 换成(y+y0)/2.
【1-1】 椭圆的切线方程 ：
①椭圆 12222=+b
y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=+b yy a xx 。

②过椭圆 122
22=+b
y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是
120
20=+b
yy a xx 。

③椭圆
12
2
22=+b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是
022222=-+C b B a A
(也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程：
①双曲线12222=-b
y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=-b yy a xx 。

②过椭圆 122
22=-b
y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是
120
20=-b
yy a xx 。

③椭圆
12
2
22=-b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是
022222=--C b B a A
【1-3】抛物线的切线方程：
物线 px y 22=
上一点),(00y x P 处的切线方程是
)(200x x p yy +=
②过抛物线px y 22=外一点
处所引两条切线是)(200x x p yy +=
③抛物线
px y 22=与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是AC pB 22=
【1-4】 基础知识的证明：
【公式一：曲线C 上切点公式证明】
1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程 设曲线C 上某一点处
),(00y x P 的
切 线 方 程 为
)(00x x k y y -=-,
联立方程，令0=∆,得到k 的表达式，再代入原
始式，最后得切线方程式1)()(22
02202020=+=+b
y a x b yy a xx
（注:k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下）
2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样) 证明：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、
),(22y x ，中点
P ),(00y x
则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)
2(.1)1(,122
22
2222
1221 b y a x b
y a x ⇒)2()1(-，得.022
22122221=-+-b y y a x x 22
12121212a b x x y y x x y y -=++⋅--∴ 又.22,0
0021211212x y x y x x y y x x y y k MN
==++--=
2
200a
b x y k MN -=⋅∴ (弦中点公式的椭圆基本表达式。

双曲线则是
2
2
00a b x y k MN
=
⋅) 当M 、N 无限趋近时，P 在椭圆C
上。

即得切线斜率0
22y x a b k ⋅-=
3、第三种证明思路(注意：仅供理解，考试使用可能分
证明：由2（圆锥曲线切线证明）（同一目录下文章）可知圆上一点的切线方程。

附言：第1种证明思路中，抛物线证明过程中稍微有些不同。

③
①切线斜率可用导数表示。

②得到式子后，要利用px y 220=把20y 消去。

【公式二：曲线外一点引切线，过切点作直线的通式证明】(称为极线方程)
证明思路：过),(00y x P 作两条曲线C 的切线，切点为A ),(11y x ，B ),(22y x 。

⇒⎩⎨
⎧=++=++0
02211C By Ax C By Ax 。

所以⇒过A 、B 两点直线AB l 方程为
0=++C Bx Ax
证明(就举椭圆为例)
解：过),(00y x P 作两条曲线C 的切线，切点为A ),(11y x ，B ),(22y x 。

过A 点切线:
121
21=+b
yy a xx ，过B 点切线：12222=+b
yy a
xx 。

⇒过A 、B
两点直线AB l 方程为
120
20=+b
yy a xx 【公式三：由公式一的思路可得】
【基础知识2：焦半径与准线】(具体关系与内容省略，详情看圆锥曲线知识表格)
【1-1】焦半径公式(具体推导用“两点间距离公式”也可解决，之后类似“求长度”的题型，求长度式子写“两点间举例公式”，结果可以直接靠背。

对于焦半径PF ， 口诀：椭圆F 左加右减。

ex a ±(记忆：a 大则在前)
双曲线F 左加右减，双曲线上点P 左减右加。

a ex ±
焦半径与点到准线距离关系如下。

即(ex a ±)/e=准线距离=±x c
a 2
推广应用:
通过n m ,比例⇔e 的值⇔θcos 的值⇔k =θtan 的值
巧用公式e
n m n m 1cos ⋅+-=θ(注：双曲线交于同侧、抛物线类似)
不过需要注意的是，双曲线交于异侧时，公式就变为
e
n m n m 1
cos ⋅-+=
θ，具体自己推导吧 【基础知识3：弦中点公式及系列类似结论拓展】(坐标变幻只能用于证明部分内容) 【结论一：弦中点公式】
【证明】：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、
),(22y x ，中点
P ),(00y x
则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)
2(.1)1(,122
22
2222
1221 b y a x b
y a x ⇒)2()1(-，得.022
22122221=-+-b y y a x x 22
12121212a b x x y y x x y y -=++⋅--∴ 又.22,0
0021211212x y x y x x y y x x y y k MN
==++--=
2200a
b k k x y k OP MN MN
-=⋅=⋅∴即(常用)
结论：斜率不变的直线与椭圆交于两点，所得两点中点的轨迹
是一条过原点的直线。

【抽象理解型证明】
具体理解，可以用“坐标系变幻理解”
证明：设某斜率为定值k 的直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x
22
221x y a b
+=，令',='x a x y b y =⋅⋅⇒22(')+ (')1x y =。

∵变幻后，x a y b 轴缩短倍，轴缩短倍，得到中点轨迹方程始终与MN 垂直
【结论二：顶点连线斜率乘积公式】(用坐标变幻好理解)(部分设元会用它比较方便)
2
2
AP BP
b k k a
⋅=-,具体证明见下面的“拓展性证明”,若要抽象理解
的话坐标变幻后两个垂直，证明方法和上面一样。

至于双曲线，则是22
AP BP
b k k a
⋅=。

结论可以直接背，不过引用的时候还得按照下
面的方法老实推导。

【结论三：（上一结论的延伸）对称点连线斜率乘积公式】(没法用坐标变幻)
证明：不建议设直线，直接设两个元最后消元即可(此处只列椭圆的，双曲线的证明类似)
A ),(n m 、
B ),(n m --在椭圆上，且关于原点对称。

则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)
2(.1)1(,12
22222
1221 b n a m b y a x ⇒)2()1(-，得222
2
22a b m x n y -=--。