1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设1F 、2F 分别是椭圆22154x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ⋅的最大值和最小值；（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===设P （x ，y ），则1),1(),1(2221-+=--⋅---=⋅y x y x y x PF3511544222+=--+x x x ]5,5[-∈x ，0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ⋅有最小值3；当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ⋅有最大值4（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y由方程组2222221(54)5012520054(5)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪+-+-=⎨⎪=-⎩，得依题意220(1680)0k k ∆=-><<，得 当5555<<-k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则45252,4550222102221+=+=+=+k k x x x k k x x.4520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k kk k k x k y又|F 2C|=|F 2D|122-=⋅⇔⊥⇔R F k k l R F12042045251)4520(0222222-=-=+-+--⋅=⋅∴k k k k k kk k k RF ∴20k 2=20k 2－4，而20k 2=20k 2－4不成立， 所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D| 综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点P （1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C 在l 上.(1)求动圆圆心的轨迹M 的方程；.B ,A M 3,P )2(两点相交于的直线与曲线且斜率为设过点-（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由 （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.解：(1)依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x.:y x4y )1x (3y )1x (3y :AB ,)i )(2(2得消去由的方程为直线由题意得⎩⎨⎧=--=--=.3162x x |AB |),32,3(B ),332,31(A .3x ,31x ,03x 10x 321212=++=-===+-所以解得假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即),(9314y ,)332y ()34()32y (4:)316()32y ()131(,)316()32y ()13(2222222222舍不符解得相减得-=-+=++⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+++因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形. （ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，.32y ,C ,B ,A ,32y 1x )1x (3y ≠=⎩⎨⎧-=--=故三点共线此时得由，9256)316(|AB |,y 3y 34928)332y ()311(|AC |222222==+-=-+--=又， , 392y ,9256y y 334928y y 3428,|AB ||AC ||BC |22222时即即当>++->+++>∠CAB 为钝角.9256y y 3428y y 334928,|AB ||BC ||AC |22222+++>+-+>即当.CBA 3310y 为钝角时∠-<22222y y 3428y 3y349289256,|BC ||AC ||AB |++++->+>即又0)32y (,034y 334y :22<+<++即.该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是:)32(9323310≠>-<y y y 或.解法二： 以AB 为直径的圆的方程为:38 1x :L )332,35()38()332y ()35x (222的距离为到直线圆心-=-=++-. ).332,1(G L AB ,--相切于点为直径的圆与直线以所以当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G 点不重合，且A ， B ，C 三点不共线时， ∠ACB 为锐角，即△ABC 中∠ACB 不可能是钝角. 因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角. 932y 1x ).31x (33332y :AB A =-=-=-得令垂直的直线为且与过点.3310y 1x ),3x (3332y :AB B -=-=-=+得令垂直的直线为且与过点.,)32,1(C ,,32y x )1x (3y 时的坐标为当点所以解得又由-=⎩⎨⎧-=--= A ，B ，C 三点共 线，不构成三角形.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是：).32(9323310≠>-<y y y 或3、(江苏省启东中学高三综合测试三)（1）在双曲线xy=1上任取不同三点A 、B 、C ，证明：⊿ABC 的垂心H 也在该双曲线上；（2）若正三角形ABC 的一个顶点为C(―1,―1)，另两个顶点A 、B 在双曲线xy=1另一支上，求顶点A 、B 的坐标。

解：（1）略；（2）A(2+3,2－3), B(2－3,2+3)或A(2－3,2+3), B(2+3,2－3) 4、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知以向量v =(1,21)为方向向量的直线l 过点(0, 45)，抛物线C ：px y 22=(p >0)的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线上．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设A 、B 是抛物线C 上两个动点，过A 作平行于x 轴的直线m ，直线OB 与直线m 交于点N ，若02=+⋅p (O 为原点，A 、B 异于原点)，试求点N 的轨迹方程． 解：（Ⅰ）由题意可得直线l ：4521+=x y ①过原点垂直于l 的直线方程为 x y 2-= ② 解①②得21-=x ． ∵抛物线的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上． ∴2212⨯-=-p ，2=p ∴抛物线C 的方程为x y 42=．（Ⅱ）设),(11y x A ，),(22y x B ，),(y x N ， 由02=+⋅p ，得042121=++y y x x ． 又1214x y =，2224x y =． 解得 821-=y y ③ 直线ON ：x x y y 22=，即x y y 24= ④由③、④及1y y =得，点N 的轨迹方程为2-=x )0(≠y ．5、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知线段AB 过y 轴上一点),0(m P ，斜率为k ，两端点A ，B 到y 轴距离之差为k 4)0(>k ，（1）求以O 为顶点，y 轴为对称轴，且过A ，B 两点的抛物线方程；（2）设Q 为抛物线准线上任意一点，过Q 作抛物线的两条切线，切点分别为M ，N ，求证：直线MN 过一定点； 解：（1）设抛物线方程为)0(22>=p py x ，AB 的方程为m kx y +=， 联立消y 整理，得0222=--pm pkx x ；∴pk x x 221=+， 又依题有pk k x x 24||21==+，∴2=p ，∴抛物线方程为y x 42=；（2）设M )4,(211x x ，N )4,(222x x ，)1,(0-x Q ，∵21x k MQ =，∴MQ 的方程为⇒-=-)(241121x x x x y 042121=+-y x x x ； ∵MQ 过Q ，∴0420121=--x x x ，同理0420222=--x x x∴21,x x 为方程04202=--x x x 的两个根；∴421-=x x ； 又421x x k MN+=，∴MN 的方程为)(4412121x x x x x y -+=-∴1421++=x x x y ，显然直线MN 过点)1,0( 6、(江西省五校2008届高三开学联考)已知圆M P N y x M 为圆点定点),0,5(,36)5(:22=++上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足0,2=⋅=. （I ）求点G 的轨迹C 的方程；（II ）过点（2，0）作直线l ，与曲线C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，设,OB OA OS +=是否存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由.解：（1）⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋅=02NQ NP Q 为PN 的中点且GQ ⊥PN⇒GQ 为PN 的中垂线⇒|PG|=|GN|∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G 点的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，其长半轴长3=a ，半焦距5=c ，∴短半轴长b=2，∴点G 的轨迹方程是14922=+y x ………5分 （2）因为+=，所以四边形OASB 为平行四边形 若存在l 使得||=|AB |，则四边形OASB 为矩形0=⋅∴若l 的斜率不存在，直线l 的方程为x =2，由⎪⎩⎪⎨⎧±==⎪⎩⎪⎨⎧=+=3522149222y x y x x 得 0,0916=⋅>=⋅∴与矛盾，故l 的斜率存在. ………7分设l 的方程为),(),,(),2(2211y x B y x A x k y -=0)1(3636)49(149)2(222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y 由49)1(36,493622212221+-=+=+∴k k x x k k x x ①)]2()][2([2121--=x k x k y y4920]4)(2[2221212+-=++-=k k x x x x k ② ……………9分把①、②代入2302121±==+k y y x x 得∴存在直线06230623:=-+=--y x y x l 或使得四边形OASB 的对角线相等.7、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y =41x 2的焦点，离心率等于552. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若MA =λ1AF ，=λ2，求证λ1+λ2为定值.解：（I ）设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，则由题意知b = 1..5.55211.55222222=∴=-=-∴a aa b a 即 ∴椭圆C 的方程为 .1522=+y x …………………………………………………5分 （II ）方法一：设A 、B 、M 点的坐标分别为).,0(),,(),,(02211y M y x B y x A易知F 点的坐标为（2，0）.分8.1,12).,2(),(,1011111110111 λλλλλ+=+=∴--=-∴=y y x y x y y x AF MA将A 点坐标代入到椭圆方程中，得.1)1()12(51210211=+++λλλy去分母整理得.0551020121=-++y λλ …………………………………………10分,05510,.05510:,2221202222的两个根是方程可得由同理=-++∴=-++=y x x y λλλλλ.1021-=+∴λλ …………………………………………………………12分方法二：设A 、B 、M 点的坐标分别为).,0(),,(),,(02211y M y x B y x A 又易知F 点的坐标为（2，0）.显然直线l 存在的斜率，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程是).2(-=x k y将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得.052020)51(2222=-+-+k x k x k ……………………………………7分.51520,512022212221kk x x k k x x +-=+=+∴ ……………………………………8分 又.2,2,,22211121x x x x -=-===λλλλ将各点坐标代入得 .10)(242)(22221212121221121-==++--+=-+-=+∴ x x x x x x x x x x x x λλ 8、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)已知点R （－3,0）,点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上 ,且满足230PM MQ +=，0RP PM ⋅=.（Ⅰ）⑴当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设1122(,) (,)A x y B x y 、为轨迹C 上两点，且111, 0x y >>，N(1,0)，求实数λ，使AB AN λ= ，且163AB ||=.解：(Ⅰ)设点M(x,y)，由230PM MQ += 得P(0，2y -)，Q(,03x).由0,RP PM ⋅=得(3，2y -)·(x ，32y )＝0,即x y 42=又点Q 在x 轴的正半轴上，0>∴x 故点M 的轨迹C 的方程是24(0)y x x =>.……6分（Ⅱ）解法一：由题意可知N 为抛物线C:y 2＝4x 的焦点，且A 、B 为过焦点N 的直线与抛物线C 的两个交点。