第六节 圆锥曲线综合考纲解读1.掌握与圆锥曲线有关的最值、定值和参数范围问题.2.会处理动曲线（含直线）过定点的问题.3.会证明与曲线上的动点有关的定值问题.4.会按条件建立目标函数，研究变量的最值及取值范围问题，注意运用数形结合法和几何法求某些量的最值. 命题趋势研究从内容上看，预测2015年高考主要考查两大类问题：一是根据条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质，其热点有：①以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质；②求平面曲线的方程和轨迹；③圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围确定；④涉及圆锥曲线对称变换、最值或位置关系的有关问题.从形式上看，以解答题为主，难度较大.从能力要求上看，要求学生具备一定的数形结合、分析问题和解决问题及运算能力. 知识点精讲一、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下： （1）变量----选择适当的量为变量.（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数. （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值. 求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值. 二、求最值问题常用的两种方法（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法.（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值.求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法.三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视”（1）重视定义在解题中的作用(把定义作为解题的着眼点).（2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用. （3）重视根与系数的关系在解题中的作用(涉及弦长、中点要用根与系数的关系). 四、求参数的取值范围据已知条件及题目要求等量或不等量关系，再求参数的范围. 题型归纳及思路提示题型150 平面向量在解析几何中的应用思路提示解决平面向量在解析几何中的应用要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示.常见的应用有如下两个方面.（1）用向量的数量积解决有关角的问题.直角⇔0a b =,钝角⇔0a b <(且,a b 不反向),锐角⇔0a b >(且,a b 不同向).（2）利用向量的坐标表示解决共线问题.一、利用向量的数量积解决有关夹角（锐角、直角、钝角）的问题 其步骤是：先写出向量坐标式，再用向量数量积的坐标公式cos ,a b <>=例10.44过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作直线交抛物线于A ,B 两点，O 为坐标原点.求证：△ABO 的是钝角三角形.分析 证明△ABO 的是钝角三角形常用的方法是利用余弦定理，但用余弦定理来解决需计算出,,OB OA AB 的长，显然较复杂.因为O ,A ,B 不共线，故可利用0OA OB <来证明∠AOB ＞90°，从而得证.解析 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标(0,)2pF . 根据题意知，直线AB 的斜率存在(若不存在，则A ,B 在原点，矛盾)，设直线AB 的方程为2p y kx =+，由222p y kx x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220x pkx p --=，则122x x pk +=，212x x p =-.因为A ,B 两点在抛物线上，所以2112x py =，2222x py =，两式相乘得，2221212244x x p y y p ==. 11(,)OA x y =，22(,)OB x y =,22212123044p p OA OB x x y y p =+=-+=-<， 又因为O ,A ,B 三点不共线，所以∠AOB ＞90°，△ABO 的是钝角三角形. 评注 直线l 与抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点，则 （1）直线l 在y 轴上的截距等于2p 时，∠AOB ＝90°； （2）直线l 在y 轴上的截距大于2p 时，∠AOB ＜90°； （3）直线l 在y 轴上的截距大于0且小于2p 时，∠AOB ＞90°.变式1（2012重庆理20）如图10-34所示，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右焦点分别为F 1,F 2，线段OF 1,OF 2的中点分别为B 1,B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形.（1）求该椭圆的离心率和标准方程；（2）过B 1作直线l 交椭圆于P ,Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程.变式2设A ,B 分别为椭圆22143x y +=的左右顶点，P 为直线4x =上不同于(4,0)的任意一点，若直线AP ,BP 分别与椭圆交于异于A ,B 的点M ,N ，证明：点B 在以MN 为直径的圆内.变式3已知1m >，直线2:02m l x my --=,椭圆222:1x C y m+=，F 1,F 2分别为椭圆C 的左右焦点.（1）当直线l 过右焦点F 2时，求直线l 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点，△AF 1F 2和△BF 1F 2和的重心分别是G ,H ；若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.例10.45在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0,3),3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1y kx =+与C 交于A ,B 两点. （1）写出C 的方程； （2）若OA ⊥OB ,求k 的值.解析 （1）设(,)P x y ，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0,3)-,3)为焦点，长半轴为2的椭圆.其短半轴1b =，故曲线C 的方程为2214y x +=. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y,由22141y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，即22(4)230k x kx ++-=，由韦达定理知，12224k x x k +=-+，12234x x k =-+. 若OA ⊥OB ,即12120x x y y +=，而2121212()1y y k x x k x x =+++，所以212122232(1)()()1044k x x y y k k k k +=+-+-+=++，即2410k -+=， 解得12k =±. 评注 本题的结论可由【例10.44变式3】的评注中的重要结论顺利得到：由题意，OA ⊥OB ,故有∠AOB ＝90°，设原点O 到直线的距离为OH d =，则有22211154a bOH=+=，故可得5OH d ==，又1y kx =+，所以251d k ==+，解得12k =±.利用此结论求解，可以对利用常规方法求解出的结果加以验证，从而提高解题的准确率，做到胸有成竹.变式1如图10-35所示，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的顶点为A 1,A 2,B 1,B 2，焦点为F 1,F 2，117A B =,112211222B A B A B F B F SS=.(1)求椭圆C 的方程； （2）设n 为过原点的直线，l 是与n 垂直相交于P 点,与椭圆相交于A ,B 两点的直线，1OP =，是否存在上述直线l 使0OA OB =成立？若存在求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.变式2如图10-36所示，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点是(1,0)F ，O 为坐标原点，设过点F 的直线l 交椭圆于A ,B 两点.若直线l 绕点F 任意转动，恒有222OA OB AB +<,求a 的取值范围.二、利用向量的坐标表示解决共线问题向量,a b 共线的条件是a b λ=或1221x y x y =.例10.46在平面直角坐标系xOy 中，经过点2)且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P ,Q . （1）求k 的取值范围；（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ,B ，是否存在常数k ，使得向量OP ＋OQ 与AB 共线？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由. 分析 将向量共线转化为坐标关系求解.解析 （1）设直线l 方程为2y kx =+，代入椭圆得22(2)12x kx ++=即22(21)4220k x kx +++=，①则222(42)4(21)21680k k k ∆=-+⨯=->，解得22k <-,或22k >. （2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ,则OP ＋OQ ＝1212(,)x x y y ++， 由方程①得122212kx x k+=-+，② 1212()22y y k x x +=++又(2,0),(0,1)A B ,∴(2,1)AB =-.所以向量OP ＋OQ 与AB 共线等价于12122()x x y y +=-+， 将②③代入上式，解得22k =， 由（1）知2k <-,或2k >，故没有符合题意的常数k . 变式1设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为F 1,F 2，离心率22e =，直线2:a l x c=，如图10-37所示，M ,N 是l 上的两个动点，120F M F N =.（1）若1225F M F N ==，求,a b 的值；（2）证明：当MN 取最小值时，12F M F N +与12F F 共线.例10.47设A ,B 是椭圆2212x y +=上的两点，并且点(2,0)N -满足NA NB λ=,当11[,]53λ∈时，求直线AB 斜率的取值范围.分析 已知λ的取值范围，求直线斜率范围关键在于如何用λ表示k ，突破口在于将NA NB λ=转化为坐标关系.解析 因为NA NB λ=，所以A ,B , N 三点共线，又点N 的坐标为(2,0)-，设直线AB 的方程为(2)y k x =+，则0k ≠，由2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得222(21)420k y ky k +-+=，由条件可知，222(4)4(21)200k k k k ⎧∆=--+⨯>⎨≠⎩解得0k <<. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则122412ky y k +=+，2122212k y y k =+，由NA NB λ=，得1122(2,)(2,)x y x y λ+=+.所以有12122(2)x x y y λλ+=+⎧⎨=⎩，12222212224(1)12212k y y y k ky y y k λλ⎧+=+=⎪⎪+⎨⎪==⎪+⎩， 消去2y 得22(1)812k λλ+=+，令2(1)1()2h λλλλλ+==++，11[,]53λ∈，则()h λ在区间11[,]53上为减函数，从而163≤2812k +≤365.解得12-≤k≤6-或≤k≤，符合02k <<，因此直线AB 斜率的取值范围为[12-,6-]∪[6,12]. 评注 本题在消元上有个技巧，当12x x λ=时消去y 得关于x 的一元二次方程.122(1)b x x x a λ+=+=-，2122c x x x aλ==，消去2x 就会得λ与,,a b c 之间的关系；当12y y λ=时消去x .变式1已知F 1,F 2分别为椭圆22132x y +=的左右焦点，直线1l 过点F 1且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l ，垂足为D ，线段DF 2的垂直平分线交2l 于点M . （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）过点F 1作直线交曲线C 于两个不同的点P 和Q ，设11F P FQ λ=,若[2,3]λ∈，求22F P F Q 的取值范围.变式2过点(1,0)F 的直线交抛物线24y x =于A ,B 两点，交直线:1l x =-于点M ，已知1MA AF λ=,2MB BF λ=,求12λλ+的值.题型151 定点问题思路提示（1）直线过定点，由对称性知定点一般在坐标轴上，如直线y kx b =+，若b 为常量，则直线恒过(0,)b 点；若b k 为常量，则直线恒过(,0)bk-. （2）一般曲线过定点，把曲线方程变为12(,)(,)0f x y f x y λ+=（λ为参数），解方程组12(,)0(,)0f x y f x y =⎧⎨=⎩即得定点. 模型一：三大圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中的顶点直角三角形的斜边所在的直线过定点.例10.48已知椭圆22143x y +=，直线:l y kx m =+与椭圆交于A ,B 两点（A ,B 不是原点），且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标. 分析 要求直线过定点，必须知道直线:l y kx m =+中k 与m 的关系.解析 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得 222(43)84120k x kmx m +++-=，由条件可知，222(8)4(43)(412)0km k m ∆=-+->，即2243m k <+，则122843kmx x k +=-+，212241243m x x k -=+，（**）因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0)，所以1122(2,)(2,)0x y x y --=，即1212122()40x x x x y y -+++=，即1212122()4()()0x x x x kx m kx m -+++++=，整理得，221212(1)(2)()40k x x km x x m ++-+++=，将（**）代入，化简得2271640m km k ++=，即2m k =-或27k m =-. （1）当2m k =-时，:2l y kx k =-过右顶点(2,0)，与题意不符，故舍去； （2）当27k m =-时，2:7k l y kx =-过定点2(,0)7，且满足2243m k <+，符合. 所以:l y kx m =+过定点2(,0)7.评注 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，直线:l y kx m =+与椭圆交于A ,B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点A 1,求证：如图10-38所示，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,由22221x y ab y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得 222222222()20a k b x a kmx a m a b +++-=，由条件可知，222222222(2)4()()0a km a k b a m a b ∆=-+->，即2222m a k b <+.（注：截距的平方小于二次方程的二次项系数，请记住！）则2122222a km x x a k b +=-+，22212222()a m b x x a k b -=+，（**）因为AB 为直径的圆过椭圆的右顶点A 1(,0)a ,所以110A A A B =,又111(,)A A x a y =-，122(,)A B x a y =-所以1122(,)(,)0x a y x a y --=，即2121212()0x x a x x a y y -+++=，即2121212()()()0x x a x x a kx m kx m -+++++=，整理得，2221212(1)()()0k x x km a x x m a ++-+++=，将（**）代入，化简得2222()[()()]0m ak a b m a a b k +++-=.（1）当m ak =-时，:l y kx ak =-过右顶点(,0)a ，与题意不符，故舍去；（2）当2222()a a b k m a b -=-+时，2222():a a b k l y kx a b -=-+过定点2222()(,0)a a b a b -+，且满足2222m a k b <+，符合题意.所以，:l y kx m =+过定点2222()(,0)a a b a b-+. 同理可证，若AB 为直径的圆过左顶点(,0)a -,则l 过定点2222()(,0)a a b a b --+； 过上顶点(0,)b 时，l 过定点2222()(0,)b b a a b -+； 过下顶点(0,)b -时，l 过定点2222()(0,)b b a a b --+. 类比椭圆，对于双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，上异于右顶点的两动点A ,B ，若AB 为直径的圆过右顶点(,0)a ,则AB l 过定点2222()(,0)a a b a b +-；同理，若该圆过左顶点(,0)a -,则AB l 过定点2222()(,0)a a b a b-+-； 变式1已知椭圆2214x y +=的左顶点为A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与椭圆交于不同的两点P ,Q ，当0AP AQ =，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点.变式2（2012北京海淀高三期末理19）已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且离心率为2，Q 为椭圆C 的左顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点6(,0)5-的直线l 与椭圆C 交与A ,B 两点.（Ⅰ）若直线l 垂直于x 轴，求∠AQB 的大小；（Ⅱ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得△QAB 为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.例10.49已知抛物线22(0)y px p =>上异于顶点的两动点A ,B 满足以AB 为直径的圆过顶点. 求证：AB 所在的直线过定点，并求出该定点的坐标. 分析 要证明AB l 过定点，必须先求得其方程.解析 由题意知AB l 的斜率不为0（否则只有一个交点），故可设:AB l x ty m =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由22y px x ty m⎧=⎨=+⎩，消去x 得2220y pty pm --=，从而222(2)4(2)480pt pm p t pm ∆=---=+>，即220pt m +>，且121222y y pty y pm +=⎧⎨=-⎩，（*）因为以AB 为直径的圆过顶点(0,0)O ，所以0OA OB ⋅=,即12120x x y y +=，也即221212022y y y y p p⋅+=，把式（*）代入化简得(2)0m m p -=，得0m =或2m p =. （1）当0m =时，x ty =，AB l 过顶点(0,0)O ，与题意不符，故舍去；（2）当2m p =时，2x ty p =+，令0y =，得2x p =，所以AB l 过定点(2,0)p ，此时2m p=满足220pt m +>.图10-39综上，AB l 过定点(2,0)p .评注：（1）①将斜率存在的直线的方程设为y kx b =+，将斜率不为0的直线的方程设为x ty m =+ ；②抛物线22y px =中，221212121224y y x x y y y y p +=+ ；③对于过定点问题，必须引入参数，最后令参数的系数为0.如本题，先引入参数,t m 之后，就剩下参数t ，直线2x ty p =+中令参数t 的系数y 为0，则直线过定点(2,0)p .(2)抛物线22x py = (0)p >上两异于原点O 的动点A,B 满足OA OB ⊥，则AB 所在的直线过定点(0,2)p ；抛物线22y px = (0)p >上两异于原点O 的动点A,B 满足OA OB ⊥，则AB 所在的直线过定点(2,0)p .变式1 如图10-39所示，已知定点00(,)P x y 在抛物线22y px = (p 上，过点P 作两直线12,l l 分别交抛物线于A,B ，且以AB 为直径的圆过点P ，证明：直线AB 过定点，并求出此定点的坐标.变式2 已知抛物线24y x =，过点(1,2)M 作两直线12,l l ,A B 两点，且12,l l 的斜率12,k k 满足122k k =.求证：直线AB 过定点，并求出此定点的坐标.模型二：三大圆锥曲线（椭圆，双曲线，抛物线）中，若过焦点的弦为AB ，则焦点所在坐标轴上存在唯一定点N ，使得NA NB ⋅为定值.例10.50 （2012北京海淀二模理18）已知椭圆2222:1(0)x y Ca b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，且点(1,2-在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于,A B 两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB ⋅=-恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 解析 （1）由题意知：1c =.根据椭圆的定义得：22a ==即a =所以2211b =-=.所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=. (2) 假设在x 轴上存在点(,0)Q m ，使得716QA QB ⋅=-恒成立. 当直线l 的斜率为0时，(A B .则7,0)(,0)16m m ⋅=-,解得54m =±.(i)当直线l 的斜率不存在时，(1,(1,22A B -.由于557(1(1,4416+⋅+≠-，所以54m ≠-.(ii)下面证明54m =时，716QA QB ⋅=-恒成立. 显然直线l 的斜率为0时，716QA QB ⋅=-.当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x ty =+，1122(,),(,).A x y B x y由22121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得：22(2)210.t y ty ++-= 22(2)4(2)0t t ∆=++>.1221222,21.2t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩因为111x ty =+，221x ty =+，所以 112212125511(,)(,)()()4444QA QB x y x y ty ty y y ⋅=-⋅-=--+2212122222211121(1)()(1)416242162217.2(2)1616t t t y y t y y t t t t t t =+-++=-++⨯+++--+=+=-+综上所述，在x 轴上存在点5(,0)4Q ，使得716QA QB ⋅=-恒成立. 变式1 已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于,A B 两点.在x 轴上是否存在定点C ，使得CA CB ⋅为常数？若存在，求出点C 的坐图10-40标；若不存在，请说明理由.题型152 定直线问题模型：已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y ，当过点P 的动直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B 时，在线段AB 上取一点Q ,满足||||.||||AP AQ PB QB = 求证：点Q 总在某定直线上，并求出该直线的方程.证明：如图10-40所示，设1122(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ，由题意知||||||||PA PB AQ QB =， 设A 在P ，Q 之间，(0)PA AQ λλ=>，又Q 在P ，B PB BQ λ=-,因为||||PB BQ >，所以1λ>.由PA AQ λ=得101011(,)(,)x x y y x x y y λ--=--，解得01011.1x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩同理，由PB BQ λ=-得202022(,)(,)x x y y x x y y λ--=---，解得02021.1x xx y yy λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩因为点A 在椭圆上，所以220022()()111x x y y a b λλλλ+++++=， 即2220022()()(1)x x y y a b λλλ+++=+ ① 同理，点B 在椭圆上，得2220022()()(1)x x y y a bλλλ--+=-. ② 由①－②得00222(2)2(2)4x x y y a b λλλ⨯⨯+=，即00221x x y y a b +=. 所以点Q 在定直线00221x x y ya b+=上.类比椭圆，对于双曲线有点Q 在定直线00221x x y ya b-=上. 再有P ，Q 的对等性知，当P 在椭圆内，仍有上述结论，双曲线亦同.已知抛物线22y px = (0)p >，定点00(,)P x y 不在抛物线上，过点P 的动直线交抛物线于,A B 两点，在直线AB 上取点Q ,满足||||.||||AP AQ PB QB = 求证：点Q 在某定直线上，并求其方程.证明：设1122(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ，由题意知||||||||PA PB AQ QB =， 设A 在P ，Q 之间，(0)PA AQ λλ=>，又Q 在P ，B 之间，故PB BQ λ=-,因为||||PB BQ >，所以1λ>，由PA AQ λ=知101011(,)(,)x x y y x x y y λ--=--，解得01011,1x xx y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩故点A 坐标为00(,)11x x y yλλλλ++++. 同理，由PB BQ λ=-知202022(,)(,)x x y y x x y y λ--=---，解得02021.1x xx y yy λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩故点B 坐标为00(,)11x x y yλλλλ----. 因为点A 在抛物线上，所以200()2()11y y x xp λλλλ++=++，即200()2(1)()y y p x x λλλ+=++ ① 同理 200()2(1)()y y p x x λλλ-=--. ②由①－②得002(2)4()y y p x x λλ⨯=+，即00()y y p x x =+. 所以点Q 在定直线00()y y p x x =+上.注：三大圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中，当定点00(,)P x y 在曲线上时，相应的定直线00221x x y y a b +=，00221x x y ya b-=，00()y y p x x =+均为在定点00(,)P x y 处的切线.例10.51 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M ,且左焦点为1(F .(1)求椭圆C 的方程；（2）当过点P (4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ,满足||||||||AP QB AQ PB =.证明：点Q 总在某定直线上.分析 用待定系数法求解椭圆的方程，巧妙地利用定比分点解答点Q 的轨迹问题.解析 （1）由题意知2222222211c a bc a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎩，解得224,2a b ==，所求椭圆方程为22142x y +=. （2）如图10-41所示，设1122(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ， 由题意知||||||||PA PB AQ QB =， 不妨设A 在P ，Q 之间，(0)PA AQ λλ=>，又Q 在P ，B PB BQ λ=-,因为||||PB BQ >，所以1λ>，由PA AQ λ=得1111(4,1)(,)x y x x y y λ--=--，解得11411.1x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩同理，由PB BQ λ=-得2222(4,1)(,)x y x x y y λ--=---，解得22411.1x x y y λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩因为点A 在椭圆上，所以2241()()11142x y λλλλ+++++=， 即222(4)(1)(1)42x y λλλ+++=+ ① 同理，点B 在椭圆上，得222(4)(1)(1)42x y λλλ--+=-. ②由①－②得8222442x y λλλ⨯⨯+=，因为0λ≠所以12yx +=. 所以点Q 在定直线220x y +-=上.评注 由模型的结论不难知动点(,)Q x y 总在定直线00221x x y ya b+=上，22004,2,4,1a b x y ====，得4142x y+=，即220x y +-=. 题型153 定值问题思路提示求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出其值，再证明这个值与变量无关，这符合一般与特殊的思维辩证关系.简称为：特殊探路，一般论证.(2)直接推理，计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.模型：三大圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中，曲线上的一定点P 与曲线上的两动点A ，B 满足直线PA 与直线PB 的斜率互为相反数，则直线AB 的斜率为定值.例10.52 已知椭圆22:143x y C +=，A 为椭圆C 上的点，其坐标为3(1,)2A ，,E F 为椭圆C 上的两动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明：直线EF 的斜率为定值，并求出该定值.分析 要求直线EF 的斜率，必须知道E ，F 的坐标.解析 设直线AE 的方程为3(1)(0)2y k x k =-+≠，联立221433(1)2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消y 得22223(43)(128)4()1202k x k k x k ++-+--=，则222234()1241232(43)43E A k k k x k x k ----==++ ① 又直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，故以上k 用k -代替22412343F k k x k +-=+ ②所以33[(1)][(1)]()222F E F E F E EFF E F E F Ek x k x y y k x x k k x x x x x x --+--+--++===---， 把①，②两式代入上式，得12EF k =，为定值.评注 本题中可以用换元法简化计算，可以设31,2x t y s -=-=，得31,2x t y s =+=+，将,x y 代入椭圆方程中得2233(1)4()122t s +++=，且s kt =（k 为直线AE 的斜率），联立直线方程与椭圆方程得2233(1)4()122s kt t s =⎧⎪⎨+++=⎪⎩，消s 得关于t 的一元二次方程： 22(43)(126)0k t k t +++=，得122121264312643k t k k k s k +⎧=-⎪⎪+⎨+⎪=-⎪+⎩，同理222221264312643k t k k k s k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩， 由113(1,)2E t s ++，223(1,)2F t s ++，得222221212261212612143431261262424343EF k k k ks s k k k k k k t t k k k -++-++====-+-+++为定值. 变式1 已知A ，B ，C 是长轴为4，焦点在x 轴上的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆的中心O ,且0,||2||AC BC BC AC ⋅==.(1) 求椭圆的方程；（2）如果椭圆上的两点,P Q ,使得PCQ ∠的平分线垂直于OA ，问是否总存在实数λ，使得PQ AB λ=？说明理由.变式2 如图10-42所示，过抛物线22(0)y px p =>上一定00(,)P x y 0(0)y ≠，作两条直线分别交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y .(1) 求该抛物线上纵坐标为2p的点到焦点F 的距离； (2) 当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求12y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.题型154 最值问题思路提示有两种求解方法：一是几何方法，所求最值量具有明显的几何意义时可利用几何性质结合图形直观求解；二是目标函数法，即选取适当的变量，建立目标函数，然后按照求函数的最值方法求解，同时要注意变量的范围.图10-43例10.53 设椭圆2212516x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点M 是椭圆上任意一点，点A 的坐标为(2,1)，求1||||MF MA +的最大值和最小值.分析 本题若设(,)M x y ，建立目标函数1||||(,)MA MF f x y +=，则会作茧自缚.但是注意到1F 为椭圆左焦点，联想到椭圆定义及三角形中边的关系不等式时，问题就容易获解. 解析 如图10-43所示，12(3,0),(3,0)F F -，因为M 在椭圆上，所以有12||||210MF MF a +==，令1||||Z MF MA =+，得210||||Z MA MF =+-.当2,,M A F 三点不共线时，有222||||||||AF MA MF AF -<-<当M 落在2F A 的延长线时，22||||||MA MF F A -=-，当M 落在2AF的延长线时，22||||||MA MF F A -=.所以max 210||1010Z F A =+==+，min 210||10Z F A =-=评注 这里利用椭圆定义、三角形两边之差小于或等于（注意等号成立的条件）第三边，使与曲线有关的最值转化为直线段间的最值.应明确这里不能用11||||||FM AM F A +≥=1||||F M AM +，原因是取不到等号，如果要取到等号，那么M 必须在线段1F A 上，但这是不可能的变式1 如图10-44所示，已知点P 是抛物线24y x =上的点，设点P 到此抛物线的准线的距离为1d ，到直线:2120l x y +-=的距离为2d ，求12d d +的最小值.变式 2 已知点P 为双曲线2214x y -=上的动点，(55M F ,求||||||MP FP -的最大值及此时点P 的坐标.例10．54已知椭圆2214y x +=，点M 为椭圆上的动点，若,C D 的坐标分别是(0,，求||||MC MD 的最大值.分析求积的最大值，由“和为定值积有最大值”知，必须找出和为定值.解析 由题设知,D C 是椭圆的上、下焦点，故由椭圆的定义知||||4MC MD +==. 所以22||||4||||()()422MC MD MC MD +≤==.当且仅当||||MC MD =时取等号，即M 为左、右顶点时取等号.所以，当M 为左、右顶点时，||||MC MD 取得最大值4.评注 本题运用基本不等式求最值，但要注意使用基本不等式的条件：一正，二定，三相等，四同时，积为定值时，和最小,0)a b a b +≥>；和为定值时，积最大2()(,0)2a b ab a b +≤>，取等号的条件均为a b =. 变式1 已知椭圆2214y x +=在第一象限部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在P 点处的切线与,x y 轴的交点分别为,A B ,且向量OM OA OB =+，求||OM 的最小值.例10.55 如图10-45所示，已知抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>相交于,,,A B C D 四点.(1) 求r 的取值范围；（2）当四边形ABCD 的面积最大时， 求对角线,AC BD 的交点P 的坐标.解析 （1）将2y x =代入222(4)x y r -+= 因为E 与M 有四个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根12,x x ，由此得2212212(7)4(16)070160r x x x x r ⎧∆=--->⎪+=>⎨⎪=->⎩，解得215164r<<.又0r >，所以r 的取值范围是4)2. (2)不妨设E 与M 的四个交点坐标分别为11((,A x B x2(,C x2(D x ，则直线,AC BD 的方程分别为121()y xx =-，121()y x x=-.解得点P 的坐标为.设t =t =1）知702t <<.由于四边形ABCD 为等腰梯形，因而其面积211||2S x x =⋅-.即22121212([()4]S x x x x x x =++⋅+-.将127x x +=t =代入上式，并令2()f t S =，得27()(72)(72)(0)2f t t t t =+⋅-<<.求导数得'()2(27)(67)f t t t =-+-，令'()0f t =，解得77,62t t ==-（舍去）. 显然当706t <<时，'()0f t >；当7762t <<时，'()0f t <.故当且仅当76t =时，()f t 有最大值，即四边形ABCD 的面积最大.故所求的点P 的坐标为7(,0)6.另解，2231128()(72)(72)(72)(144)()223f t t t t t =+-=⋅+-≤⨯，当且仅当72144t t +=-时，即76t =时取等号，所以点P 的坐标为7(,0)6.评注 本题主要有两个考查点：一个是考查将曲线与曲线的交点问题转化为二次方程的根的问题，是较基本的问题；另一个是考查四边形ABCD 的面积最大值问题，是本题的核心点.要注意本题中表面上求点的坐标，实质上是求四边形ABCD 的面积最大值，而且在求目标函数最值的过程中，利用了导数判断单调性的方法，从而使本题的综合性大大提高. 变式1 已知平面内一动点P 到点(1,0)F 的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1) 求动点P 的轨迹C 的轨迹；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ，设1l 与轨迹C 相交于点A,B ，2l 与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD EB ⋅的最小值.最有效训练题47（限时45分钟）1.经过椭圆2212x y +=的一个焦点作倾斜角为45的直线l 交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA OB ⋅等于（ ） A. 3- B. 13-C. 13-或3-D. 13± 2.设12,F F 是双曲线221(0)4x y a a a-=>的两个焦点，点P 在双曲线上，12120,||||2PF PF PF PF ⋅==,则a 的值为A. 1B.23.过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是,p q ，则11p q+等于（ ） A. 2a B.12a C. 4a D. 4a4.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x⊥轴，直线AB 交y 轴于点P，若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ）Ａ．2 Ｂ．2 Ｃ．13 Ｄ．12５.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为１，则椭圆长轴长的最小值为（）C.2D. ６.如果AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的任意一条与x 轴不垂直的弦，Ｏ为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，Ｍ为AB 的中点，则AB OM k k ⋅的值为（ ） Ａ．1e - Ｂ．1e - Ｃ．21e - Ｄ．21e -７.已知椭圆的焦点是1(F和2F ，离心率为e =Ｐ为椭圆上一点，1223PF PF ⋅=，则12PF F ∆面积为＿＿＿＿＿＿＿＿． ８．如图10-46所示，Ｐ是双曲线2214x y -=右支（在第一象限内）上的任意一点，12,A A 分别是左、右顶点，O 是坐标原点，直线12,,PA PO PA 之积123k k k ⋅⋅的取值范围是_______.9.已知椭圆的焦点为1(3,0)F -，2(3,0)F ，且与直线x y -有公共点，则其中长轴最短的椭圆方程为____________.图10-48－110.已知两点A，B 分别在直线y x =和y x =-上运动，且||5AB =，动点P 满足2OP OA OB =+(O 为坐标原点)，点P 的轨迹记为曲线C .(1)求曲线C 的方程；（2）过曲线C 上任意一点作它的切线l ，与椭圆2214x y +=交于M ，N 两点，求证：OM ON ⋅为定值.11.如图10-47所示，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点(1,2，离心率为2，左、右焦点分别为12,F F ，点P 为直线:2l x y +=上且不在x 轴上的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为,A B 和,C D ，O 为坐标原点.(1)求椭圆的标准方程；（2）设直线1PF ，2PF 的斜率分别为12,k k .①证明：12132k k -=； ②问直线l 上是否存在点P ，使得直线,,,OA OB OC OD 的斜率,,,OA OB OC OD k k k k 满足0OA OB OC OD k k k k +++=？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由.12.如图10-48所示，等边三角形OAB 的边长为 且其三个顶点均在抛物线2:2(0)E x py p =>上. (1)求抛物线E 的方程；（2）设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线1y =-相交于点Q .证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点.。