三角函数是数学中常见的一类关于 角度的函数。

三角函数将 直角三角形 的内角和它的两个边 的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。

三角函数在研究三 角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具 ⑴。

在数学分析中，三角函数也被定义为 无穷级数 或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实 数值，甚至是复数值。

常见的三角函数包括正弦函数（sin ）、余弦函数（cos ）和正切函数（tan 或者tg ）。

在航 海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、半正矢函数 等其他的三角函数。

不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计 算得出，称为三角恒等式。

三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方 面都有广泛的用途。

另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数， 叫做双曲函数［2］。

常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。

直角三角形中的定义右直供二闻张中仅苕期 伙水左画90至力间的录）二角藝的宦义［叩•络匡F 锐甬机可 以滋出一牛直集二角形，庚再其申的一个内芻是和设連个三甬殛孔9旳对匹需也和得世长度g afliSE 是更迎弓痔辺的毗面冋百・:&抽余弦是澤边与斜辺的乂道；|ft H 制正切灵对迥与糾盅柏"■宜 伽 e ¥b&的余切是嘟边2舛边的比■包co tfi = - q&闌正甥足斜辺弓押辺的比朗;&的余割是斜边与对边的比值！宀诃二2a标系中的奩义【姗＜iftH 吟F 】是平面直角H 标菇咕的一牛知声是欖轴正向程时计疑術I 励 方向驱aeiJS, F = C +扌A 礎序順点涮柜离・刚砒林三JB 曲隸定义 为【口12#可•帅7血划腹圧駆定三三角血也雪主意知:也LL 却宦汩頤左定＞朮 自盍買的时僕成立-比如逋当■ = &的时僂.世和二自漲由盍乩遞说朗对丹幢正花；B 口 0—1.正切；-■耀hX r疋和跖:度用，疋切和正晝役有辻?＜・曰样地•別于J度角非诃遵壬，叙［和咅周单位圆定义【編蛋］二他函数也可以fl 滾直闻坐标甌。

中干径加，圆心次原点期单位商定义〔小 给定-个甬度。

选1（1, 0）为起始点，如 果6 > 0此将加埜时纠转亦 如果0 <呦顺时£・移迂.直封转过於餡厦等干$为止。

设餵丝点鳥封的位晋为尸（X, 7）,那 么，这个疋义和坐标系的左乂冀似，伫角度&可I 决是任何的魏但•対于大于珈・或小 于76,的弟至 可以认丈是逆时针（顺创計）旋怙了不止一圄。

而多转或少转了 戟圈不会彩施三用函数的朋信⑹.如果桜弧度制的方式记录角度.将孤扶作次三 用函数的俑入信（36T 等亍2厲），那么三用函数就是取但九土件夹魏R ，周嘲为 2戈的周用函数。

比如■gin 0 = win （6 4- 27rfc ）t \0 € R. fc e Z cm 9 = + 2irA ）, V6 g R, Ar W Z周期函数的咼J 、正周期叫敝辽个函数的基衣周期.正弦、余弦.正言威余到的荃木 周期是2丁®度或360° ,正切或余切的基本周期是X 弧度或丄80° •基本性质［编戶］从几何定义中可以擂导出很多三角丞数的性质.比如说.正楚函致、正切 回矢 余坯函数和宗割函数是奇函数，余弦回数和正割函数是偶跻⑼。

正弦和余弦函隸前阳余形扶一样（刀右图）•可二石诈怎严「宇仪槪箱「旳 得到的两个函数.正汪和余亦函数关于兀■壬铀对称・正切函款和余切函 数、正割更数和余刮函数也分别如此. 三第恒等式［須頤］王糸目：三角恒等式K 口的三用函埶之间存在很多对任意的角度取直郡成立的等式，渡称为三 角恒等式.苴中叢苦名的杲毕试寻抖斯恒等式，它说E 月対二任何角，正 弦旳平方加上余誌田平方总泉1〔门・12可从鉛订沃"「白餡 和旳£冃勾舲 是亶得出.印符号形穴衣示，平达哥竝斯叵等式;为.• IEo£» sin @ ■ y • cos 9 = x•正切& tan & ■ jr/x •余切：cot & = x/y•止吿ses•余割:CSC =\.!yy ■轴用甲位圆定乂三角丞做在宜旬尘标茅平而上兀了）二HnGr?和心）=S ° 凶憑的的澎.微枳分［塢毎］.sinrCOST tanr cot r secx CSC zCOST—sin a »c 2 r_ cgc 1 Xs»€ T tan T —esc T cot r 臣函?r-CORI sins—ln|cos£| ln|<<in r|ln|wcr + tanxln|ocr -cotir*不计翎项sin^r +cos'z = 1.因此可推早出：tan T + 1 = «ec r ・ 1 + cot 2z = csc 2z.另Y •艾嚏笊联系是和差公式，它很庭两个弟度目身旳1E 狂和氽眩而给出它心的和与差的止范和余辺几 它tl 冋以用几何的万 法矩用托勒密的论込方法堆牛出来；还可以月代数方法使用欧拉公弍得出。

汙两个角相m 的时负 和角公式筮化九更简至的等式，称为二倍角公式 ⑻倍角公式）.这些等式还可以用来推导积化和莖恒等式［⑹，以前曾用它把两个数的秩变换咸两八数的和而像对致那样使运算更勺匚快逋.（利 冃制好的三毎函数表）级数钗［難］sin(z + ") = sinzcos^ + cosxsin;/C8(工十 y) = cos x cos y — sin z sinj/8in(x 一 ") = sin r cos j/ - coszsin y cos(z — y) = COSZCOSJ/ +三艇貓融敌精朗镇三駆螂产欲理艇諭原（比 九醺立旳颂P ），因烦族貓1毀冋闵貓酬闵而 东茯暑肌肪丽的君虑.这样，逊铀鬧断连魏便可mi>l fiil•2i ・n n 2n正辺裂:能）十牆蹊敢懑握数怎Q 红色儿cm =CO5X取肿戈尢临惑如曰萤妄是处也砂跟茯钗了正几够中，三隹沁芒喪注n 何匡？吐為只用几晰釀眈 鼠 矩取飙三肺栽曲弓赛分丙书三角函碍冋麹 烂拆 麺恕址了不朗几礪硼牋放【忙：+Complex Analysis^ 。

[15]旦他三龟函教的纽瓯定义，[⑵g (-1)心2"(0 - 卅加 1"7TX心=若 ---------------- ---------------- »+可4肓+而1伽<£ 迓“亡竺竺二严二=丄応嘉 磐士 (2n)!x 6360 15120 '1 1 7(2N )!=1+T + IT +wo-+，-(|r,< 2)各(-1)"存陽宀*1 r x 3 to 5 仏 「、cot Z ■ > --------------- ■ ------ --- —— --T — ------- (0 < \x\ < XJ幺 (2n)! x 3 45 945昌中凤是侣再沐咸.民堤肚竝離.这墜定义也可以看作是毎个三角函敷作为实函数於奉勒级数.从复分析的一个定:理得出.这个实函数至复数有一卜冷一的齋析 犷民 它们有同样的卿级敖.所以真数丄的=话函数足快用亠述^敌来主义用. 与抬数函敎和复数的朕系【编笹］可以从上述时炭数定义证明正弦和余眩函数分別斥复指数函荻在它印自殳童为犯虑数改读的虚敬和实数部分: e 1* — cos 0 +iuin0・(i 是虚数单儘)这个浓糸式育先祓欧应汗寿:到.因此叫做应拉公式〔2］ •从中可捋出.对买数迸一步还可以走义对复自变量谢三角回数:校少见的三角函数［绷i ：嫌了上述天个基本函换 历史上还有下列几个校少见的三角函数: 微分方程定文L 第转］ 正弦和余弦浙数都满E 徴分方程/十 I ； = o就宁说，立T1加I ■自己的二^耳敎都等于Q 函瓠 在由所有这个方稈的解的二维向堡宇间冲，帀注冈数杲满斥初牯条件y(o)= 0和h ⑹=啲临一解・而余换数是祈定初抬条件，⑹=1和長：0)= C 的临一糾川・因为正弦和余弦也魏是坯性无关 的，它1「在一起形成了恋基。

这和定义正弦和余狂函数的力法本质丄等价于使羽欧逹公比(勢见线性微分力穆)•(RB0B 这 个徵分方程不只闭来定义止弦和余弦t®,还可用来址明止弦和余弦危数的三角恒等式•去一歩恥 型察到止弦和余弦険满 足/二W 这意味薔它们是二阶孑敦算子的特征醱. 正切匠儼杲非绒性骨分方稈蔚定初矩条吃r(0) - 0的唯一解.有一个3陳有趣的形錢证明，证朋了正切闕满丘这个徴分方程；叢见Nccdhu 的約5必(2n)! COSH = Re (e B>),sinz = Im (e*r )gEo-O(-ir (2n +lZcosz =£w ?-政versin 6 二 1 _ CDS 夕半正矢[— r ns 匕havers in 3 -2veiuu^iM 0十 cus o] + cz &-iiiavercosin - 2余矢coversin 9二 1 一 sin $半余矢—sm / hacoversin $ - 2covercosin A ・ 1 + sin ehaccvercosin 歹=1 十 sm S2外正割 CX30C = 30C & - 1外余割 oxccc & = CSC & _ 1=一 isinh(iz)=cosh(iz)A弧臣的重要性【编笹1孤度通过孤憧沿苕单位履路径的坟度耐眈卜角，并构成正弦和余戎函敌的特宦韬角.特別是，只有映射弧妾到比注的那些正迄FQ余弦豳才离足痛述它们的经魏徽分方程。

如果正弦和余逹西数的弧变辐黑是正氏于频率的/（»） = sin（to）;A:丰Q.k丰I则导数梅正比干"振幅”・f ⑵=欠cos（fcx）.这里机是表示在羊位之间映^的常数。

如果堤厦，則fc= -^.180v这意叶書便用度的正弦的二阶弓数不满足微分方程/ -1"辭足/ =-內；对余范也是^似的.这意味着这些正荻和余范是不辰的函数，因此貝有它的辐角是弧度的条件下，正范於四阶导数才再议罡正迄利用函教方程定义三角两数［编转］在费学分析中.可以利月是干和走公式这样萨忤质的压前冇稈来宦义三审別阪例如第用热定廿和公式和毕试昔苍斷恒等式，可以证朋只有函个实更数满足这些条件.即存在唯一的一对实1»齐痢”使借对于所有实数肩Lr，下列片程戍立【】□血?工4 coc2^ ■ 19siu（2 十y） = siixcusj/ 十cusx slay,ro«（x + j/） = rocj co«y — ginr siny,尹満足陆加条•牛0 < 2cosz < sinx < x for 0 < r < 1 ・从耳他弘数方程开蛤的书号乜是可能的.这租捋学可以扩展到复数・作为例子.这个笊导可以电疙定义伽罗瓦或中的二角学.三角函数笊计坤是个更孕的主匹由于计再机和提供对忏何用复审内旨=塢激的科学计袴需的广泛快用.现衣大多魏人部不需装了.冷节中倚描述它在三个車契背置下的计崩単咼历史上三％丞数老笊使用・计阳机便用的现代技术•以及容易找到问鱼斥硝信能一些"車聖•白度.（下冠只考卮一个角度小范（B 比血到兀/2・因为遇过三銷场数的周期性和対称性.所有旦他自度可以化简到这个范関内•）王条目"生成三角函数表mm机之前，人们通常通过对讨笃到多卜有效發？的三角劝数克的內插来ti算三角鹹的直。