高考冲刺 三角函数公式及应用编稿：孙永钊 审稿：张林娟【高考展望】高考对三角恒等式部分的考查仍会是中低档题，无论是小题还是大题中出现都是较容易的．主要有三种可能：（1）以小题形式直接考查：利用两角和与差以及二倍角公式求值、化简；（2）以小题形式与三角函数、向量、解三角形等知识相综合考查两角和与差以及二倍角等公式； （3）以解答题形式与三角函数、向量、解三角形、函数等知识相综合考查，对三角恒等变换的综合应用也可能与解三角形一起用于分析解决实际问题的应用问题，主要考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力复习时，要注重对问题中角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性，还要重视相关的思想方法，如数形结合思想、特值法、构造法、等价转换法等的总结和应用，这有利于缩短运算程序，提高解题效率 【知识升华】1.三角函数的化简与求值、证明的难点在于众多三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择，要认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在（1）化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；（2）求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围（3）证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等2.对于三角变换公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.如tan()(1tan tan )tan tan αβαβαβ+-=+， 221cos 1cos cos ,sin 2222αααα+-==等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式；三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。
3.三角函数恒等变形的基本策。
①常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ²cotx=tan45°等。
②项的分拆与角的配凑。
如分拆项：222222sin 2cos (sin cos )cos 1cos x x x x x x +=++=+;配凑角(常用角变换):2()()ααβαβ=++-、2()()βαβαβ=+--、22αβαβα+-=+、22αβαββ+-=-、()ααββ=+-等.③降次与升次。
即倍角公式降次与半角公式升次④化弦（切）法。
将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
⑤引入辅助角。
asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。
4. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos α= cos βcos （α-β）- sin βsin （α-β） ，1= sin 2α+cos 2α，0030tan 130tan 1-+=000030tan 45tan 130tan 45tan -+=tan （450+300）等。
5. 正弦定理和余弦定理注：在ΔABC 中，sinA>sinB 是A>B 的充要条件。
（∵sinA>sinB ⇔22R R>⇔a>b ⇔A>B ） 6．三角形的面积公式：（1）△＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）△＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；（3）△＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A C b +＝)sin(2sin sin 2B A BA c +；（4）△＝2R 2sin A sin B sin C 。
（R 为外接圆半径） （5）△＝Rabc 4； （6）△＝))()((c s b s a s s ---；⎪⎭⎫ ⎝⎛++=)(21c b a s ； （7）△＝r ²s 。
7.三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（1）角的变换因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。
r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半（3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列。
【典型例题】类型一、三角函数的化简与求值【例1】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)2sin 13cos17sin13cos17︒+︒-︒︒ (2)2sin 15cos15sin15cos15︒+︒-︒︒ (3)2sin 18cos12sin18cos12︒+︒-︒︒ (4)2sin (18)cos 48sin(18)cos 48-︒+︒--︒︒ (5)2sin (25)cos55sin(25)cos55-︒+︒--︒︒ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.【思路点拨】因为(2)中角为15°，二倍后为特殊角，所以本题利用由特殊到一般思想选择(2)式进行计算。
【解析】(1)选择(2)式计算如下213sin 15cos15sin15cos151sin 3024︒+︒-︒︒=-︒= (2)证明:22sin cos (30)sin cos(30)αααα+︒--︒-22sin (cos30cos sin 30sin )sin (cos30cos sin 30sin )αααααα=+︒+︒-︒+︒2222311sin cos cos sin cos sin 442αααααααα=++-22333sin cos 444αα=+= 【思路点拨】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想. 举一反三：【变式】利用和（差）角公式计算下列各式的值： （1）sin 72cos 42cos72sin 42-； （2）cos 20cos70sin 20sin 70-；（3）1tan151tan15+-． 【思路点拨】利用两角和与差的三角公式逆用可得。
【解析】（1）()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==； （2）()cos 20cos 70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==；（3）()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15++==+==--【例2】x x【思路点拨】此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？ 【解析】)()1cos sin 30cos cos30sin 302x x x x x x x ⎫-==-=-⎪⎪⎭思考：=我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于12和2的.【总结升华】注意辅助角公式的灵活运用ϕ)(其中cos ϕ,sin ϕ=)的形式【例3】（1(1sin cos )(sincos ))++-<<θθθθθπ（2）求值000001cos 201sin10(tan 5)2sin 20tan 5+-- 【思路点拨】（1）从把角θ变为2θ入手，合理使用公式； （2）应用公式把非10角转化为10的角，切化弦。
【解析】（1）原式222(2sin cos 2cos )(sin cos )cos (sin cos )cos cos22222cos cos 22θθθθθθθθθθθθ+---==因为0<θ<π,所以0,22θπ<<所以cos02θ>所以原式=-cos θ(2)原式2222cos 10cos5sin 5sin10()22sin10cos10sin 5cos5cos10cos 5sin 5cos10cos10sin10sin1012sin10sin 5cos52sin10sin102=--⨯-=-=-cos10cos102sin 20cos102sin(3010)2cos102sin102sin102sin101cos102(cos10)222sin10---=-==--===【总结升华】（1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”； ③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们打到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等。
（2）根式的化简常常需要升幂去根号，在化简中注意角的范围以确定三角函数值的正负号； （3）对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： ①化为特殊角的三角函数值； ②化为正、负相消的项，消去求值； ③化分子、分母出现公约数进行约分求值。
（4）化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂，和差化积、积化和差等。
举一反三：【变式】已知3110,tan .4tan 3παπαα<<+=-，求225sin 8sincos11cos 82222)2αααααα++--的值【思路点拨】化简已知条件→化简所求式子，用已知表示所求→代入已知求解→结论。
【解析】2110tan ,3tan 10tan 30,tan 3αααα+=-∴++= 解得tan α=-3或tan α=13-.225sin 8sincos11cos 8312222,tan .43)21cos 1cos 54sin 1186ααααπαπαπαααα++-<<∴=---+++-===-又又【总结升华】对于和式，基本思想是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用。