数列求和与综合（讲义）
知识点睛
一、数列求和 1． 公式法：
（1）等差数列前n 项和公式； （2）等比数列前n 项和公式． 2． 错位相减法：
适用于形如{}n n a b ⋅的数列，其中{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比q ≠1的等比数列． 方法：
设1122n n n S a b a b a b =+++… ① 则12231
n n n qS a b a b a b +=+++…
②
①-②得：11231(1)()n n n n q S a b d b b b a b +-=++++-…，转化为公式法求和．
3． 裂项相消法：
把数列的通项拆分为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法．常见类型有：
（1）
1111
()()n n k k n n k
=-++； （2）
21
111()4122121
n n n =---+；
（31
k
=； （4）1
log (1)log (1)log a a a n n n
+=+-．
4． 其他方法：
（1）分解法：分解为基本数列求和，比如数列{}n n a b +，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．
（2）分组法：分为若干组整体求和，经常分为偶数项之和与奇数项之和， 比如通项公式为(1)n n a n =-的数列{}n a ．
（3）倒序相加法：把求和式倒序后两和式相加，适用于具有对称性质的数列求和．
二、
数列综合
1. 已知n S 求n a 的三个步骤： （1）先利用11a S =，求出1a ；
（2）用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系式， 利用1(2)n n n a S S n -=-≥求出当2n ≥时n a 的表达式；
（3）对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式， 如果符合，则可以把数列的通项公式合写； 如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写，即
11 1 2n n
n a n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥，
，．
2. 非等差或等比数列的转化：
（1
）转化为1{} n
a 2
{}n
a 、1{}n n a a +-等形式的等差、等比数列； （2）形如1=(010)n n a pa q p q ++≠≠，，的数列，转化为等比数列，设1+=()n n a p a λλ++，可解得=
1
q
p λ-，则数列{}n a λ+为等比数列； （3）形如11=(010)n n n a pa qp p q +++≠≠，，的数列，转化为等差数列，两端同时除以1n p +，即得11n n n n a a q p p ++-=，则数列{}n
n
a p 为等差数列．
精讲精练
1. 在数列{}n a 中，1(1)n a n n =
+，若它的前n 项和为2 014
2 015
，
则项数n 为（ ） A ．2 013
B ．2 014
C ．2 015
D ．2 016
2. 数列112，134，158，1
716
，…，1(21)2n n -+，…的前n 项和
n S 的值等于（ ）
A ．2112n n +-
B ．21
212n n n -+-
C ．211
12
n n -+-
D ．21
12
n n n -+-
3. 化简221(1)2(2)2222n n n S n n n --=+-⨯+-⨯++⨯+…的结果
为（ ） A ．122n n ++- B ．122n n +-+ C ．22n n --
D ．122n n +--
4. 已知{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等
比数列．设n n b c a =，*12()n n T c c c n =+++∈N …， 则当 2 013n T >时，n 的最小值是（ ） A ．11 B ．10 C ．9 D ．7
5. 在数列{}n a 中，11a =，22a =，若2122n n n a a a ++=-+，则n a =（ ）
A ．222n n -+
B ．2254n n -+
C ．3126555n n -+
D ．32594n n n -+-
6. 已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2
n
n n a a n a +=
∈+N ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．21n n a =- B ．11
22n n a -=-
C ．1
21
n n a =-
D ．1
32
n n a =-
7. 已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，
对于函数()f x ，若数列{}ln ()n f a 为等差数列，则称函数 ()f x 为“保比差数列函数”
．现有定义在(0)+∞，上的如下
函数：①1
()f x x
=，②2()f x x =，③()e x f x =，④()f x =差数列函数”的所有序号为（ ） A ．①②
B ．③④
C ．①②④
D ．②③④
8. 已知数列{}n a 满足：11a =，且点*1()()n n a a n +∈N ，均在直线
21y x =+上．
（1）求证：数列{}1n a +为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）若2log (1)n n b a =+，求数列{}(1)n n a b +⋅的前n 项和n T ．
9. 已知函数23
()3x f x x
+=
，数列{}n a 满足11a =， *11
(
)()n n
a f n a +=∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n
b a a +=
，12n n S b b b =+++…，若 2 013
2
n m S -<对 一切*n ∈N 成立，求最小正整数m ．
10. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，
21212
33n n S a n n n +=---*()n ∈N ． （1）求2a 的值；
（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求证：对一切正整数n ，有
1211174
n a a a +++<…．
回顾与思考
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【参考答案】
1．B 2．A 3．D
4．B
5．A
6．C
7．C
8．（1）112(1)n n a a ++=+，21n n a =-； （2）n b n =，1(1)22n n T n +=-+
9．（1）2133n a n =+；
（2）9113
()23232
n S n =-<+，min 2 016m =
10．（1）24a =；（2）2n a n =； （3）121111111717
142344
n a a a n n +++<++-++-=-<……。