数列求和与综合应用【考纲要求】1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式； 2. 掌握数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系式3．注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和，熟练掌握求数列的前n 项和的几种常用方法；4.能解决简单的实际问题. 【知识网络】【考点梳理】纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.与计算有关的问题主要有：求数列的某项，确定数列的通项公式，求有穷数列或无穷数列之和，计算数列的极限，将数列与方程，与不等式，与某些几何问题等联系起来，从而解决有关问题.有关定性问题的论证问题主要有：考察或论证数列的单调性，将数列分类定性，考察数列的图像特征，考察数列的极限存在与否等等.有关实际应用问题：某些与非零自然数有关的实际应用题，可用数列的各项与之对应，然后利用数列有关知识解答此类应用题.数列的函数属性：因数列是函数的特例，故解答有关问题时，常与函数知识联系起来考虑. 【典型例题】类型一：数列与函数的综合应用例1.(2015 菏泽一模)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()*1n S n n n N=+∈.综合应用与函数、方程、不等式等 与几何、实际问题等数列前n 项和公式法 错位相减 倒序相加 裂项相消分组求和(1)求数列{}n a 的通项公式. (2)若数列{}n b 满足：3122331313131n n n b b b ba =+++⋅⋅⋅+++++，求数列{}nb 的通项公式; (3)令()*4n nn a b c n N =∈，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【解析】(1)当1n =时，112a S ==当2n ≥时，()()1112n n n a S S n n n n n -=-=+--= 知12a =满足该式∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =(2)3122331313131n n n b b b ba =+++⋅⋅⋅+++++① 311212313131313131n nn n n b b b b ba +++∴=+++⋅⋅⋅+++++++② ②-①得111231n n n n b a a +++-==+即()11231n n b ++=⋅+ ()()*231n n b n N ∴=⋅+∈(3)()3134n n n nn a b c n n n ==+=⋅+ ()23123132333312n n n T c c c c n n ∴=+++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+++⋅⋅⋅+令231323333nn H n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯① 则234+131323333n n H n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯②①-②得：()2311313233333313n n n n n H n n ++--=+++⋅⋅⋅+-⨯=-⨯-()121334n nn H +-⨯+∴=∴数列{}n c 的前n 项和为()()()1*2133142n nn n n T n N +-⨯++=+∈举一反三：【高清课堂：函数的极值和最值388566 典型例题三】【变式1】已知数列{}n a 和{}n b 满足：1a λ=，1243n n a a n +=+-，()(1)321n n n b a n =--+其中λ为实数，n 为正整数.（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列； （Ⅱ）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论；解析：（Ⅰ）假设存在实数λ，使得数列{}n a 是等比数列，则1a ，2a ，3a 必然满足2213a a a =⋅12324,3,439a a a λλλ==-=-由2213a a a =⋅得90=，显然矛盾，即不存在实数λ使得数列{}n a 是等比数列。

（Ⅱ）根据等比数列的定义：()()()()()111(1)[3(1)21](1)3212[43(1)21]33212[214]33213212233213n n n n n n n n n n n n b a n b a n a n n a n a n a n a n a n +++--++=--+-+--++=-+--+=-+-+=-⋅=--+即123n n b b +=- 又()11321(18)b a λ=--+=-+所以当18λ=-时，数列{}n b 不是等比数列；当18λ≠-时，数列{}n b 是等比数列.【变式2】(2015 遵义校级模拟)设{}n a 是公差大于零的等差数列，已知12a =，23210a a =-(1)求{}n a 的通项公式.(2)设{}n b 是以函数24sin y x π=的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{}n n a b -的前n项和n S .【解析】(1)设数列{}n a 的公差为d 则：()12112210a a d a d =⎧⎪⎨+=+-⎪⎩解得2d =或4d =-(舍去) ()2212n a n n =+-=(2)21cos 24sin 422cos 22x y x x πππ-==⨯=-的最小正周期为212T ππ==11b ∴=3q =13n n b -∴=123n n n a b n -∴-=-()()()()0112221311234323321322n n n n n n S n n n -+-∴=-+++⋅⋅⋅+-=-=++-⋅- 类型二：数列与不等式例2. （2016 天津高考）已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等比中项.(Ⅰ)设22*1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；(Ⅱ)设()22*11,1,nkn k k a d T b n N ===-∈∑，求证：2111.2nk kT d =<∑【解析】⑴22112112n n n n n n n n c b b a a a a d a +++++=-=-=•21212()2n n n n c c d a a d +++-=-=为定值．∴{}n c 为等差数列 ⑵()221311nkn k k T b c c ==-=++∑2n-1…+c =2211(1)42(n 1)(*)2n n nc d nc d n -+•=+-由已知22212123122122()4c b b a a a a da d a d d =-=-==+= 将214c d =代入（*）式得22(1)n T d n n =+∴222211111111111111(1)(1)2(1)22231212nnk k kT d k k d n n d n d ====-+-+-=-<+++∑∑…+，得证 举一反三：【变式1】在数列{a n }中，a 1=2，a n+1=4a n -3n+1，*N n ∈. (1)证明数列{a n -n}是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)证明不等式n n S S 41≤+，对任意*N n ∈皆成立.解析： (1)证明：由已知1341+-=+n a a n n ， ∴)(4)1(1n a n a n n -=+-+ *N n ∈ 又a 1-1=1，∴数列{a n -n}是首项为1，公比为4的等比数列(2)解：由(1)可知a n -n=4n-1，∴ a n =4n-1+n∴S n =a 1+a 2+…+a n =(40+1)+(41+2) +…+(4n-1+n)=2)1(3142)1(4141++-=++--n n n n n n(3)证明：对任意*N n ∈2)2)(1(314411+++-=-++n n S S n n n -41(1)432n n n ⎡⎤-+⋅+⎢⎥⎣⎦ =)43)(1(21)43(212+--=-+-n n n n ∵n ≥1，∴ n-1≥0，3n+4>0 ∴114(1)(34)02n n S S n n +-=--+≤ 即S n+1≤4S n【变式2】已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列. (Ⅰ)求q 的值；(Ⅱ)设{b n }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 与b n 的大小，并说明理由.解析：(Ⅰ)由题设2a 3=a 1+a 2，即2a 1q 2=a 1+a 1q,∵a 1≠0，∴2q 2-q-1=0，∴1q =或12q =-， (Ⅱ)若q=1，则.2312)1(22nn n n n S n +=⋅-+= 当n ≥2时，.b S 02)2)(1(n n 1>>+-==--，故n n S b S n n n若21(-1)1-92(-)2224n n n n nq S n +=-=+=，则当n ≥2时，-1(1)(10)4n n n n n S b S ---==-故对于n ∈N +，当2≤n ≤9时，S n >b n ；当n=10时，S n =b n ；当n ≥11时，S n <b n .【变式3】设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ． （Ⅰ）设3nn n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．解析：（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123nn n S S +=+，由此得1132(3)n n n n S S ++-=-．因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．① （Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ，于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯1223(3)2n n a --=⨯+-，12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-2232[123]2n n a --=⨯+-（），当2n ≥时，21312()302n n n a a a -+⇔⨯+-≥≥9a ⇔-≥．又2113a a a =+>．综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，．。