高二下学期三月月考——数学（理）一．选择题：（5′×10=50′）1.与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是( )A ．若a ∉M ，则b ∉MB ．若b ∉M ，则a ∈MC ．若a ∉M ，则b ∈MD ．若b ∈M ，则a ∉M2.已知p ：x 2－x <0，那么命题p 的一个必要不充分条件是( )A ．0<x <1B ．－1<x <1 C.12<x <23 D.12<x <23.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝－1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝－1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝14.下列各组命题中，满足“‘p ∨q ’为真、‘p ∧q ’为假、‘¬p ’为真”的是( )A ．p ：0＝Ø；q ：0∈ØB ．p ：在△ABC 中，若cos2A ＝cos2B ，则A ＝B ； q ：y ＝sin x 在第一象限是增函数C ．p ：a ＋b ≥2ab (a ，b ∈R)；q ：不等式|x |>x 的解集是(－∞，0)D ．p ：圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的面积被直线x ＝1平分；q ：∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0 5.函数 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则( )A ．a ＝－11，b ＝4B ．a ＝－4，b ＝11C ．a ＝11，b ＝－4D ．a ＝4，b ＝－116.()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如右图所示，则()f x 的图象只可能是 。

（A ） （B ） （C ） （D ）7.已知函数 f (x )＝ln a ＋ln xx在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．0<a <1e B ．0<a ≤e C ．a ≤e D ．a ≥e8.已知函数 f (x )的导函数 f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若 f (x )在x ＝a 处取到极大值，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(2，＋∞)C ．(0,1)D ．(－∞，－3)9.对于函数 f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋1的极值情况，4位同学有下列说法：甲：该函数必有2个极值；乙：该函数的极大值必大于1；丙：该函数的极小值必小于1；丁：方程 f (x )＝0一定有三个不等的实数根．这四种说法中，正确的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ ）A ．3B ．52C ．2D ．32二．填空题：（5′×5=25′）11.一物体做直线运动的方程为21s t t =-+，s 的单位是,m t 的单位是s ，该物体在3秒末的瞬时速度是12.32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 。

13. .设有两个命题：p:不等式2004x ＋4>m >2x －x 2对一切实数x 恒成立； q:函数f (x )＝－(7－2m )x 是R 上的减函数．若命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，用m 的取值范围为________．14.已知命题：“∃x ∈[1,2]，使x 2＋2x ＋a ≥0”为真命题，则a 的取值范围是________．15. 若函数 f (x )＝x x 2＋a (a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为________三．解答题：（12′+12′+12′+12′+13′+14′）16.已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －(3a ＋1)<0}，B ＝{x |x －a 2－2x －a <0}．(1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．17. 已知函数 f (x )＝x －1x ＋a＋ln(x ＋1)，其中实数a ≠－1.(1)若a ＝2，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)若 f (x )在x ＝1处取得极值，试讨论 f (x )的单调性．18. .函数c bx ax x x f +++=23)(，过曲线)(x f y =上的点))1(,1(f P 的切线方程为13+=x y （1）若)(x f y =在2-=x 时有极值，求f (x )的表达式； （2）若函数)(x f y =在区间]1,2[-上单调递增，求b 的取值范围19.设a 为实数，函数 f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R.(1)求 f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.20.如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记2，梯形面CD x积为S．（I）求面积S以x为自变量的函数式；21.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.(1)求f(x)的解析式；(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．答案： 选择题:填空题:11 12. 13. 14. 15. 1 16.解析：(1)当a ＝12时，A ＝{x |2<x <52}，B ＝{x |12<x <94}，∁U B ＝{x |x ≤12或x ≥94}，(∁U B )∩A ＝{x |94≤x <52}．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B ， 由a 2＋2>a ，得B ＝{x |a <x <a 2＋2}， 当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2a 2＋2≥3a ＋1，解得13<a ≤3－52；当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝Ø，符合题意；当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}．⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1a 2＋2≥2，解得－12≤a <13；综上，a ∈[－12，3－52]．17.解析：(1)f ′(x )＝x ＋a －(x －1)(x ＋a )2＋1x ＋1＝a ＋1(x ＋a )2＋1x ＋1. 当a ＝2时，f ′(0)＝2＋1(0＋2)2＋10＋1＝74，而f (0)＝－12，因此曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －(－12)＝74(x －0)，即7x －4y －2＝0.(2)因a ≠－1，由(1)知f ′(1)＝a ＋1(1＋a )2＋11＋1＝1a ＋1＋12， 又因 f (x )在x ＝1处取得极值，所以f ′(1)＝0， 即1a ＋1＋12＝0，解得a ＝－3. 此时 f (x )＝x －1x －3＋ln(x ＋1)， 其定义域为(－1,3)∪(3，＋∞)，且f ′(x )＝－2(x －3)2＋1x ＋1＝(x －1)(x －7)(x －3)2(x ＋1)，由f ′(x )＝0得x 1＝1，x 2＝7.当－1<x <1或x >7时，f ′(x )>0； 当1<x <7且x ≠3时，f ′(x )<0.由以上讨论知， f (x )在区间(－1,1]，[7，＋∞)上是增函数，在区间[1,3)，(3,7]上是减函数．18.解：（1）13:))1(,1()()1)(23()1()1)(1()1(:))1(,1()(23)(:)(223+==-++=+++--'=-=++='+++=x y f P x f y x b a c b a y x f f y f P x f y bax x x f c bx ax x x f 的切线方程为上而过即的切线方程为上点过求导数得由⎩⎨⎧=++=+⎩⎨⎧=-++=++)2(3)1(0212323 c b a b a c b a b a 即故542)(5,4,2)3)(2)(1()3(1240)2(,2)(23+-+==-==-=+-∴=-'-==x x x x f c b a b a f x x f y 相联立解得由故时有极值在（2）]1,2[)(-=在区间x f y 上单调递增又02)1(,23)(2=+++='b a b ax x x f 知由 b bx x x f +-='∴23)( 依题意]1,2[03,0)(]1,2[)(2-≥+-≥'-'在即上恒有在b bx x x f x f 上恒成立.①在603)1()(,16≥∴>+-='='≥=b b b f x f bx 小时②在0212)2()(,26≥++=-'='-≤=b b f x f bx 小时 ∅∈∴b③在.6001212)(,1622≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时小 综合上述讨论可知，所求参数b 取值范围是：b ≥0。

19.解析：(1)解：由 f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知 f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.于是当x 变化时，f ′(x )， f (x )的变化情况如下表：故 f ( f (x )在x ＝ln2处取得极小值，极小值为f (ln2)＝e ln2－2ln2＋2a ＝2(1－ln2＋a )． (2)证明：设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R . 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln2－1时，g ′(x )最小值为g ′(ln2)＝2(1－ln2＋a )>0.于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增．于是当a >ln2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )>0， 即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.20.解：（I ）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O xy -（如图），则点C 的横坐标为x ．点C 的纵坐标y 满足方程22221(0)4x y y r r+=≥，解得)y x r =<<所以1(22)2S x r =+2()x r =+{}0x x r <<．（II ）记222()4()()0f x x r r x x r =+-<<，， 则2()8()(2)f x x r r x '=+-． 令()0f x '=，得12x r =．因为当02r x <<时，()0f x '>；当2rx r <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,)2r 上是单调递增函数，在(,)2rr 上是单调递减函数，所以12f r ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值．因此，当12x r =时，S 22r =．即梯形面积S 2． 21.解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c依题意⎩⎨⎧ f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0f ′(－1)＝3a －2b ＋c ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝03a ＋c ＝0又f ′(0)＝－3∴c ＝－3 ∴a ＝1 ∴f (x )＝x 3－3x (2)设切点为(x 0，x 03－3x 0)， ∵f ′(x )＝3x 2－3，∴f ′(x 0)＝3x 02－3 ∴切线方程为y －(x 03－3x 0)＝(3x 02－3)(x －x 0) 又切线过点A (2，m )∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)∴m＝－2x03＋6x02－6令g(x)＝－2x3＋6x2－6则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)由g′(x)＝0得x＝0或x＝2∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．∴g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x3＋6x2－6有三解，所以m的取值范围是(－6,2)．已知函数f (x )＝13x 3－ex 2＋mx ＋1(m ∈R )，g (x )＝ln xx . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)对任意x 1，x 2∈R ＋，若g (x 1)<f ′(x 2)恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝x 2－2ex ＋m ，令Δ＝4(e 2－m ) (ⅰ)当m ≥e 2时，f ′(x )≥0 ∴f (x )在R 上递增 (ⅱ)当m <e 2时，Δ>0令f ′(x )>0⇒x <e －e 2－m 或x >e ＋e 2－m∴f (x )在(－∞，e －e 2－m )和(e ＋e 2－m ，＋∞)递增 令f ′(x )<0⇒e －e 2－m <x <e ＋e 2－m ∴f (x )在(e －e 2－m ，e ＋e 2－m )递减 (2)∵g ′(x )＝1－ln xx 2令g ′(x )＝1－ln xx 2＝0时，x ＝e ∴g (x )在(0，e )递增，(e ，＋∞)递减 ∴g (x )max ＝g (e )＝1e 又∵f ′(x )＝(x －e )2＋m －e 2 ∴当x >0时，f (x )min ＝m －e 2∴∀x 1，x 2∈R ＋，g (x 1)<f ′(x 2)⇔g (x )max <f ′(x )min ∴1e <m －e 2 即：m >e 2＋1e .已知函数 f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有共同的切线，求a 的值和该切线方程；(2)设函数h (x )＝ f (x )－g (x )，当h (x )存在最小值时，求其最小值φ(a )的解析式； 解：(1)f ′(x )＝12x，g ′(x )＝ax (x >0)，由已知得⎩⎨⎧x ＝a ln x ，12x＝ax ，解得a ＝e2，x ＝e 2，∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e)， 切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e . ∴切线的方程为y －e ＝12e (x －e 2)． (2)由条件知h (x )＝x －2ln x (x >0)， ∴h ′(x )＝12x －ax＝x －2a 2x .①当a >0时，令h ′(x )＝0，解得x ＝4a 2， ∴当0<x <4a 2时，h ′(x )<0，h (x )在(0,4a 2)上递减； 当x >4a 2时，h ′(x )>0，h (x )在(4a 2，＋∞)上递增．∴x ＝4a 2是h (x )在(0，＋∞)上的惟一极值点，且是极小值点，从而也是h (x )的最小值点．∴最小值φ(a )＝h (4a 2)＝2a －a ln4a 2＝2a (1－ln2a )．已知()()2,ln 23+-+==x ax x x g x x x f (Ⅰ)求函数()x f 的单调区间;(Ⅱ)求函数()x f 在[]()02,>+t t t 上的最小值;(Ⅲ)对一切的()+∞∈,0x ,()()22'+≤x g x f 恒成立,求实数a 的取值范围.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x≤11）时，一年的销售量为(12-x)2万件. （1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （a ） . 设函数f(x)= 3223(1)1, 1.x a x a --+≥其中（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值。