•多分辨率分析(Multi-Resolution Analysis)
•V0 •V1 •V2
•小波分析 深圳大学信息工程学院
小波函数和小波空间
•S
•W1
•V1
•W2 •V2
•W1 •W2
•小波分析 深圳大学信息工程学院
•V0 •V1 •V2
•小波函数和尺度函数的性质
•Poisson公式：
•小波函数和尺度函数满足
小波与多分辨率分析
小波的应用
J.Morlet，地震信号分析。 S.Mallat，二进小波用于图像的边缘检测、图像压缩和重构 Farge，连续小波用于涡流研究 Wickerhauser，小波包用于图像压缩。 Frisch噪声的未知瞬态信号。 Dutilleux语音信号处理 H.Kim时频分析 Beykin正交小波用于算子和微分算子的简化
•Near Symmetry
•小波分析 深圳大学信息工程学院
离散小波变换(Discrete Wavelet Transform)
•二进小波Dyadic Wavelet（数学显微镜）
•小波分析 深圳大学信息工程学院
尺度空间和尺度函数(Scaling Space)
•尺度j越大，尺度函数定义域变大，实际平移间隔也变大 ， •不能反映函•小数波分（析小深于圳大该学尺信息度工程）学院的细微变化。
•重建核方程
•小波分析 深圳大学信息工程学院
常用的连续小波
•Morlet Wavelet
•morl(x) = exp(-x^2/2) * cos(5x) •No Orthogonal, No Biorthogonal,No Compact Support •Effective support=[-4 4], Symmetry
•Morlet小波是一种复数小波，时频均具有很好的局部性。
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•常用的连续小波
•Mexican hat Wavelet
•mexh(x) = c * exp(-x^2/2) * (1-x^2)where c = 2/(sqrt(3)*pi^{1/4}) •No Orthogonal, No Biorthogonal,No Compact Support •Effective support=[-5 5], Symmetry
•Meyer小波是在频域具有紧支集和任意阶正则性， •时频缺乏很好的局部性。
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•常用的正交连续小波 •Symlets Wavelets
•General characteristics: Compactly supported wavelets with least assymetry and highest number of vanishing moments for a given support width. Associated scaling filters are near linear-phase filters. •Orthogonal,Biorthogonal,Compact Support(width 2N-1)
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基底
•张成span
•基底 •正交 •标准正交 系 •完全的标准正交系 •双正交基
•小波分析 深圳大学信息工程学院
Hilbert空间
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框架及紧框架 Frame & Compact Frame
•小波分析 深圳大学信息工程学院
小波分析
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•小波分析与付里叶变换的比较
•小波分析 深圳大学信息工程学院
连续小波变换
•小波分析 深圳大学信息工程学院
连续小波变换的再生核
•尺度和位移的连续变化的连续小波基函数构成了一组非 正交的过渡完全基，小波展开系数之间有相关关系，采用 如下描述
•1.CWT系数具有很大的冗余，计算量比较大 •2.利用冗余性可以实现去噪和数据恢复的目的。
•小波分析 深圳大学信息工程学院
双尺度方程
•小波分析 深圳大学信息工程学院
滤波器系数h0(k)和h1(k)的性质
•小波分析 深圳大学信息工程学院
•正交小波变换的Mallat快速算法
•小波分析 深圳大学信息工程学院
离散信号的多分辨率分析与正交小波变换
•小波分析 深圳大学信息工程学院
•双通道多分辨率滤波器组的设计
•A.Brice, D.Donoho, H.Y.Gao, Wavelet Analysis, IEEE Spectrum, 33(10),1996
•小波分析 深圳大学信息工程学院
距离空间
•距离空间
•常用的距离空间
•小波分析 深圳大学信息工程学院
函数空间
•线性空间 •线性间
信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘探 流体力学、电磁场、CT成象、机器视觉、机械故障诊断、分形、数值计算
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软件包
Math Works:Wavelet Toolbox Standford: Wave Tool Yale:WPLab MathSoft:S+WAVELETS Aware:WaveTool Rice: Wavelet ToolBox
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•常用的正交连续小波
•Meyer Wavelet
•General characteristics: Infinitely regular orthogonal wavelet
•Orthogonal,Biorthogonal,No Compact Support
•Effective support=[-8 8],Symmetry
•Mexican Hat小波是Gaussian二阶导数， •时频均具有很好的局部性。
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•常用的正交连续小波
•Daubechies Wavelet
•General characteristics: Compactly supported wavelets with extremal phase and highest number of vanishing moments for a given support width. Associated scaling filters are minimumphase filters. •Orthogonal,Biorthogonal,Compact Support •Support width 2N-1, No Symmetry
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•正交镜像滤波器组Quadrature Mirror Filter Bank
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