给定一个连续信号f(t) ，我们可用不同的基函数并在不 同的分辨率水平上对它作近似。如下图所示，令
显然，φ (t) 的整数位移相互之间是正交的，即
这样，由φ (t) 的整数位移φ (t − k) 就构成了一组正交基。 设空间V 0由这一组正交基所构成，这样， f(t) 在空间 V 0中 的投影（记作f 0(t ) ）可表为：
1
1,k (t )
当然也是两两正交的（对 整数k ），它们也构成了一 组正交基。我们称由这一 组基形成的空间为 V -1 ， 记信号f(t) 在 V -1中的投影 为f -1 (t) ，则
1 f (t ) c k 1,k (t ) 1 k
t
c
1 k
k
0
(t ) 作1/所产生的函数组
Wm
Wn
L2 (R)
f (t ) Wm , g (t ) Wn , （ f t）和g(t)都是正交的
则称Wm和Wn是正交子空间，Wm Wn
2、 函数的多尺度逼近 函数（模拟信号） f (t ) L2 ( R) 可用一串不同 尺度ｊ的函数序列 { f j (t )} 来逼近，这种方法称为 函数的多尺度逼近。 这种做法已经得到广泛的应用。最常用的做 法是数据的采样分析。给定采样间隔基本单位， 在不同的尺度下，有不同的采样间隔。
f j (t ) | j f (t )
另一方面，若j → -∞，那么, φk j (t )中的每一个函数 j 都变成无穷的宽，因此， f (t ) | j 对f(t)的近似误 差最大. 不难发现： 低分辨率的基函数 ( t ) 完全可以由高一级分辨率的基函
2
数 (t ) 所决定。从空间上来讲，低分辨率的空间V-1应包含
1, k (t ) (2t k )
当然也是两两正交的（对 整数k ），它们也构成了一 组正交基。我们称由这一 组基形成的空间为 V1 ，记 信号x(t) 在 V1 中的投影 为 f 1 (t ) ，则
f 1 (t )
1,k (t )
t
c
1 k
f (t ) c (t )
1 k 1 k 1,k
L ( R) span {k (t ) | k 1,2, }
2
f (t ) ck k (t )
k 1

f (t ) L2 ( R)
⑼正交基函数
如果基函数族{k (t )}k 1中的基函数是相互正交（或标

准正交）的，则称为正交基函数族（标准正交基）。
（10）正交子空间 设 和 是 的两个子空间，若
n n n
2
（双尺度方程）
4） { (t
k )}是Riesz基。
（t ) 生成了MRA，称为尺度函数或MRA的称为生成元。
二者比较: 差别一: 红色显示部分； 差别二：后者强调双尺度方程。
MRA的含义 （t） ●1、 生成MRA 双尺度方程明确了 V0 和 V1 之间的传递关系， 现在推导 V j 和 V j 1之间的传递关系。
V j V j 1
L ( R)
2
V j {0},
jZ
V j L ( R)
2 jZ
j/2 j V span { ( t ) | ( t ) 2 (2 t k ), k Z } 2） j j ,k j ,k
3） (t )
h (2t n), {h } l
0
令
j, k (t ) (2 jt k )
, 是正交的。这一结论可证明如下： j ,和 k (t ) j ,m (t )
是由 (t ) 作二进制伸缩及整数位移所产生的函数系列，
显然，
( j ,k (t ), j ,k ' (t )) (2 j t k ) * (2 j t k ') dt
2
⑺线性无关
n
n
k 1
⑻基函数 在有限维空间中，选定有限个线性无关函数作 为基底向量，空间中任意函数向量都可以由这 些函数（基底）的线性组合来表示。将此推广 到无穷维空间，则线性无关的函数族 {k (t )}k 1 可 构成 L2 ( R) 的基底，其中任意函数均可由它们线 性组合而成。因此：
V1 V0
V j V j 1
L2 ( R)
称{V j } jz是一个嵌套式子空间逼进序列。
4、 多尺度逼近中的正交基表示 在多尺度逼近过程中，用到了的基函数序 列{ j ,k (t )} ，同一尺度中各基函数可以是平移正交 的，也可以是平移非正交的。假设是标准正交基， 则：
在高分辨率的空间V0 中，即：
V1 V0
假定基本采样间隔为 ，
j j
j尺度下的采样间隔为
j
/ 2 ，在该尺度下划分的节点为 {t k} ，采样值
j 为 { f (t ，为了逼近原函数，选定基函数为 ， } k { j ,k (t )} 这种基函数是由同一函数 经过平移放缩生成， (t ) j ，于是可作出 ( t ) (2 t k ) j 尺度下 如 的近 j ,k 似函数： f j (t )
2 2 f , g ( R ), k , R , kf ( t ) g ( t ) w ( t ) L L ( R) 若
⑶内积及其性质 _ 定义： ( f (t ), g (t )) f (t ) g (t )dt R 性质：交换性 ( f , g ) ( g , f ) 分配性 ( f1 f 2 , g ) ( f1, g ) ( f 2 , g ), , R
第四章
多分辨分析和 正交小波变换
如前所述，小波变换可以将时域信号分
解为若干子频段的时域分量之和，那么如 何构造小波函数？本章将给出框架理论及 多分辨率分析方法。
4.1 函数的多尺度逼近
1、若干基本概念
⑴能量有限信号：满足
2dt f ( t ) R
的信号。
⑵函数线性空间： L 2( R)
2
K2 j
0
2
按照逼近要求，有：
f (t )
2 0
f (t )
D
0
f (t )
2 0
2 {c k} l（平方可和 根据 f (t )和{c k} 的一一对应关系， )
j
j
j
l 2 {{c k}:| c k }
j j 2 k
A C
K
j 2 k

j ck k
j ,k (t ) D C K
0
2
j 2 k
——Riesz基条件
4.2 多分辨分析 （Multi-resolution Analysis）
将多尺度逼近总结如下： 1） V j V j 1 L2 ( R)
V j {0},
jZ
2 V L ( R) j jZ
2） V j span{ j ,k (t ) | j ,k (t ) (2 t k ), k Z }
( f , f ) 0, 当且仅当f 0时( f , f ) 0
⑷内积空间：满足内积定义和性质的函数线性空间。 ⑸正交：对 f , g L2 ( R) ,若 ( f (t ), g (t )) 0 ，称二者正交。
⑹向量的模： f (t ) ( f (t ) 2dt )1/ 2 R 0
模可以理解成向量的长度，也可看成是向量之间距离。
f g 0 f
2
0
2
g
0
2
三角不等式
2
f g 0＋ f －g 0 ＝ （ 2 f 0＋ g 0 ） （平行四边形对角线规则）
（f , g ) f
0
g
0
（Shwarz 不等式，内积和向量长 度规则）
(t )} )中，对于有限个函数向量 { 在 L (R ， k k 1 n 若 kk (t ) 0 当且仅当 k 0, k 1,2, , n k=1 时成立，称{k (t )} 线性无关。
k
若如此继续下去，在给定的 (t ) 的基础 上，我们可得到在不同尺度j 下通过作整 ) 数位移所得到一组组的正交基 j ,k (t，它 们所构成的空间是 Vj ， j ∈ Z 。用这样 的正交基对 f (t ) 作近似，就可得到f(t) 在Vj j f 中的投影 (t ) 。 用 f j (t ) 对 f (t ) 作近似， j 越大，近似 的程度越好，也即分辨率越高。当j →∞ 时， j ,k (t ) 中的每一个函数都变成无穷 的窄，因此，有
V j { f j (t ) | f j (t ) ckj j ,k (t ),
k
f j (t ) L2 ( R)
V j 为线性函数空间，且V j L2 ( R)。改变尺度j，可 f 的过程， (t ) 得到不同的线性空间 V j ，由 f j (t逼进 )
可形成如下子空间序列：
（f (t ), (t )) ( f (t ), (t )) （f (t ), (t )) c
j ,k j 1 j ,k j j ,k
j k

5、多尺度逼近的基本条件——Riesz基

C
f j (t ) V j L2 ( R) （平方可积）
K1 j
f (t )
j
j
( j ,k (t ), j ,m (t )) km
这给近似函数的表示带来方便.
公式：
j k j
f j (t ) ckj j ,k (t ),
kZ
f j (t ) f (t )
j
2
c ( f (t), j,k (t)) ( f (t), j,k (t))