2017-2018学年度高三第二学期联考数学理试题一．选择题(本大题共8个小题；每小题5分，共40分)1. 已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且ni i m +=+11)1(,则m ni m ni+=-（ ）A.iB.-iC.1i +D.1i - 2.已知a b a b -=+=r r r r a b ⋅=r r（）A.1B. 2C.3D.53. 数列{}n a 满足121122,021,1n n n n n a a a a a +≤<⎧=⎨-≤<⎩，若145a =，则2015a =（ ）A ．51 B ．52 C ．53 D ．544. 已知某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）A ．163B ．4C ．143D ．65.甲、乙两所学校高三级某学年均分x 及方差2s 的大小关系为（A ．22,x x s s >>乙乙甲甲 B ．22,x x s s ><乙乙甲甲C ．22,x x s s <<乙乙甲甲 D ．22,x x s s <>乙乙甲甲 6. 如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线()(sin f x x =及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点， 若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( )A .712π B.23π C .34π D.56π7. 下列命题中正确命题的个数是（ ）①“数列{}n a 既是等差数列，又是等比数列”的充要条件是“数列{}n a 是常数列”；②不等式|1||1|1x y -+-≤表示的平面区域是一个菱形及其内部； ③f (x )是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，x ＞0时的解析式是f (x )＝2x ，则x ＜0时的解析式为f (x )＝－2－x ；④若两个非零向量a b 、共线，则存在两个非零实数λμ、，使a b λμ+=0.A ．4B ．3C ．2D ．18. 定义在[)1+∞，上的函数()f x 满足：①(2)=()(f x cf x c 为正常数）；②当24x ≤≤时，2()=(3)1,f x x -+若函数()f x 的图象上所有极小值对应的点均在同一条直线上，则c =（ ） A.1 B.2 C. 1或2 D. 2或4二．填空题(本大题共7小题，每小题5分，满分30分） （一）必做题（9～13题）9．函数xx y -+=11lg 的定义域为集合A ，集合)1,(+=a a B . 若B A ⊆，则实数a 的取值范围为 ；10.在26(1)(1)(1)x x x ++++++ 的展开式中含2x 项的系数为 ；（用数字作答）11．观察式子：2222221311511171,1,1222332344+<++<+++<,由此归纳出12.[x ∈-13则BCF ∆与ACF ∆的面积之比为 ；（二）选做题 (考生只能选做一题) 14．极坐标系中，圆223sin ρρθ+=的圆心到直线10sin cos ρθρθ+-=的距离是 ．15．如图，圆O 的直径8=AB ，C 为圆周上一点，4=BC ，过C 作圆的切线l ，过点A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，则线段DE 的长度为 ．lED C三．解答题16．（本小题满分12分） 设函数()cos(2)cos 3f x x x x π=--.(I)求()f x 的最小正周期，并指出由()f x 的图像如何变换得到函数cos 2y x =的图像；(II)ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1()32f A π-=，2b c +=，求a 的最小值．17．（本小题满分12分）已知某校的数学专业开设了A,B,C,D 四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门。

(I)求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；(II)若甲和乙要选同一门课，求选修课A 被这3名学生选修的人数X 的分布列和数学期望．18.（本小题满分14分）在如图所示的多面体ABCDE 中，AB⊥平面ACD ，DE⊥平面ACD ，AC=AD=CD=DE=2，AB=1．(I) 请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD ，并证明； (II)在(I)的条件下，求二面角F-BE-A 的正弦值.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，3212a a -=，数列{}n b 满足：333log log 2nn n b a =+(I)求数列{}n a 的通项公式； (II)求数列{}n b 的前n 项和n S ；（III ）数列{}n c 满足：1312n nn n b b c a +-=-，求证：1232n c c c +++<BADCE20．（本小题满分14分） 已知点P是椭圆2212x y +=上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点， O为坐标原点，动点Q 满足 OQ →＝PF 1→＋PF 2→，。

(I)求动点Q 的轨迹E 的方程；(II)若与坐标轴不垂直的直线l 交轨迹E 于,A B 两点且OA OB ⊥，求三角形OAB 面积S 的取值范围。

21. （本小题满分14分） 已知函数()()(),g 2ln a f x x x x m x=-=+,(I )当0m =时，存在01,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（e 为自然对数的底数）,使()()000x f x g x ≥,求实数a 的取值范围; (II)当1a m ==时,(1)求最大正整数n,使得对任意1n +个实数()1,2,,1i x i n =+ ,当[]1,2i x e ∈-（e为自然对数的底数）时,都有()()112015ni n i f x g x +=<∑成立;(2)设()()()H x xf x g x =+,在()H x 的图象上是否存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y()121x x >>-,使得()()()'1212122x x H x H x H x x +⎛⎫-=-⎪⎝⎭.数学(理科)参考答案一、选择题：（8小题，共40分）8.【解析】由已知可得，当12x ≤≤时，21()=(2)[(23)1];f x f x x cc=-+当24x ≤≤时，2()=(3)1,f x x -+当48x ≤≤，时，2()=()[(3)1];22x xf x cf c =-+由题意可知函数()f x 的图象上所有极小值对应的点31(,),(3,1),(6,)2c c共线，则11--1=,=1=2.332c c c c ∴或 二、填空题：（共6小题，共30分） 9. []1,0- 10. 20 11. ()2221112112311n n n +++++<++ 12. 213. 6:11. 2三．解答题 16．解：(I )∵1()cos 22222f x x x x =+1cos 2222x x =-cos(2)3x π=+3分∴()f x 的最小正周期22T ππ== …4分由cos(2)3y x π=+的图像向右平移6π个单位长度得到函数cos 2y x = (6)分(II)由11()cos(2)cos 233232f A A A πππ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭有由A ∈(0，π)，可得A ＝π3. …8分由b ＋c ＝2及余弦定理，得2a ＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc=4－3bc ， …10分又212b c bc +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭仅当b ＝c ＝1时bc 取最大值，此时a 取最小值1. …12分17解：(I) 3名学生选择的选修课所有不同选法有3464=种； …2分各人互不相同的选法有3424A =种，互不相同的概率:8343341==A p ; (4)分(II) 选修课A 被这3名学生选修的人数X ：0，1,2,3, …5分2239(0)416P x === 233(1)416P x ===，233(2)416P x ===，211(3)416P x === (9)分所以X 的分布列为…10分 数学期望933130123161616164EX =⨯+⨯+⨯+⨯= …12分18.解法一：（I ）由已知AB⊥平面ACD ，DE⊥平面ACD ，∴AB//ED，设F 为线段CE 的中点，H 是线段CD 的中点，连接FH ，则//FH =12ED ，∴//FH =AB ，…2分∴四边形ABFH 是平行四边形，∴//BF AH ， 由BF ⊄平面ACD 内，AH ⊂平面ACD ， …4分//BF ∴平面ACD ；…5分（II ）取AD 中点G ，AC CD = CG AD ∴⊥由已知可得平面ADEB ⊥平面ACDACDCG ∴⊥平面ADEB过G 作GK BE ⊥交BE 于K,连由三垂线定理知CK BE ⊥, 又KG ⊂平面BEA,CK ⊂平面FBEGKC ∴∠为二面角F-BE-A 的平面角 …10分由（I ）已证AB//ED ，知1()2KG BE AB DE AD ⋅=+⋅又AB=1,DE=AD=2GK ∴=sin CG GKC CK ∴∠===∴所求角的正弦值为4分或解：（II ）由已知条件可知BEG ∆即为BCE ∆在平面ABED 上的射影， 设所求的二面角的大小为θ，则cos BGEBCES S θ∆∆=， …8分由已知求得BC=BE =CE =∴1||2BCE S CE ∆==…10分而113(242BGE ABED S S AB DE AD ∆==+⋅=梯形）， …12分∴cos BGEBCES S θ∆∆==∴所求角的正弦值为4.…14分解法二：以D 点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x 轴和z 轴的正半轴分别经过点A 和点E ，则各点的坐标为(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(0,0,2)E ，(2,0,1)B，0)C ， (2)分(I)点F 应是线段CE设F 是线段CE 的中点，则点F ∴3(,0)2BF =-，显然BF与平面xOy 平行，又BF ACD ⊄面 …5 ∴BF∥平面ACD …6分(II) 设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，则n CB ⊥ ，且n CE ⊥ ，由(1,CB = ，(1,CE =-，∴020x z x z ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩，不妨设y =则12x z =⎧⎨=⎩，即n = ， (10)分而平面AEB 的一个法向量为(0,1,0)m =， (11)分∴cos n,||||n m m n m ⋅==设二面角F-BE-A的平面角为θ,则sin θ==∴所求角的正弦值为4分19解：(I)设数列{}n a 的公比为q ，由12a =，3212a a -=， 得222120q q --=，即260q q --=． (2)分解得3q =或2q =-，…3分∵0q >∴2q =-不合舍去，∴123n n a -=⨯； …4分(II)由333log log 2nn n b a =+得n b =121333log (23)log 3212nn n n --⨯⨯==-，…6分∴数列{}n b 是首项11,b =公差2d =的等差数列， …7分∴n S 2(121)2n n n +-==．…8分 （III ）由(I)(II)有1233112n n n n n b b c a +-==-- …9分1n ≥ 时，131n -≥11213123313n n n n --∴-≥⨯∴≤- …12分12201112221113133(1)131313133323213n n n n n c c c --∴+++=+++≤+++==-<---- 所以，原不等式成立。