—、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、设不等式20x x -≤的解集为M ，函数()ln(1||)f x x =-的定义域为N ，则M N ⋂为 （ ）A ． [0，1）B ．（0，1）C ．[0，1]D ．（-1，0]2、已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（ ） A 1 B 1- C 2 D 2- 3、设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）A.0PA PB +=B.0PC PA +=C.0PB PC +=D.0PA PB PC ++=4.已知圆C ：222)()(r b y a x =-+-的圆心为抛物线x y 42=的焦点，直线3x ＋4y ＋2＝0与圆 C 相切，则该圆的方程为( )A ．2564)1(22=+-y xB ．2564)1(22=-+y xC ．1)1(22=+-y xD ．1)1(22=-+y x 5．将函数y ＝2cos2x 的图象向右平移2π个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短 到原来的21倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为( ) A ．y ＝cos2xB ．y ＝－2cosxC ．y ＝－2sin4xD ．y ＝－2cos4x6. 设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是( )A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg7. 已知函数22()(2)f x x b a x a b =+--++是偶函数，则此函数的图象与ｙ轴交点的纵坐标的最大值为( )A.2B.2C.4D.－28、如右图，矩形OABC 内的阴影部分由曲线()sin ((0,))f x x x π=∈及直线((0,))x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为163，则a 的值为（ ） A ．π31 B ．π32 C ．π43 D ．π65二、填空题（本大题共7小题, 分为必做题和选做题两部分．每小题5分, 满分30分）（一）必做题: 第9至13题为必做题, 每道试题考生都必须作答．9、若函数))(2()(2c x x x f +-=在2=x 处有极值，则函数)(x f 的图象在1=x 处的切线的斜率为 。
10、 若关于x 的不等式2|1||2|1()x x a a x R ---≥++∈的解集为空集，则实数a 的取值范围是 。
11. 设向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，且0=•b a ，则||3,||4a c ==，则||b =_____________．12．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是 。
13．某程序框图如图1所示，该程序运行后输出的结果k 的值是（二）选做题: 第14、15题为选做题, 考生只能选做其中一题, 两题全答的, 只计前一题的得分。
14. （坐标系与参数方程选做题）设Ｍ、Ｎ分别是曲线2sin 0ρθ+=和2s ()4in πρθ+=ODCBA上的动点，则Ｍ、Ｎ的最小距离是15. （几何证明选做题）如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，7CD =3AB BC ==。
则BD 的长___________(2分)AC 的长______________(3分)．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出必要过程或演算步骤） 16.（本小题满分14分）函数R x Z k xk x x f ∈∈-++-=,,)2214cos()2cos()(π。
（1）求)(x f 的周期；（2）)(x f 在),0[π上的减区间；（3）若=)(αf 5102，)2,0(πα∈，求)42tan(πα+的值。
17. （本小题满分12分）某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀.区间 [75，80) [80，85) [85，90) [90，95) [95，100] 人数50a350300b绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；（3）在（2）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参 加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X ，求X 的分布列与 数学期望.18. （本小题满分12分）已知几何体A BCED -的三视图如图所示， 其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰 直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值； （2）求二面角A ED B --的正弦值； （3）求此几何体的体积的大小85 80 90 10095 O组距75 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.0719.（本小题满分14分）已知数列}{n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且n n S a ,,21成等差数列. （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）数列满足)(log )(log 322122++⨯=n n n a a b ，求证：211111321<++++n b b b b20. （本小题满分14分）已知三点O(0,0)，A(－2,1)，B(2,1)，曲线C 上任意一点 M(x ，y)满足|MA ＋MB |＝OM ·(OA ＋OB )＋2. (1)求曲线C 的方程；(2)点Q(x 0，y 0)(－2<x 0<2)是曲线C 上的动点，曲线C 在点Q 处的切线为l ，点P 的坐标是(0，－1)，l 与PA ，PB 分别交于点D ，E ，求△QAB 与△PDE 的面积之比．21．(本小题满分14分) 已知函数x x x g x x f 221)(,ln )(2-==． （Ⅰ）设)()1()('x g x f x h -+=（其中)('x g 是)(x g 的导函数），求)(x h 的最大值；（Ⅱ）求证: 当0b a <<时，有a ab a f b a f 2)2()(-<-+； （Ⅲ）设Z k ∈,当1>x 时,不等式4)(3)()1('++<-x g x xf x k 恒成立，求k 的最大值.揭阳一中92届高三第二次段考理科数学答案 一 、 AABCDDBB9. -5 10.）（），（∞+∞01-- 11.7 12. ②④ 13.7 14. 1-215. 4,72316.解：（1）)222cos(2cos )2214cos()2cos()(xk x x k x x f -++=-++-=πππ )42(sin 22cos 2sinπ+=+=x x x ，（Z k ∈）… 3分 所以，)(x f 的周期2412T ππ==。
…… 4分（2）由Z k k x k ∈+≤+≤+,2234222πππππ，得Z k k x k ∈+≤≤+,42542ππππ。
…6分又),0[π∈x ， 令0=k ，得ππ252≤≤x ；令1-=k ，得ππ2327-≤≤-x （舍去）∴ )(x f 在),0[π上的减区间是),2[ππ。
…… 8分（3）由=)(αf 5102，得51022cos 2sin =+αα， ∴ 58sin 1=+α， ∴53sin =α… 10分又)2,0(πα∈，∴542591sin 1cos 2=-=-=αα… 11分 ∴ 43cos sin tan ==ααα，∴7241691432tan 1tan 22tan 2=-⨯=-=ααα… 13分 ∴)42tan(πα+1731724117244tan2tan 14tan2tan -=-+=-+=παπα。
……14分17.解：解：（1）依题意，0.0451000200,0.025*******a b =⨯⨯==⨯⨯=. ……………4分（2）设其中成绩为优秀的学生人数为x ，则350300100401000x ++=，解得：x =30， 即其中成绩为优秀的学生人数为30名. ……………6分（3）依题意，X 的取值为0，1，2，2102403(0)52C P X C ===，1110302405(1)13C C P X C ===，23024029(2)52C P X C ===，所以X 的分布列为350125213522EX =⨯+⨯+⨯=，所以X 的数学期望为2. ……………12分18.解：（1）取EC 的中点是F ，连结BF ，则//BF DE ，∴FBA ∠或其补角即为异面直线DE 与AB 所成的角．……………2分在BAF ∆中，AB =BF AF ==．∴cos 5ABF ∠=．……………4分∴异面直线DE 与AB 5分 （2）因为AC ⊥平面BCE ，过C 作CG DE ⊥交DE 于G ，连AG．可得DE ⊥平面ACG ，从而AG DE ⊥，∴AGC ∠为二面角A ED B --的平面角． ……………7分 在ACG ∆中，90ACG ∠=，4AC =，5CG =， ∴tan 2AGC ∠=．∴sin 3AGC ∠=． ∴二面角A ED B -- 10分 （3）1163BCED V S AC =⋅⋅=，∴几何体的体积为16．… 12分 方法2：（1）以C 为原点，以CA ，CB ，CE 所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系．则A （4，0，0），B （0，4，0），D （0，4，2），E （0，0，4）(0,4,2)DE =-，(4,4,0)AB =-，∴cos ,5DE AB <>=-， ∴异面直线DE 与AB所成的角的余弦值为5． （2）平面BDE 的一个法向量为(4,0,0)CA =，设平面ADE 的一个法向量为(,,)n x y z =，所以(4,4,2)AD =-，(0,4,2)DE =-，则n AD n DE⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩， ∴0,0n AD n DE == 从而4420x y z -++=，420y z -+=， 令1y =，则(2,1,2)n =，2cos ,3CA n <>=， ∴二面角A ED B --（3）1163BCED V S AC =⋅⋅=，∴几何体的体积为16．20.解：(1)由MA＝(－2－x,1－y)，MB＝(2－x,1－y)，得……………1分|MA＋MB|＝－2x2＋2－2y2，……………2分OM·(OA＋OB)＝(x，y)·(0,2)＝2y，……………3分由已知得－2x2＋2－2y2＝2y＋2，……………4分化简得曲线C的方程是x2＝4y. …… 6分(2)直线PA，PB的方程分别是y＝－x－1，y＝x－1，……………7分曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y ＝x 02x －x 204，……………8分且与y 轴的交点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－x 204，……………9分分别联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －1，y ＝x 02x －x 204，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝x 02x －x 204，解得D ，E 的横坐标分别是x D ＝x 0－22，x E ＝x 0＋22，……………11分则x E －x D ＝2，|FP |＝1－x 204，故S △PDE ＝12|FP |·|x E －x D |＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204·2＝4－x 204，而S △QAB ＝12·4·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝4－x 202，则S △QAB S △PDE ＝2.即△QAB 与△PDE 的面积之比为2. ……14分21.（本题满分14分）解:(1）/()(1)()ln(1)2h x f x g x x x =+-=+-+,1x >-……………1分所以 1()111xh x x x -'=-=++． ……………2分 当10x -<<时，()0h x '>；当0x >时，()0h x '<．因此，()h x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减．……………3分 因此，当0x =时，()h x 取得最大值(0)2h =； ………………4分（Ⅱ）当0b a <<时，102b aa--<<．由（1）知：当10x -<<时，()2h x <，即ln(1)x x +<． 因此，有()(2)ln ln 1222a b b a b af a b f a a a a +--⎛⎫+-==+< ⎪⎝⎭．………………7分 （Ⅲ）不等式/(1)()3()4k x xf x g x -<++化为ln 21x x xk x +<+- ……………8分所以ln 21x x x k x +<+-对任意1x >恒成立．令()ln 21x x xg x x +=+-，则()()2ln 21x x g x x --'=-，令()ln 2h x x x =--()1x >，则()1110x h x x x -'=-=>， 所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增．因为()()31ln30,422ln 20h h =-<=->， 所以方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ，且满足()03,4x ∈．当01()0x x h x <<<时，，即()0g x '<，当0()0x x h x >>时，，即()0g x '>， 所以函数()ln 21x x xg x x +=+-在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．所以()()()()()000000min001ln 122225,611x x x x g x g x x x x ++-==+=+=+∈⎡⎤⎣⎦--．所以()()0min 25,6k g x x <=+∈⎡⎤⎣⎦．故整数k 的最大值是5. ………14分。