• 如果有几个集中荷载作用（应力叠加原理）
叠加原理
叠加原理建立在弹性 理论基础之上，当地基表
面同时作用有几个力时，
可分别计算每一个力在地 基中引起的附加应力，然 后对每一个力在地基中引 起的附加应力累加求出附 加应力的总和。
Pn 1 P P2 1 z K1 2 K 2 2 K n 2 2 Ki Pi z z z z i 1
y
P0 o x
R
αr
M’
y
θz
M
x
0.5
z
特点
1.σz与α无关， 应力呈轴对称分布
2.σz:τzy:τzx= z:y:x, 合力过原点，与R同向
0.4
K
0.3
0.2 0.1 0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
r/z
P0 z K 2 z
3 1 K 2 [1 (r / z ) 2 ]5 / 2
3
zy
3P0 yz 2 5 2 R
R2 r 2 z 2 x2 y 2 z 2
3P0 xz 2 zx 2 R 5 z : zy : zx z : y : x
3P0 z P0 3 1 z 5 2 R 2 [1 (r / z ) 2 ]5 / 2 z 2
y
x
y
3 P x z 0 y x M’ x 5 2 R R θz 3P x z 1 2 R Rz z x (2 R z2 ) 3 P 0 y z M 2 R 3 R (R z )y R ( R z ) 5 z 2 R 3P y z 1 2 R Rz z y (2 R z )
条形面积竖直均布荷载 条形面积竖直三角形荷载
特殊面积、特殊荷载
矩形面积水平均布荷载
一、竖直集中力作用下的附加应力计算--------布辛内斯克课题
P0
o
x
R α r M’ θ z y
x
zx
z
y
y yz
M
2 2 2 2 2
xy
2

r / z tg
z
R r z x y z
xyz 1 2 xy(2 R z ) 3 5 2 3 R (R z) R
3P0 xyz 5 2 R
o
P0
αr x
R M’ θz M
3P0 yz yz zy 5 2 R 3P0 y 2 x 3 cos 2R
xz zx
3 1 3 1 K 2 5/ 2 2 [1 (r / z ) ] 2 [1 tg 2 ]5 / 2
P0 z K 2 z
r / z tg
集中力作用下的 附加应力分布系数
查表
P0 z K 2 z
3 1 K 2 [1 (r / z ) 2 ]5 / 2
x y z xy yz zx
（P0；x,y,z；R, α, θ)
法国 J. 布辛奈斯克 (Boussinesq, 1885) 运 用弹性理论推出了在弹性半无限空间表面 上作用一个竖向集中力时，半空间内任意 点 M(x 、 y 、 z) 处的六个应力分量和三个位 移分量的弹性力学解答:
• 地基中附加应力： • 基底附加应力在地基中 引起的附加于原有应力 之上的应力。 地基中的附加应力是使 地基发生变形，引起建 筑物沉降的主要原因。 土中附加应力分布特点：
• 土中附加应力分布特点： • 1、 在地面下同一深度的水平面上的附加应力不同， 沿力的作用线上的附加应力最大，向两边则逐渐减 小。 2、 距地面愈深，应力分布范围愈大，在同一铅直 线上的附加应力不 同， 愈深则愈小。 3、计算地基附加应力，一般假定地基土是各向同性 的、均质的线性变形体，而且在深度和水平方向上 都是无限延伸的，即把地基看成是均质的线性变形 半空间，就可以直接采用弹性力学中关于弹性半空 间的理论解答。
3.P0作用线上,r=0, K=3/(2π） z=0,σz→∞,z→∞，σz=0 4.在某一水平面上z=c，r=0, K最大,r↑，K减小,σz减小 5.在某一圆柱面上r=c，z=0,σz=0,z↑,σz先增加后减小 6.σz 等值线－应力泡
P0
0.1P 球根 应力 球根
P0
0.05P
0.02P 0.01P
n
二、水平集中力作用下的附加应力计算－－－－
西罗弟课题
Ph
o
x
α
x z
r
M’ θ z M y
zx
xy
x
R
y
y yz
xz z 5 2 R
3z Ph
αr
2 2 2 2 0 5 3 3 2
o
P0
x
2
z 3 z 3P0 z 3P0 5 3 2 R z 5 cos 2
0
5 2 R
0
2
3 3 2 3 R (R z) R (R z) 3P
2
2
2
3
2
R
2R
xy
3P0 yx 2
地基中的附加应力计算的假定
(1) 地基土是均质、各向同性的半无限空间线弹性体。 (2) 直接采用弹性力学理论解答。
(3) 基底压力是柔性荷载，不考虑基础刚度的影响。
矩形面积竖直均布荷载
竖直力
矩形面积竖直三角形荷载 矩形面积竖直梯形荷载 圆形面积竖直均布荷载 圆形面积竖直三角形荷载
水平力
竖直线布荷载
2
y
y z
3P0 xz 5 2 R
2
3P0 x 2 cos 3 2R
• 在六个应力分 量和三个位移 分量的公式中， 竖向正应力z 具有特别重要 的意义，它是 使地基土产生 压缩变形的原 因。
y
P0 (1 ) xz x u (1 2 ) 3 2E R R( R z )
P0 (1 ) yz y v (1 2 ) 3 2E R R( R z )
P0 (1 ) z 2 1 w 2(1 ) 3 P0 2E R R
o
αr x
R M’ θz M
x
y
z
3P0 z 3 z 5 2 R