高中数学青年教师基本功考核笔试试题（含答案）考试时间：60分钟 满分：100分一、选择题：（每题6分，共30分）1. 已知符号函数，则函数的零点个数为1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2()sgn(ln )ln f x x x =- ( )（A ）． （B ）． （C ）． （D ）．43212. 已知单位向量α，β，满足(α＋2β)(2α－β)＝1，则α与β夹角的余弦值为 （）⋅（A ） （B ） （C ） （D ）13-1312153. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且，222b a ac c =-+，则90C A -=︒cos cos A C =（ ）（A ）（B（C ） （D ）4141-4. 函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为( )⎩⎨⎧≤≤+-<≤-+=)20(2)02(2)(2x x x x x f x (A).(B). (C). （D ）. 326+234+3246+2234+5．某单位安排7位员工在2012年1月22日至1月28日（即今年除夕到正月初六）值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在除夕，丁不排在初一，则不同的安排方案共有（）（A ）504种（B ）960种（C ）1008种（D ）1056种二、填空题：（每题6分，共30分）6．抛物线的准线为，点在圆上，设抛物线上28y x =l Q 22:68210C x y x y ++++=任意一点到直线的距离为，则的最小值为．P l m ||m PQ +7. 已知，，，，，322322=+833833=+15441544=+t at a66=+（a,t 均为正实数），类比以上等式，可推测a ，t 的值，则 .=+t a 8. 函数的定义域为 ，值域为()f x =+_________。
9. 已知是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的，满足()x f R b a ∈,(2)(2)()()(),(2)2,(),()2n n n n nf f f ab af b bf a f a n N b n N n **=+==∈=∈ 下列结论：①；②为偶函数；③数列为等比数列；④数列)1()0(f f =)(x f {}n a 为等差数列．其中正确的是．{}n b 10. 如下图所示，已知点F 的坐标为（3，0），点A B ，分别是某函数图象与x 轴、y 轴的交点，点P 是此图象上的一动点．设点P 的横坐标为x ，PF 的长为d ，且d 与x 之间满足关系：355d x =-（05x ≤≤），给出以下四个结论：①3OB =；②5BF =；③5OA =；④2AF =．其中正确结论的序号是 ．第10题图三、解答题：（本大题共40分）11．（本小题满分20分）如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1.a 2（1）证明: PA ⊥平面ABCD ；（2）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角的大小； （3）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC？若存在，指明F 的位置并证明你的结论。
若不存在，说明理由。
12.（本小题满分20分）已知函数在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x .2()1mx nf x x +=+（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立；（Ⅲ）已知b a <<0，求证：222ln ln b a aa b a b +>--.（答案）一、选择题：（每题6分，共30分）1. 已知符号函数，则函数的零点个数为1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2()sgn(ln )ln f x x x =- ( C )（A ）． （B ）． （C ）．（D ）．43212. 已知单位向量α，β，满足(α＋2β)(2α－β)＝1，则α与β夹角的余弦值为 （ B ）⋅（A ） （B ） （C ） （D ）13-1312153. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且，222b a ac c =-+，则cos A cos C =90C A -=︒（ C ）（A ）（B（C ） （D ）4141-4. 函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为( C )⎩⎨⎧≤≤+-<≤-+=)20(2)02(2)(2x x x x x f x (A). (B). (C). （D ）. 326+234+3246+2234+解析：C3246324202)231(2)222213202+=+=+-+=+-+⨯⨯=⎰x x dx x S （5．某单位安排7位员工在2012年1月22日至1月28日（即今年除夕到正月初六）值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在除夕，丁不排在初一，则不同的安排方案共有 （ D ）（A ）504种（B ）960种（C ）1008种（D ）1056种二、填空题：（每题6分，共30分）6．抛物线的准线为，点在圆上，设抛物线上28y x =l Q 22:68210C x y x y ++++=任意一点到直线的距离为，则．P l m ||m PQ +27. 已知，，，，，322322=+833833=+15441544=+ t at a 66=+（a,t 均为正实数），类比以上等式，可推测a ，t 的值，则 41 .=+t a 解析：41 根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为，所1122-=-+n nn n n n 以当n=6时，a=6,t=35,a+t=41.8. 函数的定义域为 ，值域为____()f x =53(,[,)64-∞--+∞_____。
9. 已知是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的，满足()x f R b a ∈,(2)(2)()()(),(2)2,(),()2n n n n nf f f ab af b bf a f a n N b n N n **=+==∈=∈ 下列结论：①；②为偶函数；③数列为等比数列；④数列)1()0(f f =)(x f {}n a 为等差数列．其中正确的是①③④ ．{}n b 10. 如右图所示，已知点F 的坐标为（3，0），点A B ，分别是某函数图象与x 轴、y 轴的交点，点P 是此图象上的一动点．设点P 的横坐标为x ，PF 的长为d ，且d 与x 之间满足关系：355d x =-（05x ≤≤），给出以下四个结论：①3OB =；②5BF =；③5OA =；④2AF =．其中正确结论的序号是 ②③④ ．三、解答题：（本大题共50分）11.（本小题满分15分）如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1.a 2（1）证明PA ⊥平面ABCD ；（2）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角的大小；θ（3）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC ？若存在，指明F 的位置并证明你的结论。
若不存在，说明理由11．解：（Ⅰ） 因为底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a ， 在△PAB 中，由PA 2+AB 2=2a 2=PB 2 知PA ⊥AB.同理，PA ⊥AD ，所以PA ⊥平面ABCD （Ⅱ）解 作EG//PA 交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD.知EG ⊥平面ABCD.作GH ⊥AC 于H ，连结EH ，则EH ⊥AC ，∠EHG 即为二面角的平面角.θ又PE : ED=2 : 1，所以.3360sin ,32,31a AG GH a AG a EG =︒===从而 ,33tan ==GH EG θ.30︒=θ（Ⅲ）解法一 以A 为坐标原点，直线AD 、AP 分别为y 轴、z 轴，过A 点垂直平面PAD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的 坐标分别为).0,21,23(),0,21,23(),0,0,0(a a C a a B A -).31,32,0(),,0,0(),0,,0(a a E a P a D 所以 ).0,21,23(),31,32,0(a a a a ==).,21,23(),,0,0(a a a a -==).,21,23(a a a -=第10题图设点F 是棱PC 上的点，则,10),,21,23(<<-==λλλλλ其中a a a ),21,23(),21,23(λλλa a a a a a -+-=+= 令 得)).1(),1(21),1(23(λλλ-+-=a a a 21λλ+=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+=-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+=-.311,341,1.31)1(,3221)1(21,23)1(2322112211λλλλλλλλλλλλλλ即a a a a a a a 解得即 时，.23,21,2121=-==λλλ21=λ+=亦即，F 是PC 的中点时，、、共面.又 BF 平面AEC ，所以当F 是棱PC 的中点时，BF//平面AEC ⊄解法二 当F 是棱PC 的中点时，BF//平面AEC ，证明如下，证法一 取PE 的中点M ，连结FM ，则FM//CE. ①由 知E 是MD 的中点.,21ED PE EM ==连结BM 、BD，设BD AC=O ，则O 为BD 的中点.⋂所以 BM//OE. ②由①、②知，平面BFM//平面AEC.又 BF 平面BFM ，所以BF//平面AEC.⊂证法二因为 )(21++=+=)(23)(21-+-+=++=-=所以 、、共面. 又 BF 平面ABC ，从而BF//平面AEC.BF AE AC ⊄12.（本小题满分20分）已知函数在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x .2()1mx nf x x +=+（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立；（Ⅲ）已知b a <<0，求证：222ln ln b a aa b a b +>--.12. 解析：（1）将1-=x 代入切线方程得2-=y∴ 又 (1)24f n m -=-⇒-=-(1)12f n '-=-⇒=-解得：. ∴122)(2+-=x x x f . 2,2m n ==-（Ⅱ）由已知得122ln 2+-≥x x x 在),1[+∞上恒成立化简22ln )1(2-≥+x x x ，即022ln ln 2≥+-+x x x x 在),1[+∞上恒成立设22ln ln )(2+-+=x x x x x h ，21ln 2)(-++='xx x x x h ∵1≥x ∴21,0ln 2≥+≥xx x x ，即0)(≥'x h ∴)(x h 在),1[+∞上单调递增，0)1()(=≥h x h ，∴)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立（Ⅲ）∵b a <<0 ∴1b a >，由（Ⅱ）知有222ln ()1b ba b a a->+，整理得222ln ln b a a a b a b +>-- ∴当ba <<0时，222ln ln b a aa b a b +>--.。