平行四边形典型例题
【例1】如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则图中全等三角形有（） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【分析】由平行四边形的对边平行、对角线互相平分，可得全等三角形有：△ABD和△CDE，△ADC和△CBA ，△AOD 和△BOC 、△AOB 和△COD ．
【答案】C
【例2】如图，□ABCD中，∠B、∠C的平分线交于点O ，BO 和CD 的延长线交于E ，求证：BO=OE ．
【分析】证线段相等，可证线段所在三角形全等．可证△COE ≌△COB ．已知OC 为公共边，∠OCE=∠OCB，又易证∠E=∠EBC．问题得证．
【证明】在□ABCD中，∵AB//CD，
∴，
又∵（角平分线定义）．
∴，
又∵，
∴△≌△
∴．
说明：证线段相等通常有两种方法：（1）在同一三角形中证三角形等腰；（2）不在同一三角形则证两三角形全等．本题也可根据等腰三角形“三线合一”性质证明结论．
【例3】如图，在ABCD中，AE⊥BC于E ，AF⊥DC 于F ，∠ADC=60°，BE=2，CF=1，求△DEC 的面积．
【解】在中，，、．
在Rt △ABE 中，，．
∴，．
∴．
在△中，．
∴．
故．
【例4】已知：如图，D 是等腰△ABC 的底边BC 上一点，DE//AC ，DF//AB ．求证：DE+DF=AB．
【分析】由于，，从而可以利用平行四边形的定义和性质，等腰三角形的判定和性质来证．
【解】∵，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵，∴．
∵，∴．
∴．
∴．
说明：证明一条线段等于另外两条线段的和常采用的方法是：把三条线段中较长的线段分为两段，证明这两段分别等于另两条线段．
【例5】如图，已知：中，、相交于点，于，
于，求证：．
【分析】
【解】因为四边形是平行四边形，
所以，．
又因为、交于点，
所以．
又因为，，
所以．
于是△ ≌△ ．
从而 ．
【例6】已知：如图，AB//DC ，AC 、BD 交于O ，且AC=BD 。

求证：OD=OC.
证明：过B 作 交DC 延长线于E ，则 。

∵ ， ，
∴
∵ ， ∴
∴ ∴
∴
说明：本题条件中有“夹在两条平行线之间的相等且相交的线段”，由于位置交错而一时用不上，为此通过作平行线，由“夹在两条平行线间的平行线段相等”将线段AC 平移到BE ，得到等腰△BDE，使问题得解．
【例7】如图，□ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ，
求证：四边形AFCE 是菱形．
解：略。

1
O
E
D
C
B
A
O
F
E
D
C
B
A
【例8】如图所示，□ABCD 中，各内角的平分线分别相交于点E 、F 、G 、H ，
证明：四边形EFGH 是矩形。

【例9】如图所示，已知矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，过顶点C ，作BD 的垂线与∠BAD 的平分线相交于点E ，交BD 于G ，证明：AC=CE 。

H
G
F
E
D
C
B
A
G
O
E
D
C
B
A。