6.2.4.3最大长度多项式的数目
Zierler证明，最大长度序列的数目由下式给出：
其中 是欧拉数，它等于包括1在内的小于 而与 互质的正整数个数。
例：n=4,则 （与15互质的数有14,13,11,8,7,4,2,1
或不互质数：3,5,6,9,10,12。见表7.1）
Zierler还证明，n阶不可约多项式数目为：
(1)n级m序列的长度为 ，m序列的穷尽。如例2： 。
(2)在m序列中，“1”的个数比“0”的个数多1，即为 ，“0”的个数为 。如例2中有8个“1”，7个“0”。
(3)用宽度为n的窗口沿m序列滑动N次，每次移1位，除全“0”外，其它每种n位状态刚好出现一次。如例2。
(4)在m序列中定义连续相同的一组符号为一个游程，把该相同符号的个数称为游程长度，则对任一m序列有：
d)“1”的长度为(n-3),“0”的长度为(n-3)的游程各为2个。如例2中有二个“1”，“1”，二个“0”，“0”。
e)“1”的长度为(n-4),“0”的长度为(n-4)的游程各为4个。例2中无法验证。
f)“1”的长度为k,“0”的长度为k的游程各为 个,其中1 k n-1,
(5)一个m序列与该序列的任意位相移后的序列模2加后仍为具有某种相移的该m序列。此性质为线形叠加性。
自相关函数定义为
为捕获序列，也常用 表示
互相关函数定义为
其中 、 为两个码序列。
对二进制时间离散码序列，自相关函数和互相关函数的计算可简化如下:
把两个码序列进行逐对和逐比特比较（模2加），则自相关（或互相关）值为一致比特数减不一致比特数，逐次改变 从 — ，则可得到自相关（或互相关）函数，如图6-3。如把相关值除以 ，称为归一化相关函数。显然，自相关函数的最大值为1。为了表示自相关和互相关特性的好与不好，引入“鉴别指数”(ID)，它表示最大自相关值与次最大自相关值之间的差值，或最大自相关值与最大互相关值之间的差值。对于m序列，自相关鉴别指数 或 （最大相关值为 ，其它相关值 为-1，鉴别指数越小，接收机的鉴别能力越强。两个码序列的互相关函数一般与具体码序列有关，不同的码序列互相关函数一般不相同，所以鉴别指数也不同。在码分多址通信中，对一组地址码中的任两个码序列之间的互相关特性都必须研究清楚，如有几种不同的互相关值，每种出现几次等。
第一个零点在 处，主瓣宽度为 。
时， 。N很大时， 。
6.2.4m序列的产生
6.2.4.1m序列产生器的结构
在设备中，m序列可以用硬件产生，也可以用软件产生，然后存在ROM中。在硬件中可使用移位寄存器，也可用声表面滤波器件等延迟线来产生。用移位寄存器产生m序列，从结构上又有两种方式，一种是简单线性码序列发生器(SSRG)，另一种是模块式码序列发生器(MSRG)，前一种结构如图6-6（上），参加反馈的各级输出经多次模二加后把最后结果送入第一级。第二种结构如图6-6（下），多级的输出都可能与反馈信号模二和后送入下一级，因为n级码产生器是由几个相同模块构成，因而称为模块式结构，每个模块中包括一级触发器和一级模二加构成。可以证明，这两种结构是等价的，即可产生同一m序列，不同的是前一种因多个模二加是串联的，所以延时大，工作速度较低，后一种模二加在各级触发器之间，模二加的动作是同时并行的，所以延时小，工作速度高。Motolora公司把四个模块集成在一起，型号为MC8504。注意，不管哪种结构都需有全“0”起动电路，否则由于某种原因（如启动）发生器可能死在全“0”状态。
Gold码的性质：
(1) 个Gold码与产生该Gold码的两个m序列一起构成由 个不同码序列组成的Gold码家族，周期均为 。
(2)在一个Gold码家族中，Gold码序列的自相关旁瓣及任两个码序列之间的互相关值都不超过该家族中的两个m序列的互相关值，即
m序列优选对的最大互相关值：
n
5
6
7
9
10
11
码周期
(6)自相关函数是周期性的，双电平。
为归一化自相关函数。
定义：
在每个序列周期内“0”与“1”的数目最多差1
如(4)中符号的关联特性
在一个序列周期内，
满足以上三条者称为PN码。显然m序列是PN码。
例：n=4,
6.2.2自相关和互相关函数
在扩展频谱系统中，不管是通信系统还是测距系统，都非常注重研究扩频码的自相关和互相关特性。特别是在码分多址通信系统中，码序列的过大的自相关旁瓣和互相关峰值会使码捕获的虚警概率增加，对雷达系统（扩频方式）也是类似影响。
例：n=4
（因为-1=+1，模2）
对n级，有
特征多项式为
，一般取 ，否则低于n级
特征多项式的系数 与SSRG的反馈连接系数 一一对应。所以，研究m序列的反馈连接系数问题就转化成从数学上研究特征多项式的特性。
定理：如果SSRG序列的长度为最大，则特征多项式是不可约的。（必要条件）
定理：若n阶特征函数是不可约的，则SSRG的序列周期是的 一个因子。 （对产生m序列不充分）
设初态为: ，则移位寄存器状态转移图如下：
共16个状态，0000为死态，共有15个状态构成以15为周期的循环中，每个状态在一个周期中只出现1次。
例3：NLFSRSG：n=4，
在16种状态中,1111,0000为死态，且0011，0001，0010，0000可来自不止一个前置态。
比较以上三例看出：
(1)LFSRSG：任一状态只来自一个前置态。
若给定的反馈逻辑 ,则利用反商得到的系数形式为 ，称为镜像序列。
SSRG与MSRG序列之间关系： 与 为同一序列，但相位不同。
例：n=4，表给出
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
10011 Nhomakorabea0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(a) (b) (c)
可见，(a)与(c)为同一m序列，但相移不同，二者与(b)码互为镜像。
6.3复合码
6.3.1Gold码
Gold码是Gold于1967年提出的，它是用一对优选的周期和速率均相同的m序列模二加后得到的。其构成原理如图6-7所示。
两个m序列发生器的级数相同，即 。如果两个m序列相对相移不同，所得到的是不同的Gold码序列。对n级m序列，共有 个不同相位，所以通过模二加后可得到 个Gold码序列，这些码序列的周期均为 。
对n级
在 中第一行： 完全表明了反馈函数与各级寄存器的关系，其它各行只是表明下一级输入是前一级的输出，只是状态的延时，所以能否构成最大长度序列，完全取决于 。换句话说， 完全表达了寄存器的状态转移。
特征方程和特征多项式：
特征多项式对研究移位寄存器序列的产生起到非常重要的作用，是一个重要工具。对于 的A矩阵，将行列式 定义为 的特征多项式 ，称方程 为特征方程，记为 ，其中I为 单位矩阵 为参数。
31
63
127
511
1023
2047
最大互相关值
9
17
17
33
65
65
由上看出，n=7比n=6性能好(互相关同为17)，n=11比n=10好(互相关同为65)。
归一化的标差＝103（××××〕标差＝45。
推论：如果 是个素数，则每个不可约的n阶特征多项式对应一个最大长度的移位寄存器序列。如果对任意的n（即 不一定是素数）都产生最大长度序列，则特征多项式必须是本原的。所谓本原多项式，是当且仅当不可约的n阶多项式能够除尽 ，其中m不小于 。
根据该推论，先求本原多项式，确定系数 中哪些为0，哪些为1，即可得到SSRG的反馈连接方式。
根据反馈函数对移位寄存器序列产生器分类：
(1)线性反馈移位寄存器序列产生器（LFSRSG）：如果 为 的模2加。
(2)非线性反馈移位寄存器序列产生器（NLFSRSG）：如果 不是 的模2加。