则有误差限 |x-x*|≤1= εx ,
虽然εy是εx 的3倍，但在1000内差3显然比10内差1更精确 些。这说明一个近似值的精确程度除了与绝对误差有关 外，还与精确值的大小有关，所以这时可以用相对误差 来比较这两个近似数的准确度。
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第一章 绪论与误差分析
e x x* 定义1 .2 记 er x x 则称其为近似值 x *的相对误差。 由于 x 未知， 实际使用时总是将 x * 的相对误差取为
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二、计算数学研究的对象和任务
根据数学模型提出的问题，建立求解问题的数值计算 方法并进行方法的理论分析，再编制出算法程序上机计算 并对计算结果进行分析，这一过程就是计算数学研究的对 象和任务。因此，计算数学就是研究用计算机解决数学问 题的数值计算方法及其理论。 计算数学是数学学科的一个分支，但它不象纯数学那 样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合， 着重研究面向计算机的，能够解决实际问题的数值方法及 其理论,具体地说，数值分析研究的内容包括： 1.构造可在计算机上求解数学问题的数值计算方法 2.分析方法的可靠性，即按此方法计算得到的解是否 可靠，与精确解之差是否很小，以确保计算解的有效性。
对给定的 x ，要计算函数值 ex 时，可采用近似公式 2 n x x x e 1 x 2! n! 那么此近似公式的截断误差为
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x n 1 θ x R( x ) e , 0θ 1 ( n 1)!
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4．舍入误差（计算误差）
由于计算机的字长有限，参加运算的数据以及计算结 果在计算机上存放时，计算机会按舍入原则舍去每个数据 字长之外的数字，从而产生误差，这种误差称为舍入误差 或计算误差。 例如，在十进制十位的限制下，会出现 (1.000002)2-1.000004=0
数值分析
硕士研究生学位课
主讲：苗保山
E-mail: miao20020302@
西安理工大学应用数学系 二O一三年十一月
第一章 绪论与误差分析
§1 §2 §3 §4 §5 计算数学研究的对象和内容 误差的来源和分类 误差的表示 误差的传播 算法设计的若干原则
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第一章 绪论与误差分析
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对于给定的数学问题，常常可以提出各种各样的数值 计算方法。如何评价这些算法的优劣呢？一般来说，一个 好的方法应具有如下的特点： (1).结构简单，易于计算机实现； (2).有可靠的理论分析，理论上可保证方法的收敛性 和数值稳定性； (3).计算效率高，时间效率高是指计算速度快，节省 时间，空间效率高是指节省存储量； (4).经过数值试验检验，即一个算法除了理论上要满 足上述三点外，还要通过数值实验来证明是行之有效的。 在学习数值分析时，我们要注意掌握数值方法的基本原 理和思想，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合， 要重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论。此外，还 要通过应用数值方法编程计算具体例子，以提高使用各种 数值方法解决实际问题的能力。
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三、数值分析的学习内容
1 . 数值逼近 (1). 代数插值：Lagrange、Newton、Spline插值 (2). 最佳逼近： 最佳一致逼近、最佳平方逼近(最小二乘法) (3). 数值微积分：等距节点求积公式、Gauss型求积公式 2 . 数值代数 (1). 线性方程组求解
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计算克服了理论分析及实验手段的局限，这是自伽利 略、牛顿以来科学方法论的最伟大的进步，推动着科学实 践中一场深刻的不可逆转的变革。 在科学和工程的许多领域有了计算才能获得重大的研 究成果和完成高度复杂的工程设计。科学计算的方法和理 论作为新的研究手段以及新的设计和制造技术的理论基础， 正在并将继续推动当代科学和高新技术的发展。 当前科学计算正在向大规模和高性能发展，要达到 “全物理、全系统、三维、高分辨、高逼真”的数值模拟， 发展高效的计算方法与发展高性能的计算机同等重要。 数十年来在自然科学和工程科学中，先后产生了计算 物理、计算力学、计算化学、计算生物、计算经济学等一 系列计算性的分支学科。
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例1.1求单摆角的变化规律 解：(1).建模：根据Newton定律得到 d 2 ml 2 mg sin dt (2). 测量 l 、g 的值 g 2 (3). 模型求解 ，令 得到： l 2 d 2 sin 0(*) 2 dt d 2 2 再 令 sin 得到 0 2 dt 解得：(t)=Acost+Bsin t
2 1.414 0.00022
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二、相对误差
用绝对误差来刻画近似值的精确程度是有限的，因为 它没有反映出它相对于精确值的大小或它占精确值的比 例。例如两个数 x 、 y 与它们的近似值 x* 、 y *分别为 x=10, x*=10±1; y=1000, y*=1000 ±3 | y-y*|≤3 =εy .
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§1 计算数学研究的对象和内容
一、计算数学的产生与发展
数值分析是科学计算数研究领域的一门专业基础课， 是研究科学计算中各种数学问题数值计算方法的基础。 科学计算的兴起是二十世纪后半叶最重要的科技进步之 一，是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛 应用的新型交叉学科，是数学及计算机实现其在高科技 领域应用的必不可少的纽带和工具。 许多重大的科学技术问题根本无法求得理论解，也难 以应用实验手段解决，但却可以借助于计算机进行计算。 科学计算与理论研究、科学实验并列，已成为当今世界 科学活动的第三种手段。
(2). 矩阵的特征值、特征向量计算
(3). 非线性方程求根、非线性方程组求解 3 . 微分方程求解 (1). 常微分方程数值解：欧拉折线法和龙格库塔法 (2). 偏微分方程数值解 ：差分法、有限元法
四、学习要求
1.掌握构造算法的基本思想和方法 2.掌握解决常见问题的基本算法 3.重视算法的误差分析、收敛性分析和稳定性分析 4.注重在计算机上实现算法并用于解决实际计算问题
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本章内容安排
1. 目的意义：了解计算数学的背景知识；掌握误 差的基本知识 2.重 点：误差来源、误差表示、误差传播 及算法设计原则 3.难 点：有效数字 4.内容分配： 第 1 次：§1 计算数学研究的对象和内容 第
§2 误差的来源和分类 2 次：§3 误差的表示 §4 误差的传播 §5 算法设计的若干原则
*五、计算实习报告写法
1.实习题目 3.目的意义 5.算法 7.数值算例 9.参考文献
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2. 班级姓名 4. 数学模型（数学公式） 6.（流程图） 程序 8. 对计算结果进行分析评价
§2 误差的来源和分类
在科学和工程计算中,估计计算结果的精确度是十分重要 的,而影响精确度的是各种各样的误差。所谓误差就是一个 物理量的真实值与近似值之间的差。误差按照它们的来源 可分为模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差四种。 1.模型误差 在建立数学模型时，往往要忽略许多次要因素，由此而 产生的误差称为模型误差。如忽略空气阻力、摩擦力等。 2.观测误差 数学模型中包含的一些物理参数，它们的值往往是通 过观测和试验得到的，难免带有误差。这种观测数据与实 际数据之间的误差称为观测误差。如单摆运动的绳长 l 及 重力加速度 g等。
* e x x * er * x x* x x* er 则称η 为 x* 的相对误差限。 x
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计算数学一方面是数学，其研究手段包括数学推导、 分析、论证和计算，其成果将促进学科自身的发展。但另 一方面，计算数学又有广泛的应用背景，其研究对象往往 涉及许多其它学科，其研究成果则可以应用于实际计算并 通常带有数值实验的结果。 推动纯粹数学发展的动力主要来自自身提出的问题， 而计算数学发展的主要动力则来自于解决科学和工程中的 实际计算问题的需要。计算数学的发展离不开计算机，计 算方法的改进将能使计算机的作用得到充分的发展，而计 算数学提出的要求也将对计算机的发展与更新换代提供新 的推动力。 科学和工程计算的能力与发展水平是一个国家综合国 力的重要标志。世界发达国家都极其重视这一研究领域， 并以大量资金投入加以支持。美国在此领域长期处于领先 地位，目前有每秒万亿次的计算机用于科学计算。
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3.分析方法的效率。分析比较求解同一问题的各种方 法的计算速度和存储量，以便使用者根据各自的情况采用 高效率的方法，节省人力、物力和时间，这样的分析是数 值分析的一个重要部分。应当指出，数值方法的构造和分 析是密切相关不可分割的。
例如：计算3次多项式 的函数值
p3 ( x ) a3 x 3 a2 x 2 a1 x a0 直接计算需要6次乘法，3次加法。如果作如下改变： p3 ( x ) a3 x 3 a2 x 2 a1 x a0
((a3 x a2 ) x a1 ) x a0
只有3次乘法，3次加法。这个算法称作：秦九绍算法。
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第一章 绪论与误差分析
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§3 误差的表示
一、绝对误差 定义1.1 设x 是精确值，x* 是x 的一个近似值 。记 e =x - x* 则称其为近似值 x* 的绝对误差，简称误差。 例如，x=1.414 通常作为 无理数 2 的一个近似值， 它的绝对误差是 e 2 1.414 。 如果存在ε使得|e|=|x-x*|≤ε,则称ε其为绝对误差限。 例如： e
这个结果是不准确的，准确的结果应是 (1.000002)2-1.000004 =1.000004000004-1.000004=4×10-12 这里所产生的误差就是计算舍入误差。 在数值分析中，一般总假定数学模型是准确的，因而 不考虑模型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误 差对计算结果的影响。