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随机过程的特征统计量
设{X(t)，t∈T}是一个随机过程
均值函数
X t E X t
协方差函数 X s,t E X s X s X t X t
方差函数
DX t X t,t E X t X t 2
宽 严：不言而喻； 严平稳+二阶矩存在 宽平稳，但反过来一般不成立； 对于正态过程来说，有严平稳 宽平稳。 在实际应用中，研究最多的还是看宽平稳时间序列。
宽平稳 (weakly stationary)
宽平稳是使用随机过程的特征统计量来定义的一种平稳性。 它认为随机过程的统计性质主要由它的低阶矩决定，所以 只要保证低阶矩平稳(二阶)，就能保证随机过程的主要性 质近似稳定。
纯随机性： k 0，k 0
1) E X t 2 ,t T 2) E X t , 为常数，t T
3) (s,t) (k, k t s)，t, s, k且k t s T 【注】若T是离散集，则称平稳过程{X(t)}为平稳序列{Xn}。
严平稳与宽平稳的关系
平稳过程
平稳过程：随机过程处于某种平稳状态，其主要 性质与变量之间的时间间隔有关，而与所考察的 起始点无关。 平稳过程的分类： 严平稳 宽平稳
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严平稳 (strictly stationary)
严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为只有当过 程所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变化时，该 随机过程才能被认为平稳。
宽平稳 (weakly stationary)
宽平稳是使用随机过程的特征统计量来定义的一种平稳性。 它认为随机过程的统计性质主要由它的低阶矩决定，所以 只要保证低阶矩平稳(二阶)，就能保证随机过程的主要性 质近似稳定。
定义：满足如下条件的随机过程{X(t)，t∈T}称为宽平稳过 程，简称平稳过程。
区别：
宽平稳对时间推移的不变性表现在统计平均的一、 二阶矩上，对于高于二阶的矩没有任何要求；
严平稳对时间推移的不变性表现在统计平均的概 率分布上，以保证序列所有的统计特征都相同；
两者的要求不同，一般说来，严平稳比宽平稳要 求要“严”。
严平稳与宽平稳的关系
联系：
严 宽：因为宽平稳要求期望和协方差都存在，而 严平稳要求概率分布存在，并不断言一二阶矩存在。 而服从柯西分布的严平稳序列就不是宽平稳序列，因 为它的一、二阶矩均不存在；
本章结构
随机过程基础概念和基本理论介绍 平稳过程的特征 线性差分方程 时间序列数据的变化过程进行研究时，需要 考虑无穷多个随机变量，必须用一簇随机变量才 能刻画这种随机现象的全部统计特征，这样的随 机变量族通常称为随机过程。
例子：随机游动(或游走)模型，Brown运动等等
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随机游动
设X1,X2,…是一列独立同分布的随机变量序列，令 Sn=S0+X1+X2+…+Xn
则称随机变量序列{Sn；n=0,1,…}为随机游动。 其中S0是与X1,X2,…相互独立(但是不同分布)的随机变量， 一般地，我们总是假定S0=0。如果
P(Xn=1)= P(Xn=-1)=1/2 就是一般概率论与数理统计教材中提到的简单随机游动。
0
m


1
M
1 L 0 L
M

m1
m2
L
m1
m2

M
0

非唯一性 ：一个平稳序列唯一决定了它的自相关函数， 但一个自相关函数未必唯一对应着一个平稳序列。
平稳过程的遍历性
如果均方连续的平稳过程的均值和相关函数都具有 各态历经性(随机过程的时间平均等于过程的统计 平均)，则称该平稳过程具有各态历经性或遍历性。
定义：有限维分布关于时间是平移不变的
设随机过程{X(t)，t∈T}对任意的t1,…,tn∈T和任意的h有 (X(t1 +h),X(t2 +h), …,X(tn +h) )和(X(t1),X(t2),…,X(tn))具有相同 的联合分布，记为
d
(X(t1 +h),X(t2 +h), …,X(tn +h) )=(X(t1),X(t2),…,X(tn)) 则称过程{X(t)，t∈T}是严平稳的。
定义：满足如下条件的随机过程{X(t)，t∈T}称为宽平稳过 程，简称平稳过程。
1) E X t 2 ,t T 2) E X t , 为常数，t T
3) (s,t) (k, k t s)，t, s, k且k t s T 【注】若T是离散集，则称平稳过程{X(t)}为平稳序列{Xt}。
平稳时间序列{Xt}的统计性质
常数均值： E Xt
(自)协方差函数只依赖于时间的平移长度,而与时 间的起止点无关：
(s,t) (k, k t s)，t, s, k且k t s T
延迟k自协方差函数：
(k) (t,t k) (t,t k),k为整数
常数方差： D Xt (t,t) (0),t T
且有 (t) (0)
自相关系数
延迟k自相关系数：反映序列Xt在时刻t和t+k时的线
性相关性。
k

(k) (0)
规范性：
非负定性：
0 1,且 k 1,k
对称性：
k =-k
难点：在实际问题中 ，要严格验证平稳过程是否 满足遍历性的条件是比较困难的。
遍历性的理论意义：一个遍历的宽平稳过程，可用 任意一个样本函数的时间平均代替平稳过程的统计 平均。
纯随机过程
定义： 如果随机过程X(t)是由一个不相关的随机变量序列 构成，即对于所有s≠t，随机变量Xs和Xt的协方差均 为零，即随机变量Xs和Xt互不相关，则称其为纯随 机过程。