《随机过程期末考试卷》
1 •设随机变量X服从参数为■的泊松分布，则X的特征函数为 ___________ 。
2•设随机过程X(t)二Acos(「t+「),-：：vt<：：其中「为正常数，A和门是相互独立的随机变量，且A和“服从在区间10,1 1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为。
3•强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为_
的同一指数分布。
4•设「W n ,n 一1是与泊松过程：X(t),t - 0?对应的一个等待时间序列，则W n服从分布。
5•袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，
r
对每一个确定的t对应随机变量x(t)=」3’如果t时取得红球，则这个随机过
e t, 如果t时取得白球
程的状态空间__________ 。
6 •设马氏链的一步转移概率矩阵P=(p j)，n步转移矩阵P(n)=8(；))，二者之间的关系为。
7•设汉.，n -0?为马氏链，状态空间I，初始概率P i二P(X。
二i)，绝对概率
P j(n)二P^X n二j?，n步转移概率p j n)，三者之间的关系为_____________ 。
8 .设｛X(t),t 一0｝是泊松过程，且对于任意t2t^ 0则
P{X ⑸= 6|X (3) = 4} = _______
t
9•更新方程K t二H t • .°K t-s dF s解的一般形式为__________________ 。
10•记二-EX n,对一切a 一0,当t—一：时，M t+a -M t > ____________
3.设］X n,n — 0?为马尔科夫链，状态空间为I，则对任意整数n—0,仁I <n和i,j I，n步转移概率p(k)p『)，称此式为切普曼一科尔莫哥洛夫方程,
证明并说明其意义
、证明题(本大题共4道小题，每题8分，共32分)
1.设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式:
P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设｛X(t), t_0｝是独立增量过程,且X(0)=0,证明｛X(t), t_0｝是一个马尔科夫过程。
4.设〈N(t),t_O?是强度为，的泊松过程，〈Y k,k=1,2,|爪是一列独立同分布随机变
N(t)
量，且与:N(t),t -0｝独立，令X(t)=v Y k,t _ 0,证明：若E(Y；＜：)，贝U
k=1
E X(t)丨-tE: Y^f。
计算题(本大题共4道小题，每题8分，共32分)
1.设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为
1/32/30
P =1/302/3，求其平稳分
布
< 01/32/3,
3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。
又设今天下雨
而明天也下雨的概率为［，而今天无雨明天有雨的概率为：；规定有雨天气为
状态0，无雨天气为状态1。
设〉=0.7,： = 0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的
概
率。
2.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客
不超过3人的概率。
简述指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性的关系
4.设有四个状态1=^0，,2,3?的马氏链，它的一步转移概率矩阵
0 0〕 0 0 14 14 0 1
(1) 画出状态转移图； (2) 对状态进行分类； (3) 对状态空间I 进行分解。
四、简答题(本题6分)
12 12 14
一. 填空题
-.(it i) 1 1
1.为e"e。
2. _ —(sin(国t+1)-sin cc t) 。
3. _ —
2
4,二5. _ It, 2t,|l(;e,e2HI。
6. P⑺二P n。
7 . P j(n) »p：p j n)
Q 3 J 记
6 t a
8. 18e 9。
K(t )=H (t )+[K(t—sdM (s) 10. -
二. 证明题
1.
证明：左边=P(ABC) P(ABC) PIAg) =p(CAB)P(B A)二右边
P(A) P(AB) P(A)
2.
证明：当0 ：：： t1 ::: t2：：： |l( ::: t n < t 时，
P(X(t) —X X(tJ=X1,X(t 2)=X2,l"X(t n)=X n) =
P(X(t)-X(t nV-X-X n X(tJ-X(O)=X 1,X(t 2)-X(0)=X 2,|"X(t n)-X(0)=X n)=
P(X(t)-X(t n)沁-X n)，又因为
P(X(t) ^XX(t n)=X n)= P(X(t)-X(t n)沁-X n X(t n)=X n) =
P(X(t)-X(t n^X-X n)，故
P(X(t)岂XX(t1)=X1，X(t2)=X2，l"X(t n)=X n)=P(X(t) /X(t n)=X n)
3.
证明：
P j(n)二P：X(n)=j X(O)=i .；- P X(n)=j,Qx(l)=k X(0)=i =
' PX(n)=j,X(l)=k X(0)=i /
kWI
=、Plx(l)=k X(O)=i 召P「X(n)=j X(l)=k,X(0)=i 心' 卩詁时-"，其意义为n 步转
移概率可以用较低步数的转移概率来表示。
4.
证明：由条件期望的性质E〔X(t)丨-E「E X(t) N(t) ?，而
N(t)
E[X(t) N(t) = n卜E 匡Y i N(t) = n
- i=1
n n
=E ' Y j N(t)二n =E ' Y j =nE(YJ，所以E〔X(t)丨-■ tEI 丫丿IL i=1 」.i=1 」
三. 计算题(每题10分，共50分)
1.解：
=1.」
3 3
2
=-n1 +-H
3 3
2 2
=—兀c + 一兀
3 3
2•解：设「N(t),t - 0是顾客到达数的泊松过
程,
P〈N(2) _ N(2)=0 1+P「N(2)=1 ?+P〈N(2)=2 ?+P〈N(2)=3 ；
= e-4 4e-4 8e-4里e-4
3
31
i
I31
I
I 31
，即
解得1—
n
2 4
7厂3 - ，故平稳分布为
2 4
(7,7,7)
⑷k-4 e
k!
，则
71 -4
e
3
3
'_： 2 ■；：
P oo P oi 丨0.7 0.31 十口3•解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为P= | | ，于是
iP io P ii 一[0.4 0.6一
P（2）= pp= 0.61 0.39[四步转移概率矩阵为P（4）= p（2）p（2）=严749 0.4251，从
p.52 0.48一[0.5668 0.4332一
而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为P0）=0.5749。
4.
解：（1）图略；
（2）P33 =1,而P30, P31, P32均为零，所以状态3构成一个闭集，它是吸收态，记C i= 3?；0, 1两个状态互通，且它们不能到达其它状态，它们构成一个闭集，记C2=「0i，且它们都是正常返非周期状态；由于状态2可达C i，C2中的状态，而C i, C2中的状态不可能达到它，故状态2为非常返态，记D=〈2?。
（3）状态空间I可分解为：E二D C2
四. 简答题（6分）答：（略）。