得 分 评卷 人 三、计算题（本大题共 4 道小题，每题 8 分，共 32 分）
1/ 3 2 / 3 0 1.设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为 P 1/ 3 0 2 / 3 ，求其平稳分布。
0 1/ 3 2 / 3
3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨 而明天也下雨的概率为 ，而今天无雨明天有雨的概率为 ；规定有雨天气为
P(X(t)-X(tn ) x-xn ) ，故 P(X(t) x X(t1)=x1, X(t2 )=x2,X(tn )=xn ) =
P(X(t) x X(tn )=xn )
3.
证明：
P(n) ij
P
X(n)=j X(0)=i
P
X(n)=j,
X(l)=k
X(0)=i
=
kI
Hale Waihona Puke 共 6 页第 7 页0
0
1 1 P= 2 2
0
0
1 1 1 1
4 4 4 4
0 0 0 1
（１）画出状态转移图；
（２）对状态进行分类；
（３）对状态空间 I 进行分解。
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一．填空题
1．为 e(eit -1) 。2． 1 (sin(t+1)-sint) 。3． 1
2
4．
5．
P{X (5) 6 | X (3) 4} ______
9．更新方程
K
t
H
t
t
0
K
t
s
dF
s
解的一般形式为
。
10．记 EX n , 一一一一一一一t +a 0 t M M t
。
得 分 评卷 人 二、证明题（本大题共 4 道小题，每题 8 分，共 32 分）
1.设 A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式： P(BC A )=P(B A )P(C AB) 。
2.设{X(t),t0}是独立增量过程, 且 X(0)=0, 证明{X(t),t0}是一个马尔科夫 过程。
3.设Xn, n 0为马尔科夫链，状态空间为 I ，则对任意整数 n 0,1 l <n 和
i,
jI
，n
步转移概率
p(n) ij
p p (l ) (n-l ) ik kj
，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，
1
t,
2
t,;e,e2
。
6． P(n) Pn 。
3 3
7． pj(n)
pi
p(n) ij
。
iI
8． 18e6
9。
K
t
H
t
t
0
K
t
s
dM
s
10. a
二．证明题
1. 证明：左边= P(ABC) P(ABC) P(AB) P(C AB)P(B A ) =右边
P(A) P(AB) P(A)
2. 证明：当 0 t1 t2 tn t 时， P(X(t) x X(t1)=x1, X(t2 )=x2,X(tn )=xn ) =
3
2 3
2
2 3
3
2 3 1
解得 1
1 7
,
2
2 7
,
3
4 7
，故平稳分布为
(1 , 2, 4) 777
2.解：设N(t),t 0是顾客到达数的泊松过程， 2 ，故 PN(2)=k (4)k e-4 ，则
k!
PN(2) 3 PN(2)=0+PN(2)=1+PN(2)=2+PN(2)=3 e-4 4e-4 8e-4 32 e-4 71 e-4
状态 0，无雨天气为状态 1。设 0.7, 0.4 ，求今天有雨且第四天仍有雨 的概率。
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得 分 评卷 人 四、简答题（本题 6 分） 简述指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性的关系。
4.设有四个状态 I=0一1一一 2 3的马氏链，它的一步转移概率矩阵
1 1 2 2
《随机过程期末考试卷》
1．设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，则 X 的特征函数为
。
2．设随机过程 X(t)=Acos( t+),-<t< 其中 为正常数， A 和 是相互
独立的随机变量，且 A 和 服从在区间0,1上的均匀分布，则 X(t) 的数学期望
为
。
3．强度为 λ 的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
PX(n)=j,X(l)=k X(0)=i
kI
=
P X(l)=k X(0)=i AP X(n)=j X(l)=k,X(0)=i =
P P (l) (n-l) ik kj
，其意义为
n
步转
kI
移概率可以用较低步数的转移概率来表示。
4.
证明：由条件期望的性质 EX(t) E E X(t) N(t) ，而
E X(t)
N(t)
n
N(t) E i=1 Yi
N(t)
n
n
= E i=1
Yi
N(t)
n
=
E
n i=1
Yi
=
nE(Y1
)
，所以
E
X(t)
tE Y1。
三．计算题（每题 10 分，共 50 分） 1. 解：
解方程组 P 和
i
1
1
，即
2 3
1
1 3
1
1 3
2
2 3
1
1 3
kI
证明并说明其意义。
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4.设N(t),t 0是强度为 的泊松过程，Yk, k=1,2,是一列独立同分布随机
N(t)
变量，且与N(t),t 0独立，令 X(t)= Yk, t 0 ，证明：若 E(Y12 <) ，则
k=1
EX(t) tEY1。
2.设顾客以每分钟 2 人的速率到达，顾客流为泊松流，求在 2 分钟内到达的顾 客不超过 3 人的概率。
4．设Wn,n 1是与泊松过程X(t),t 0对应的一个等待时间序列，则 Wn 服
从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，
对每一个确定的
t
对应随机变量
X
(t)
t, 3
et ,
如果t时取得红球 ，则 这个随机
如果t时取得白球
过程的状态空间
。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵
P=(pij )
，n
步转移矩阵
P(n)
(
p(n) ij
)
，二者之
间的关系为
。
7．设Xn , n 0为马氏链，状态空间 I ，初始概率 pi P(X0 =i) ，绝对概率
pj(n)
PXn
j， n
步转移概率
p(n) ij
，三者之间的关系为
。
8．设{ X (t ), t 0}是泊松过程，且对于任意 t2 t1 0 则
P(X(t)-X(tn ) x-xn X(t1)-X(0)=x1, X(t2 )-X(0)=x2,X(tn )-X(0)=xn ) =
P(X(t)-X(tn ) x-xn ) ，又因为 P(X(t) x X(tn )=xn )=
P(X(t)-X(tn ) x-xn X(tn )=xn ) =