高等流体力学练习题第一章 场论基本知识 第一节 场的定义及其几何表达1、（RX21）设点电荷q 位于坐标原点，则在其周围空间的任一点M(x, y, z)处所产生的电场强度，由电学知为：34q E r rπε=，其中ε为介质系数，r xi yj zk =++为M 点的矢径，r r = 。
求电场强度的矢量线。
2、（RX22）求矢量场22()A xzi yzj x y k =+-- ，通过点M(2, -1, 1)的矢量线方程。
第二节 梯度1、（RX32）设r =M(x, y, z)的矢径的模，试证明：rgradr r=。
2、（RX33）求数量场u=xy 2+yz 3在点（2，－1，1）处的梯度及在矢量22l i j k=+- 方向的方向导数。
3、（RX34）设位于坐标原点的点电荷q ，由电学知，在其周围空间的任一点M(x, y, z)处所产生的电位为：4q v rπε=，其中ε为介质系数，r xi yj zk=++为M 点的矢径，r r =。
求电位v 的梯度。
4、（BW7）试证明d dr grad ϕϕ=⋅ ，并证明，若d dr a ϕ=⋅，则a 必为grad ϕ。
5、（BW8）若a＝grad ϕ，且ϕ是矢径r 的单值函数，证明沿任一封闭曲线L的线积分0La dr ⋅=⎰ ，并证明，若矢量a沿任一封闭曲线L 的线积分0La dr ⋅=⎰，则矢量a必为某一标量函数ϕ的梯度。
第三节 矢量的散度 1、 （RX39）设由矢径r xi yj zk =++构成的矢量场中，有一由圆锥面x 2+y 2=z 2及平面z=H(H>0)所围成的封闭曲面S 。
试求矢量场从S 内穿出S 的通量。
2、 （RX41）在点电荷q 所产生的电场中，任何一点M 处的电位移矢量为34q D r r π= ，其中，r 为从点电荷q 指向M 点的矢径，r r=。
设S 为以点电荷为中心，R 为半径的球面，求从内穿出S 的电通量。
3、 （RX44）若在矢量场A内某些点（或区域）上有0divA ≠ ，而在其他点上都有0divA =，试证明穿过包围这些点（或区域）的任一封闭曲面的通量都相等，即为一常数。
4、 （RX44）在点电荷q 所产生的电场中，求电位移矢量34q D r r π=在任何一点M 处的散度。
5、 （RX46）已知xyz e ϕ=，求()div r ϕ第四节 矢量的旋度 1、（RX51）设有平面矢量场A yi xj =-+，l 为场中的星形线x=Rcos 3θ，y=Rsin 3θ。
求此矢量场沿l 正向的环量。
2、（RX55）求2222sin y A xy z i z yj x e k =++ 的旋度。
3、（RX57）设一刚体绕过原点的某个轴转动，其角速度为123i j k ωωωω=++。
由运动学我们知道，刚体上某一点处的线速度为233112()()()v r z y i x z j y x k ωωωωωωω=⨯=-+-+-，求此线速度场的旋度。
4、（BW18）证明rot grad ϕ=0，并证明，若rot a ＝0，则a必为grad ϕ。
第五节 哈密尔顿算子1、（RX80）已知u=3xsinyz ，求()ur ∇⋅2、（RX80）设32422A xz i x yzj yz k =-+ ，求该矢量在点M(1, 2, 1)处的旋度。
3、（RX80）证明()2lSa r dl a dS ⨯⋅=⋅⎰⎰⎰，其中a 为常矢。
第六节 场论基本运算公式（见P6～7）1、（BW19）证明场论各基本运算公式。
第二章 张量基本知识 第一节 指标1、 什么是自由指标和哑指标？2、 试简述约定求和法则。
第二节 张量及其表示法1、 试简述二价张量的定义。
2、 什么是零阶张量？它有几个分量？3、试写出2223[]x xy zx A xy zy x y yyz ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的实体表示形式。
第三节 几个特殊的张量1、 试写出单位张量的分量表示形式2、 （BW63）试证明二价张量可以唯一的分解为一个对称张量和一个反对称张量之和。
第四节 二阶张量的运算 1、 证明[][]ij jn i n A B a b e e =2、 证明当［B ］为对称张量时，则[][]a B B a =3、 证明[]I a a =4、 若将反对称张量［B ］写成：323121[]00B ωωωωωω-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，证明[]B a a ω=⨯5、 证明[]:[]ii I B b =6、 证明[]()p p δ∇=∇7、 证明[]()[][]p A p A p A ∇=∇+∇8、 证明()()T V V ∇∇=∇∇ ，其中T V ∇ 为V ∇的转置张量。
9、 证明[]()[][]:P V P V P V ∇=∇+∇第五节 各向同性张量1、 什么是各向同性张量？2、 证明二阶各向同性张量的形式必为ij λδ，λ为标量。
第三章 流体力学的基本概念 第一节 流体力学的基本研究方法1、试简述流体质点的概念和连续性假设。
2、试分别简述描述流体流动的两种方法。
第二节 流体微团的运动分析1、（LJ50）设初始时刻流体质点的速度与它到某—固定界面的距离x 。
间的关系为：u=kx 0/(x 0+1)。
k 为常数，此后流体质点各自都作等速直线运动。
速度方向与该固定截面垂直。
(1)求速度场；(2)求变形速度张量；2、试简述亥姆霍兹速度分解定理。
3、（QZC31）给定平面流场的极坐标表达式：v r =u(r, θ)，v θ=v(r, θ)，求流动平面上径向和周向的线变形率，以及平面上的角变形率。
4、（GZ54）设u=cy ，v=0，w=0，求其变形张量和旋转张量。
第三节 作用在流体上的表面力1、试表述[]P n所表达的意义。
2、试证明应力张量的对称性。
3、（GZ61）设流体中的应力张量由下式给出00[]0000p gz P p gz p gz ρρρ-+⎡⎤⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦，设有一平行于坐标轴的六面体，求（1）六面体六个面上的应力分布；（2）求作用于z=0及x=0面上的合力。
4、（GZ62）流体内某处的应力张量为012[]120201P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试问作用于平面x+3y+z=1外侧（离开原点的一侧）上的应力矢量是什么？这个平面上的应力向量的法向和切向分量是什么？第四节 随体导数1、（FY24）已知用拉格朗日变数表示的速度场为： u=(a+1)e t -1 v=(b+1)e t -1式中：a,b 是t=0时刻流体质点的直角坐标值。
试求：（1）t=2时刻流场中质点的分布规律； （2）a=1,b=2这个质点的运动规律； （3）流体质点的加速度场表达式。
（4）欧拉变数下的速度和加速度表达式。
2、（QP44）已知用欧拉变数表示的速度场为：u=x+t v=y+t试求：（1）一般的迹线方程，令t=0时的坐标为a,b 。
（2）在t=1时刻过（1，2）点的质点的迹线。
（3）在t=1时刻过（1，2）点的流线。
（4）以拉格朗日变数表示的速度分布。
3、证明()D d V d Dt t ττϕϕτϕτ∂⎡⎤=+∇⎢⎥∂⎣⎦⎰⎰第五节 广义牛顿内摩擦定律1、试简述斯托克斯所提出的三个假设。
2、试写出张量形式的应力本构方程。
第四章 流体动力学基本方程 第一节 四大基本方程1、（FY42）油从一铅垂管向下流到静止的水表面上，油漂浮在水面上形成如图所示的对称图案。
假设油与水永远不相混合，即油水之间有明显的分界面，试导出描述油在水面上蔓延开来的连续性方程。
2、（GZ128）试对柱坐标形式的微六面体建立运动方程。
3、试推导熵形式的能量方程。
第二节 基本方程组及其定解条件1、（LX226）证明Φ＞02、互不参混流体的界面边界条件是什么？第三节 一些特殊形式的方程1、什么是正压流体？什么是斜压流体？2、试推导V V V F p V t ρρμ⎛⎫∂+∇=-∇+∆ ⎪∂⎝⎭。
3、试写出不可压缩流体的运动微分方程。
4、（LX139）在理想、不可压缩流体的平面定常流动中，若质量力有势，试证明沿流线涡量Ω保持不变。
第四节 基本方程的求解思路1、（QZD59）如图所示的由上下两平行平板所组成的槽道内充满了不可压缩流体的库埃特流动，上平板以速度U 相对于下平板运动。
设槽道中同时存在x 方向的压力梯度dp/dx 。
流动为二维恒定流动。
求该流场的速度分布。
2、（QZD62）如图所示的二维槽道中的恒定流动，设槽道中同时存在x 方向的压力梯度dp/dx 。
求该流场的速度分布。
3、（QZD77）如图所示的在两个倾斜的平行平板之间的库埃特流动，下平板固定，上平板在x方向以速度u运动。
当只考虑重力作用时，求其速度分布。
4、试简述大雷诺数流动的边界层方法求解思路。
第五章 正交曲线坐标系中的流体力学运动方程组第一节 正交曲线坐标1、什么是拉梅系数？2、（RX87）对于正交曲线坐标系，证明一般曲线的弧微分ds 与坐标曲线的弧微分ds 1, ds 2, ds 3之间有关系：2222123ds ds ds ds =++。
第二节 柱面坐标和球面坐标1、（RX90）证明柱面坐标系和球面坐标系都是正交曲线坐标系。
2、（RX91）求柱面坐标系和球面坐标系的拉梅系数。
3、（RX92）求矢量2A yzi xzj xyk =++在柱面坐标系中的表达式。
第三节 正交曲线坐标系的基本运算法则1、试写出哈密尔顿算子在曲线坐标系中的表达式2、试写出13e q ∂∂ 和22e q ∂∂ 的计算式。
第四节 梯度、散度和旋度表达式。
1、（GZ368）证明梯度、散度和旋度在曲线坐标系中的表达式。
第五节 常用矢量、张量及方程组在曲线坐标系中的表达式1、（GZ370）证明算子Δ及（b ·▽）在曲线坐标系中的表达式。
2、（GZ371）证明速度梯度张量、应变张量和旋转张量在曲线坐标系中的表达式。
3、（GZ372）证明div P 在曲线坐标系中的表达式。
4、（GZ373）证明流体力学基本方程组在曲线坐标系中的表达式。
第六章 不可压缩理想流体恒定流动的求解 第一节 不可压缩理想流体恒定流动的求解思路1、不可压缩理想流体恒定流动的求解总思路是什么？2、（QZC38）试证明不可压缩理想流体恒定流动速度场散度和旋度确定速度场的唯一性定理。
3、（QZC93）若壁面Σ的解析式为F （x,y,z,t ）＝0，速度为V ui vj wk =++时，试证明固体壁面得不可穿透条件变为：0F F F F u v w t x y w∂∂∂∂+++=∂∂∂∂。
4、（QZC99）试证明Lamb 方程：212V V V F p t ρ⎛⎫∂-⨯Ω=-∇-∇ ⎪∂⎝⎭。
5、（QZC94）写出流体绕过半径为R 的固定圆球表面的边界条件。