１
PX m 1 2
则下列式子正确的是（
1 2
）．
A ． X Y;
m PY m
－１ １
1
1
2
2
B ． P{ X Y} 0;
C ． P{ X Y} 1 2;
D ． P{ X Y} 1.
【解题分析】 乍看似乎答案是 A, 理由是 X 和 Y 同分布 , 但这是错误的 , 因为 , 若 X Y , 说明 X 取什么值时 , Y 也一定取相同的值 , 而这是不可能的 , 所以只能从剩下的三个答案中
第三章 多维随机变量及其分布 一、填空题
1. （ 1994 年数学一）设相互独立的两个随机变量
X ,Y 具有同一分布律，且 X 的分布
律为
X
０
１
11P2源自2则随机变量 Z max{ X , Y} 的分布律为
.
【解题分析】 首先要根据 Z 的定义确定 Z 的取值范围 , 然后求 Z 取值的概率即可 . 解 : 由于 X ,Y 仅取 0、1 两个数值，故 Z 也仅取 0 和 1 两个数值，因 X ,Y 相互独立，
1 1 FX z 1 FY z
3 / 11
出发求解即可 .
解 : 由题设 X e( )
e x , x 0,
0,
x 0.
令 1 X , 2 2,则
0,
x 0,
0, x 2,
F ( x) 1
1 e x,
x
F (x) 0, 2
1, x 2.
于是 Y min{ X ,2} min{ 1, 2} 的分布函数为
Z max{ X ,Y} 的分布函数为 Fz (z) F1( x) F2 ( y) ，可知 F1( x) F2( x) 必为某一随机变量的
分布函数 . 故选择 B .
注 ：本题与 2002 年高数一中的选择题类同 . 本题也可以用赋值法求解 .
三、计算与证明题 1.(1994 年数学三 ) 假设随机变量 X1, X 2 , X3, X 4 相互独立 , 且同分
0, 其它．
【解题分析】 利用 P X，Y D
解 : 如图 10-5 所示
f x，y dxdy 求解 .
D
图 10-5 1 / 11
P(x y 1) 6xdxy
D
1 1x
2 dx 6dxdy
1．
0
x
4
二、选择题
1.(1990 年数学三 ) 设随机变量 X 和 Y 相互独立 , 其概率分布律为
m
－１
１
2 / 11
－１
p11
p12
p13
1
4
解 : 设随机变量
０
p21
p22
p23
1
X1, X 2 的联合分布为
2
１
p31
p32
p33
1
4
1
1
1
4
2
4
由 P{ X1X 2 0} P{ X1 0, X 2 1} P{ X1 0, X 2 1}
P{ X1 1, X 2 0} P{ X1 1, X 2 0} P{ X1 0, X 2 0}
p21 p23 p12 p32 p22 1
知 p11 p13 p31 p33 0,
从而有 p21 类似地 p23
进一步可知
1 p11
4 1
, p12 4
1 p22
2
1
p31
,
4
1
1
, p32
.
4
4
p12 p32 0.
即 p11 p22 p33 0.
因此有 P{ X1 X 2} 0.正确答案是 A .
101 1 1 1 (i 1,2) , 且满足 P X1X 2 0 1, 424
则 P{ X 1 X 2} 等于（
）．
A ． 0； B ． 1 ； C ． 1 ； D ． 1.
4
2
【解题分析】 本题应从所给条件 P X1X 2 0 1出发 , 找出随机变量 X1, X 2 的联合分
布.
X1
X2
－1
０
选一个 , 这时只要直接计算 P X Y 即可 .
解 : 由 X 和 Y 相互独立知
P{ X Y} P{ X 1,Y 1} P{ X 1,Y 1}
P{ X 1} P{ Y 1} P{ X 1} P{Y 1}
1 1 1 1 1. 22 22 2 所以 , 正确答案是 C .
2.(1999 年数学三 ) 设随机变量 X i
3.(1999 年数学四 ) 假设随机变量 X 服从指数分布 , 则随机变量 Y min{ X ,2} 的分布
函数（
）．
A ．是连续函数；
C ．是阶梯函数；
B ．至少有两个间断点； D ．恰好有一个间断点 .
【解题分析】 从公式 Fz z P min X，Y z 1 P min X，Y z
1 P X z, Y z 1 P X z P Y z
故 P{ Z 0} P{max( X ,Y) 0} P{ X 0,Y 0}
11 1
P{ X 0} P{Y 0}
,
22 4
3 P{ Z 1} 1 P{ Z 0} .
4
Z 的分布律为
Z
０
１
1
3
P
4
4
2．（ 2003 年数学一）设二维随机变量
X ,Y 的概率密度为
6x, 0 x y 1,
f (x, y)
则 P{ x y 1} = .
F ( x) 1 (1 F ( x))(1 F ( x))
1
2
0, x 0, 1 e x , 0 x 2,
1, x 2.
可见其仅有一个间断点 x 2. 正确答案是 D .
4.(2002 年数学四 ) 设 X1 和 X2 是任意两个相互独立的连续型随机变量
, 它们的概率密
度分别为 f1( x) 和 f2 (x) , 分布函数分别为 F1( x) 和 F2( x) , 则
X2 X 3 的分布律 , 再求 X 的分布律 . 解 : 记 Y1 X1X4 , Y2 X 2 X 3 , 则 X Y1 Y2 . 随机变量 Y1和 Y2 独立同分布 : P{Y1 1} P{ Y2 1} P{ X 2 1, X 3 1} P X 2 1 P X 3 1 0.16. P{Y1 0} P{Y2 0} 1 0.16 0.84 .
A ． f1( x) f 2( x) 必为某一随机变量的分布密度；
B ． F1 (x)F2( x) 必为某一随机变量的分布函数；
C ． F1( x) F2( x) 必为某一随机变量的分布函数；
D . f1( x) f2 ( x) 必为某一随机变量的分布密度．
解 : 由于若随机变量 X 与 Y 相互独立，它们的分布函数分别为 F1 (x) 与 F2( y) ，则
布, P{ X i 0} 0.6,P{ X i 1} 0.4(i 1,2,3,4,) 求行列式 X
X1 X 2 的概率分布 . X3 X4
【解题分析】 X 由 2 2 阶行列式表示 , 仍是一随机变量 , 且 X X1X 4 X2X 3 , 由于
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X1, X 2 , X3 , X 4 独立同分布 , 故 X1X 4 与 X2 X3 也是独立同分布的 , 因此可先求出 X1 X 4 和