xn x 0 (n ) xn, xRn
则
lim
n
J
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ( xn
)
J
(x)
则线性泛函J (x)是连续的，称J[x]为线性连续泛函。
3、线性泛函：满足下面条件的泛函称为线性泛函
JX JX
J (X Y ) J (X ) J (Y )
这里 是实数，X 和 Y 是函数空间中的函数。
4、自变量函数的变分：自变量函数 X (t)的变分 X
最优控制问题的一般提法：在满足系统方 程的约束条件下，在容许控制域中确定一 个最优控制律，使得系统状态从已知初态 转移到要求的目标集，并使性能指标达到 极值。
最优控制的应用类型
I. 积分型性能指标 1. 最小时间控制； 2. 最少能量控制； 3. 最少燃料控制；
J tf F x(t), x&(t),tdt t0
及横截条件
F ( x&)ttf
x(t f
F ) ( x&)tt0
x(t0)
0
（2） （3）
证明：x(t)与 x(t) 之间有如下关系 x(t) x* (t) x(t)
x(t) x* (t) x(t)
于是泛函J 的增量J 可计算如下（以下将*号省去）
J t f t0
Fx x, x x,t Fx, x,tdt
定理 设有如下泛函极值问题：
min J tf g(x(t), x&(t),t)dt
x(t )
t0
tf t0
F
x
x
F
x&
x&
o
(
x)2, (
x&)2
dt
上式中 o[( x)2 , ( x&)2 ]是高阶项。
根据定义，泛函的变分 J 是 J 的线性
主部，即
J
tf t0
F x
x
Fxxdt
对上式第二项作分部积分，按公式
可得
t f t0
udv uv
tf t0
t f vdu
t0
J
数X (t)，有一个实数值J 与之相对应，则称J 为依赖于
函数X (t)的泛函，记为
J J X (t)
粗略来说，泛函是以函数为自变量的函数。(函数的函数)
2、泛函的连续性：
若对于收敛于点x0点列xn，其中x0，xn Rn ，均有
lim
n
J
(xn
)
J
(x0
)
则称泛函J在x0处连续。对于线性泛函J[x],若
(2) (L1L2 ) L2 L1 L1 L2
b
b
(3) a L[x, x&,t]dt a L[x, x&,t]dt
(4) dx d x
dt dt
举例： 可见，计算泛函的变分如同计算函数的微分一样。
6、泛函的极值：若存在 0 ，对满足的 X X * 一切X，J (X ) J (X * ) 具有同一符号，则
4.1.2 欧拉方程
假定t0与tf 给定，且初态与末态两端固定。 (1) 无约束泛函极值的必要条件 定理 设有如下泛函极值问题：
min J tf F x(t), x&(t),tdt
x(t )
t0
（1）
已知x(t0)=x0 拉方程
x(tf)=xf
,则极值曲线
x* (t )
应满足如下欧
F d (F ) 0 x dt x
若在x= x0处J[x]可微，则J[x]的变分为
J[x0, x]
J [ x0
x]
0
,0
1
证明:
由于 又因为
是 的线性连续泛函， 是 的高阶无穷小，
J [ x0
x]
0
lim
0
J [ x0
x]
J[x0 ]
=
lim
0
1
{L[x0
,
x
]
r[x0
,
x]}
泛函变分的规则 = J[x0 , x] (1) (L1 L2 ) L1 L2
LX, XrX, X
这里，LX, X 是X 的线性泛函，rX, X 是关于 X
的 高阶无穷小，则
J LX, X
称为泛函J[x]的变分。 可知泛函变分就是泛函增量 的线性主部。
当一个泛函具有变分时，也称该泛函可微。和函 数的微分一样，泛函的变分可以利用求导的方 法来确定。
定理 设J[x]是线性赋范空间Rn上的连续泛函，
是指同属于函数类X (t)中两个函数X1(t) 、X 2 (t) 之差
X X1(t) X 2 (t)
这里, t 看作为参数。当 X (t) 为一维函数时，X 可用图4-1来表示。
图4-1 自变量函数的变分
5、泛函的变分：当自变量函数 X (t)有变分X 时， 泛函的增量为
J JX X JX
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在动态系统最优控制问题中，性能指标是一个 泛函，性能指标最优即泛函达到极值。解决泛函极 值问题的有力工具是变分法。所以下面就来列出变 分法中的一些主要结果，大部分不加证明，但读者 可对照微分学中的结果来理解。
4.1.1 泛函与变分
先来给出下面的一些定义。
1、泛函： 如果对某一类函数X (t)中的每一个函
称 J (X ) 在 X X *处有极值(极大值或极小值)。
定理(变分预备定理)：设 (t) 是时间区间[t0, t1]
上连续的n维向量函数，(t) 是任意的连续n维
向量函数，且有 (t0 ) (t1) 0 ，若
t1 T (t)(t)dt 0 t0
则必有
(t) 0,t [t0,t1]
tf t0
F x
d dt
( Fx)xdt
F x
x
tf t0
（4）
J取极值的必要条件是 J 等于零。因 x 是 任意的，要使（3-2）中第一项（积分项）为 零，必有
F d (F ) 0 x dt x
（5）
（4）式中第二项即为结论中的式(3).
举例： 利用上面的结论求得
(2) 有等式约束泛函极值的必要条件
第4章 最优控制原理与应用
最优控制的基本概念
最优控制研究的主要问题：根据已建立的被控 对象的数学模型，选择一个容许的控制率，使 得被控对象按照预定的要求运行，并使给定的 某一性能指标达到极小值(或极大值)。
从数学观点来看，最优控制研究的问题是：求 解一类带有约束条件的泛函极值问题。
最优控制问题
J tf dt
J
tf
uT
t0
(t)u(t)dt
t0
J
tf t0
m
u j (t) dt
j 1
II. 末值型性能指标 J [x(t f ),t f ]
III. 复合型性能指标
J [x(t f ),t f ]
tf F x(t), x&(t),tdt
t0
4.1 用变分法解最优控制 ➢ 4.1.1 泛函与变分 ➢ 4.1.2 欧拉方程 ➢ 4.1.3 横截条件 ➢ 4.1.4 变分法解最优控制问题