解三角形(历届高考题) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN历届高考中的“解三角形”试题精选（自我测试）1．（A 等于（ ） （A ）135° (B)90° (C)45° (D)30°2.（2007重庆理）在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC =（ ）A.33-B.2C.2D.33+3.(2006山东文、理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =3π,a =3,b =1，则c =( )（A ）1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）34．(2008福建文)在中，角A,B,C 的对应边分别为a,b,c,若222a c b +-=，则角B 的值为（ ）Ａ．6π Ｂ．3π Ｃ．6π或56π Ｄ．3π或23π5．（2005春招上海）在△ABC 中，若CcB b A a cos cos cos ==，则△ABC 是（ ） （A ）直角三角形. （B ）等边三角形. （C ）钝角三角形. （D ）等腰直角三角形.6.（2006全国Ⅰ卷文、理）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =（ ）A ．14 B ．34C ．4D ．37．（2005北京春招文、理）在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形8．（2004全国Ⅳ卷文、理）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b =（ ）A ．231+ B ．31+ C ．232+ D ．32+二.填空题: （每小题5分，计30分）9.（2007重庆文）在△ABC 中，AB =1, B C =2, B =60°，则AC ＝。
10. (2008湖北文)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,30,a b c ===︒则A ＝ .11.（2006北京理）在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是___ __.12.（2007北京文、理) 在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB =________．13．(2008湖北理)在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bc cosA+ca cosB+ab cosC 的值为 .14．（2005上海理）在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S=_______三.解答题: （15、16小题每题12分，其余各题每题14分，计80分）15．(2008全国Ⅱ卷文) 在ABC △中，5cos 13A =-，3cos 5B =．（Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积．16.（2007山东文）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ； （2）若25CA CB =•，且9a b +=，求c ．17、(2008海南、宁夏文)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD 交AC 于E ，AB=2。
（1）求cos ∠CBEAE 。
18.（2006全国Ⅱ卷文）在45,ABC B AC C ∆∠=︒==中，,求 （1）?BC = (2)若点D AB 是的中点，求中线CD 的长度。
19.（2007全国Ⅰ理）设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, a=2b sin A(Ⅰ)求B的大小; (Ⅱ)求CA sincos+的取值范围.20.（2003全国文、理，广东）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南(cosθθ=方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？东历届高考中的“解三角形”试题精选（自我测试）参考答案二.填空题: （每小题5分，计30分）9.3； 10. 30° ； .11. __ 60O _. 12.210； 13．612； 1443三.解答题: （15、16小题每题12分，其余各题每题14分，计80分）15．解：（Ⅰ）由5cos 13A =-，得12sin 13A =，由3cos 5B =，得4sin 5B =．所以16sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+=．（Ⅱ）由正弦定理得45sin 13512sin 313BC B AC A ⨯⨯===．所以ABC △的面积1sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯1131652365=⨯⨯⨯83=．16.解：（1）sin tan cos CC C=∴= 又22sin cos 1C C += 解得1cos 8C =±．tan 0C >，C ∴是锐角． 1cos 8C ∴=．（2）∵25=•，即abcosC=25 ，又cosC=81 20ab ∴=．又9a b += 22281a ab b ∴++=．2241a b ∴+=．2222cos 36c a b ab C ∴=+-=． 6c ∴=．17．解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠，CB AC CD ==，所以15CBE =∠．所以6coscos(4530)4CBE =-=∠． （Ⅱ）在ABE △中，2AB =，由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE =-+． 故2sin 30cos15AE=12⨯==18．解：（1）由cos sinC C ==sin sin(18045)sin )A C C C =--=+=由正弦定理知sin sinAC BC A B =⋅==（2）sin 2sin AC AB C B =⋅==， 112BD AB == 由余弦定理知13222312181cos 222=⋅⨯⨯-+=⋅-+=B BC BD BC BD CD19.解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =，由ABC △为锐角三角形得π6B =．（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =+3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，2A 0π<<，πππ<+<6A 2．解得2A 3ππ<< 所以653A 32πππ<+<，所以1sin 232Aπ⎛⎫+< ⎪⎝⎭．由此有232A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，．20.解：设在t 时刻台风中心位于点Q ，此时|OP|=300，|PQ|=20t ，台风侵袭范围的圆形区域半径为r(t)=10t+60，由102cos =θ，可知1027cos 1sin 2=-=θθ， cos ∠OPQ=cos(θ-45o )= cos θcos45o + sin θsin45o=5422102722102=⨯+⨯ 在 △OPQ 中，由余弦定理，得OPQ PQ OP PQ OP OQ ∠⋅-+=cos 2222=54203002)20(30022⨯⨯⨯-+t t=9000096004002+-t t若城市O 受到台风的侵袭，则有|OQ|≤r(t)，即22)6010(900009600400+≤+-t t t ，整理，得0288362≤+-t t ，解得12≤t ≤24, 答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.东11 1．正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===外 2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA , 222cos 2b c a A bc+-=； 3 .射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A4.（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=21casinB 5．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinA<a<b 时有两解；a=bsinA 或a=b 时有 解；a<bsinA 时无解。
6．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
7．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力。