目的：掌握势的定义，熟悉势的性质， 了解势的比较。

重点与难点：势的定义及比较。

现实生活中，当我们谈到一组对象时，很自然的会涉及到这一组对象的个数。

集合论也是这样.假如我们不考虑某个集合中元素的具体特性时，该集合含多少个元素则是一个最基本的概念，比如10个人组成的集合与十块砖头组成的集合，虽然特征不同，但作为集合，它们含相同个数的元素，十块砖头与九块砖头虽然有相同的属性，但其元素个数不同，而是两个不同的集合。

由此可见，集合所含元素的个数也是集合的一个重要的特征。

一．势的定义问题1：回忆有限集是如何计数的？问题2：有限集的计数方法如何移植到无限 集情形？心里默数着1，拿起第二粒石子时，心里默数着2，拿起最后一粒石子时，我们心里默数的最后一个数字就是石子的个数。

在这个过程中，我们不知不觉间将每粒石子都编了号，第一粒石子就是一号，不妨记作 ，第二粒石子就是二号，不妨记作 ，如果有n个石子，则最后一粒石子就是第n号，记作 ，于是这堆石子 ,...2e 1e ne设想有一堆石子，我们要知道它有多少个，当我们拿起第一粒石子时，可记作 。

这个过程实际上建立了石子与自然数1到n之间的一个一一对应关系。

如果我们想知道两堆石子是否有相同个数，我们其实不必将这两堆石子的个数一一数出来，而只需每次各从两堆石子中拿一粒，只要最后各剩下一粒石子，则它们的个数就是一样的，否则就不同。

这说明，我们想知道两个集合是否有相同}...,,{21n e e e个数，我们其实不必将这两堆石子的个数一一数出来，而只需每次各从两堆石子中拿一粒，只要最后各剩下一粒石子，则它们的个数就是一样的，否则就不同。

这说明，我们想知道两个集合是否有相同数量的元素，只需看能否在这两个集合之间建立一种一一对应关系，只要能建立这种关系，我们就有理由认为，它们有相同的数量，这种方法对无穷集也适用。

8映射1 , . , , ,: ,fA B A f A x B y f A B f A B A B →−−→定义设是两个集合，非空集若依照规则对于中的每个元，在中都有唯一确定的元与之对应就称是到的映射记作或9{}{} , ()., ()| .()| , ().x y x f f x A f f x x A f f x x E E f f E ∈∈而与对应的元称为（在映射下）的象记作集合称为映射的定义域集合称为映射的值域集合称为在映射下）的象集记作102 : () , .i.e.,,,().()(), .i.e.,,,()(f f A B f A B f y B x A f x y A B y f A x A f x y f x y A f x f →∀∈∈=−−→∈∈=∀∈=定义若映射的值域恰等于就说是满射的存在使得若映射使每个仅有唯一的满足就说是单射的若1111),. : , , (),: .f y x y f A B f A B f A B A B --=→−−→−−→则若映射既是满射的又是单射的就称是到的一一映射“一一映射”有时还说成“一一对应”记作或111 , (), () ( () , , , .f A B y B x A f x yg y x f x y g B A g f f -∈∈===设是到的一一映射则对每个有唯一使定义当时）则是到的一一映射我们称是的逆映射记作注：称与A 对等的集合为与A 有相同的势（基数）， 记作势是对有限集元素个数概念的推广.ABA ~ΦΦ~131 ~ ~, ~ ~, ~, ~. i A A ii A B B A iii A B B C A C 命题对等关系有如下性质：（）； （反身性）（）若则 ； （对称性）（）若则 （传递性）1412121212n 1n 1n 1n 12 ,,,, ,,,,, . ~(1,2,), ; ~ (1,2,).;~ ,n n n n mmn n n n A A A B B B A B n A A B B A B m A B ==∞∞==== 命题设是两两无交的一列集是两两无交的一列集若则~, :. : , ()(),1,2,.n n n n n n n A B f A B f x A f x f x n →∈== 证明故存在一一映射 作映射对每个令 例1 作对应关系则 是 与 之间的一一对应。

Z N ~⎩⎨⎧=-→+=→,2,1,012,2,12:n n n n n n φφN Z{}{}.~ ,,2,,4,2 ,,,,2,1 2 Ne N n Ne n N 则设例 ==.),( 2)( 的一一映射到是显然定义证明Ne N f N n n n f ∈= 12 例、揭示出了一个极其重要的事实，就是无限集是有可能与它的真子集对等的，我们还将证明任何一个无限集必然与它的一个真子集对等，这对于有限集来说，显然是永远办不到的。

~~~N N N Z奇数偶数结论：173 (01)~[01].例，，.,5,4,3 ,101)101( ,1)101( ,0)101( , .,101,,101,101,1,0,,101,101,101,101,101 2222432 ====⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=--n f f f f B A B A n n n n 使映射的到作设证明].1,0[~)1,0( 2 .\]1,0[~\)10( ,\]1,0[\)1,0( . 11便知由命题，故又显然B A B A B A f=−→−-18(01)~().a b 例，， ()() .f x a b a x =+-证明定义 (01)~.R 例， ()tan() .2f x x ππ=-证明定义(0,1)~[0,1]~(,)~(,)~,a b a b -∞+∞<>结论：例4 N与R 1不对等，即 。

若不然，存在 与 的一个一一对应 ， 将与N中n对应的元素 记为 ，则 上至少有一个单位长度的区间不含 ，不妨设此间 分为三等分，则 中至少不含 ，==≠1R N )(n φ1R ]1,0[],1,0[1将=I ]1,31[],31,0[φn r 1r 1R N 2r 以 表示这个区间，将 三等分，其左、右两个区间中至少有一个区间不含 ，记为 ，依此类推，可得一串闭区间 ，满足：（1） ，且 的长度趋 于0（2） 。

2I 2I 3r 3I n I ⊃⊃⊃321I I I n I ,3,2,1,=∈n I r n n 由闭区间套定理知 ，但对任意φ≠∞=n n I 1n n m I r m ∞=∈1, ，换言之，n n I ∞=1不在R 1中，这是不可能的。

这一矛盾说明， N与R 1不可能对等。

例4 说明，两个无限集的确可能有不同的势，既然势可以不同，如何对其进行比较呢？下面的定义给出了比较的方法。

2势的比较定义4 假设A、B是两个集合，若A与B 的某个真子集B*对等，但不与B对等，则说 A的势小于B的势，记作 ，或说B的势 大于A的势，记作 。

B A <B A >定义3 假设A与B对等,则说A的势等于B的势， 记作A B=；则称若B A B A =,~)112)~,A B B A B A B B A ⊂≤若则称；相当于：到有一个单射，也相当于到有一个满射3),A B A B A BA B ≤≠<若且，则称注：不能用与的一个真子集对等描述.A B A B ≤⇔命题与的某个子集对等 .A B A B =⇔ 命题从合理性方面讲，任何两个集合A和B 的势都应该是可以比较大小的，即下面三种 情况必有且仅有一种情况出现：（i） ；（ii） ；（iii） 。

B A =B A >BA < 遗憾的是，至今尚无法证明或否认这是真的。

Zermelo给集合论加上了一条公理，即Zermelo选择公理，依据这条公理便可证明（i）、（ii）、（iii）有且仅且一种情形发生。

26., , Bernstein 1 00对等与则对等的子集与且对等的子集与设定理）（定理B A A A B B B A .~ .~ 01100110A B g A B B A f B A gf--−→−−→−使知可找到一个由使知可找到一个由证明ABA fgB 27ABA 1A 2A 3A 1B 2B 3B ff fgggB ,)( \ 1110B A f A A A ==令,)( )( 2221B A f A B g ==.,)( )(3332 B A f A B g ==280210101212121223230123123123123 () (),\, .,, , ,, ,g B A A g B A A A A A A A A f B B B B f A A A A A A A A A A A A A A f B B B ==⊂=由知而故、无交从而、在下的象集、无交从而、在下的象集、无交由、均包含于知与、均无交故、、两两无交从而、、在下的象集、、两两无交这样一直递推下去123123 , .A A AB B B 便知、、，两两无交并且、、，也两两无交29111111(1,2,), . (1)f fn n n n n n A B n A B ∞∞--==−−→=−−→ 显然从而1111112(1,2,), . (2)g gn n n n n n B A n B A ∞∞+--==−−→=−−→ 另一方面从而0110111211111, 2\\\ \\. (3)gg n n nn n n g n n n n B A B B A A A A A A B B -∞∞∞-===∞∞-==−−→−−→=−−→ 由于结合（）便知于是13 A ~B由（）及（）便知30.~~ ,~ , 1 C B A C A C B A 则若系⊃⊃.~~ .~ 1 . , .)( .)( ),( ,. ~ 1111C B A C B C B C B C B f C B C B f B f B A B C A f C A ff从而便知由定理等对的一个子集当然与又对等的一个子集与即故而使，故可找到证明⊂⊂−→−⊂−→−--.4 3 ,1 ,. 1 Bernstein 所述的结论立即推出例可从例根据系例如工具是证明集合对等的有力定理及系,,.A B B C A C<<<定理若则..,)(~. )( ,,.111111不成立再证于是从而使及故存在使及故存在证明CACACBgAC BgBCCBCgC BBBABfBAg gf=≤⊂⊂→⊂→<⊂→<---. ...2 ,,CACAC BB CBCBACA< =<><<=所以不成立可见相矛盾这与题设不再成立知：从而由定理知则由假若31。